【数学总复习-考点精讲】RJA 第七章 综合提高 立体几何最值问题的函数模型解法

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　立体几何最值问题的函数模型解法
模型一　求体积最值
(2022·广东深圳二模)在三棱锥P ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，则三棱锥P ABC体积的最大值为(　　)
A.　　 B.　　
C.　　 D.
【解析】　
如图，取PB的中点M，连接CM.
因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，
AC 平面ABC，AC⊥BC，所以AC⊥平面PBC.
则点A到平面PBC的距离为AC，设AC＝2x.
由于BC＝PC＝2，PB＝2x(0＜x＜2)，M为PB的中点，所以CM⊥PB，CM＝.
可得S△PBC＝·2x·＝x·，
VP ABC＝VA PBC＝·(x·)·2x＝.
设t＝(0＜t＜2)，则x2＝4－t2.
所以VA PBC＝＝(0＜t＜2)，
记V(t)＝(0＜t＜2)，则V′(t)＝.
令V′(t)＝0，解得t＝.
由V′(t)＞0得0＜t＜，
所以V(t)在上单调递增；
由V′(t)＜0得＜t＜2，
所以V(t)在上单调递减．
所以当t＝时，VA PBC取得最大值.故选D.
【答案】　D
本题求体积的最值时，可以建立函数模型求解．由于函数式较复杂，采用了换元法进行化简，进而利用导数法求最值，计算较为简便，换元时要注意新元的取值范围．
模型二　求空间向量有关最值
(2022·石家庄市第十七中学月考)
如图，三棱锥V ABC中，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，且侧面VAC垂直底面ABC，设E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC的夹角为θ，则cos θ的最大值是________．
【解析】　
底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面VAC垂直底面ABC，且由VE⊥AC，得VE⊥底面ABC，又EB⊥AC，以E为原点，EB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴，EV所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设AB＝2，则C，B，V，
设F，＝，＝(，0，－)，＝，＝，
设平面VBC的法向量为m＝，
则，即，取x1＝1.
所以m＝.
设平面VEF的法向量为n＝，
则，即，
解得z2＝0，令y2＝1，则x2＝－1，所以n＝，因为平面VEF与平面VBC的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝·，
当x＝时，cos θ的最大值为.
【答案】　
和空间向量有关的最值问题，可以通过建立空间直角坐标系，用坐标表示要求的最值，结合函数求解最值．
模型三　探索型问题
如图，
在呈空间四边形的支撑架ABCD上安装一块矩形太阳能吸光板EFGH，矩形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边上，且AC＝a，BD＝b.求E，F，G，H在什么位置时，吸光板的吸光量最大？
【解】　要使吸光板的吸光量最大，则矩形EFGH的面积最大．设EH＝x，EF＝y.
因为FG∥EH，EH 平面ABD，FG 平面ABD，
所以FG∥平面ABD.
又因为FG 平面BCD，平面BCD∩平面ABD＝BD，
所以FG∥BD.同理可证EF∥HG∥AC.
则＝＝，＝＝.
两式相加，得＋＝＋＝1.①
矩形EFGH的面积S＝xy.②
由①②得S＝－x2＋ax(0故当x＝－＝时，S有最大值，
此时y＝.
故当E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点时，吸光板的吸光量最大．
利用问题中的条件运用数学语言建立函数模型，要注意自然语言和数学语言的互化．利用函数的最值可以求解立体几何的一些最值、范围问题．
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