【数学总复习-考点精讲】RJA 第七章 第5讲　空间向量及其应用

中小学教育资源及组卷应用平台
第5讲　空间向量及其应用
考向预测 核心素养
本讲主要考查空间向量的线性运算、共面及共线向量定理的应用、数量积的应用等，题型以选择题、填空题为主，难度中等偏下． 数学运算、数学抽象
一、知识梳理
1．空间向量的概念
(1)定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)几类常见的空间向量
名称 方向 模 记法
零向量 任意 0 0
单位向量 1
相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a的相反向量：
相等向量 相同 相等 a＝b
2.共线向量与共面向量
平行(共线)向量 共面向量
定义 位置关系 表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合 平行于同一个平面的向量
特征 方向相同或相反
特例 零向量与任意向量共线
充要条件 共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb 共面向量定理：向量p与两个不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
3.空间向量基本定理
空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
4．两个向量的数量积
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定0≤〈a，b〉≤π．若〈a，b〉＝，则称向量a，b互相垂直，记作a⊥b.
(2)两向量的数量积
两个非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(3)向量的数量积的性质
①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)；
②a⊥b a·b＝0；
③|a|2＝a·a＝a2；
④|a·b|≤|a||b|.
[提醒]　向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
5．空间向量的平行、垂直及模、夹角(b≠0)
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝eq \r(a＋a＋a)；
cos〈a，b〉＝＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a＋a＋a) \r(b＋b＋b))．
常用结论
1．在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．
2．在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点．
3．若＝x＋y且M点或N点不在平面ABC内，可得MN∥平面ABC.
二、教材衍化
1．(人A选择性必修第一册P15 习题1.2T2改编)若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的另一个基底的向量是(　　)
A．a　　　 B.b　
C.c　　　 D.2a
2．(人A选择性必修第一册P9习题1.1T4改编)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．
参考答案
1解析：选C.由题意知，a，b，c不共面，对于选项A，
a＝[(a＋b)＋(a－b)]＝m＋n，
故a，m，n共面，排除A；
对于选项B，
b＝[(a＋b)－(a－b)]
＝m－n，故b，m，n共面，排除B；
对于选项D，由选项A得，2a＝m＋n，故2a，m，n共面，排除D.选C.
2解析：||2＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，所以||＝，所以EF的长为.
答案：
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间中任意两非零向量a，b共面．(　　)
(2)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　　)
(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．(　　)
(4)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　　)
二、易错纠偏
1．(向量共线与直线平行记混致误)在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)
A．垂直　　　　　 B.平行
C．异面 D.相交但不垂直
2.
(空间向量运算法则不清致误)如图，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝a，＝b，1＝c，则向量可用a，b，c表示为________．
3．(共线、共面结论理解不清致误)O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋＋t ，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
二、易错纠偏
1解析：选B.由题意得，＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，所以＝－3，所以与共线，又AB与CD没有公共点，所以AB∥CD.
2解析：＝＋＝－1－＝－1－(＋)＝－－－1＝－a－b－c.
答案：－a－b－c
3解析：因为P，A，B，C四点共面，
所以＋＋t＝1，
所以t＝.
答案：
考点一　空间向量的线性运算(自主练透)
复习指导：了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．
1．已知正方体ABCD A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝1＋x＋y，则x，y的值分别为(　　)
A．1，1　　　　 B.1，
C.， D.，1
2.
(多选)如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，＝，设＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是(　　)
A.＝b－c B.＝b＋c－a
C.＝b－c－a D.＝a＋b＋c
参考答案
1解析：选C.＝1＋＝1＋＝1＋(＋)，故x＝，y＝.
2解析：选BD.对于A，利用向量的平行四边形法则，＝＋OC＝b＋c，A错误；
对于B，利用向量的平行四边形法则和三角形法则，得＝－＝－＝－＝＋－＝b＋c－a，B正确；
对于C，因为点P在线段AN上，且AP＝3PN，所以＝＝＝b＋c－a，C错误；
对于D，＝＋＝a＋b＋c－a＝a＋b＋c，D正确，故选BD.
用已知向量表示未知向量的解题策略
(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．
(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．
考点二　共线、共面向量定理的应用(综合研析)
复习指导：了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
(链接常用结论1)在空间四边形ABCD中，＝3，＝－＋＋λ，则λ＝________．
【解析】　因为＝－＋＋λ，
所以＋＝＋λ，即＝＋λ，
又＝3，所以B，C，M三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝.
【答案】　
三点P，A，B共线 空间四点M，P，A，B共面
＝λ ＝x＋y
对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y
对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y)
|跟踪训练|
1.
如图，点M为OA的中点，{，，}为空间的一个基底，＝x＋y＋z，则有序实数组(x，y，z)＝________．
2．(2022·云南永善一中月考)对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有＝t－3＋，若D，A，B，C四点共面，则t＝________．
参考答案
1解析：＝－＝－，所以有序实数组(x，y，z)＝.
答案：
2解析：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则A，B，C，D四点共面等价于t－3＋1＝1，所以t＝3.
答案：3
考点三　空间向量数量积的应用(思维发散)
复习指导：掌握空间向量的数量积及其坐标表示．
如图所示，
已知空间四面体ABCD的每条棱长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
(1)·；
(2)·.
【解】　设＝a，＝b，＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
(1)＝＝c－a，＝－a，·＝·(－a)＝a2－a·c＝.
(2)·＝(＋＋)·(－)
＝·(－)
＝·(－)
＝·(c－a)
＝(－1×1×＋1×1×＋1＋1－1×1×－1×1×)＝.
1．在本例条件下，求证EG⊥AB.
证明：由例题知＝(＋－)＝(b＋c－a)，所以·＝(a·b＋a·c－a2)
＝＝0.
故⊥，即EG⊥AB.
2．在本例条件下，求EG的长．
解：由例题知＝－a＋b＋c，
||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝，即EG的长为.
3．在本例条件下，求异面直线AG与CE所成角的余弦值．
解：由例题知＝b＋c，＝＋＝－b＋a，
cos〈，〉＝＝－，
由于异面直线所成角的范围是，
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
空间向量数量积的三个应用
求夹角 设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角
求长度(距离) 运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题
解决垂直问题 利用a⊥b a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题
|跟踪训练|
已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)且DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标为____________．
解析：设点D的坐标为(x，y，z)，
＝(x－1，y，z)，＝(0，－1，2)，
＝(－x，1－y，－z)，＝(－1，0，2)，＝(－x，－y，2－z)，＝(－1，1，0)，
又因为DB⊥AC，DC⊥AB，且AD＝BC，
所以⊥，⊥，且||＝||，
即
解得或
答案：
或
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)