【数学总复习-考点精讲】RJA 第七章 第1讲　第1课时　空间几何体及其表面积、体积

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第1讲　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
考向预测 核心素养
对空间几何体的认识、立体图形的直观图和几何体的表面积、体积是考查重点，以选择、填空题为主，中等难度． 直观想象、数学抽象、数学运算
一、知识梳理
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点
轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
2.直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
4.柱、锥、台、球的表面积和体积
　　　名称几何体　　　 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
常用结论
1．直观图与原图形面积的关系
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：
(1)S直观图＝S原图形．
(2)S原图形＝2S直观图．
2．球的截面的性质
(1)球的任何截面是圆面；
(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；
(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝.
3．正方体与球的切、接常用结论
正方体的棱长为a，球的半径为R，
(1)若球为正方体的外接球，则2R＝a；
(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；
(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
二、教材衍化
1．(人A必修第二册P105习题8.1T4改编)下列几何体是棱台的是(　　)
2.
(人A必修第二册P106习题8.1T8改编)如图，长方体ABCD A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′∥FG，剩下的几何体是(　　)
A．棱台　　　 B.四棱柱
C．五棱柱 D.六棱柱
3．(人A必修第二册P120习题8.3T5改编)一个长方体的顶点都在球面上，且长方体的棱长分别为1，2，3，则球的表面积为________．
参考答案
1解析：选D.AC不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故AC不满足题意．B中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故B不满足题意．D符合棱台的定义．
2答案：C
3解析：设球的半径为R，则2R＝ ＝，
则R＝.
所以S球＝4πR2＝4π×＝14π.
答案：14π
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　　)
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　　)
(3)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．(　　)
(4)菱形的直观图仍是菱形．(　　)
(5)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．(　　)
二、易错纠偏
1．(弄混几何体概念、特征致误)下列结论中错误的是(　　)
A．由五个面围成的多面体只能是三棱柱
B．棱台各侧棱的延长线交于一点
C．圆柱侧面上的直线段都是圆柱的母线
D．各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体
2．(斜二测画法规则不清致误)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(　　)
3．(忽略对圆柱形状的讨论致误)将一个邻边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是________．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
二、易错纠偏
1解析：选A.由五个面围成的多面体也可以是四棱锥，所以A选项错误．B，C，D说法均正确．
2解析：选A.由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2.故选A.
3解析：当底面周长为4π时，底面圆的半径为2，两个底面的面积之和是8π；当底面周长为8π时，底面圆的半径为4，两个底面的面积之和为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2，故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π.
答案：32π2＋8π或32π2＋32π
第1课时　空间几何体及其表面积、体积
考点一　基本立体图形(多维探究)
复习指导：利用实物模型认识基本立体图形，体会直观图、展开图的含义和作用．
角度1　结构特征
(1)下列命题正确的是(　　)
A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台
D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆面和矩形面
(2)(多选)下列说法正确的是(　　)
A．以直角三角形的一条边所在的直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥
B．以等腰三角形底边上的中线所在的直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥
C．经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形
D．圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径
【解析】　
(1)如图所示，可排除A，B选项．对于D选项只有截面与圆柱的母线平行或垂直，截得的截面才为矩形面或圆面，否则截面为椭圆面或椭圆面的一部分，故选C.
(2)
A不正确，直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥；B正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；C正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；D正确，如图所示，圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍(即直径)．故选BCD.
【答案】　(1)C　(2)BCD
角度2　直观图
(1)对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是(　　)
A．三角形的直观图仍然是一个三角形
B．90°的角的直观图一定会变为45°的角
C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半
D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
(2)如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是(　　)
A．2＋　　　　 B.
C. D.1＋
【解析】　(1)对于A，根据斜二测画法，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；
对于B，90°的角的直观图可以变为45°或135°的角，故B错误；
C，D显然正确．
(2)原图形为一直角梯形，其上底为1，下底为1＋，高为2，所以S＝(1＋＋1)×2＝2＋，故选A.
【答案】　(1)B　(2)A
角度3　展开图
(1)(2021·新高考卷Ⅰ)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　　)
A．2 B.2
C．4 D.4
(2)长方体ABCD A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为________．
【解析】　(1)设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为，所以2π×＝πl，解得l＝2，故选B.
(2)结合长方体的三种展开图得AC1的长分别是：3，2，，显然最小值是3.
【答案】　(1)B　(2)3
基本立体图形的有关问题
(1)空间几何体的结构特征是以后研究线面关系的基础，要牢记．
(2)斜二测画法的关键在于“三变”，“三不变”．
(3)利用空间几何体的表面展开图可求几何体的表面积及表面上两点间的距离问题．
|跟踪训练|
1．(多选)下列命题正确的是(　　)
A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台
C．棱锥是由底面为多边形，其余各面为具有一个公共顶点的三角形围成的几何体
D．球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面
2.
如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为(　　)
A．平行四边形 B.梯形
C．菱形 D.矩形
3．圆台的上、下底面半径分别为10 cm，20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为________cm2.(结果中保留π)
参考答案
1解析：选CD.对于A，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定为棱台，因为不能保证各侧棱的延长线交于一点，所以A错误；对于B，用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不一定为棱台，因为不能保证截面与底面平行，所以B错误；对于C，由棱锥的定义知由底面为多边形，其余各面为具有一个公共顶点的三角形围成的几何体是棱锥，所以C正确；对于D，球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面，正确．故选CD.
2解析：选D.由斜二测画法可知在原四边形ABCD中DA⊥AB，并且AD∥BC，AB∥CD，故四边形ABCD为矩形．
3解析：
如图所示，设圆台的上底面周长为c cm，
因为扇环的圆心角是180°，
故c＝π·SA＝2π×10(cm)，
所以SA＝20 cm.
同理可得SB＝40 cm，
所以AB＝SB－SA＝20 cm，
所以S表＝S侧＋S上底＋S下底＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．
故圆台的表面积为1 100π cm2.
答案：1 100π
考点二　空间几何体的表面积(自主练透)
复习指导：了解球、柱、锥、台的表面积的计算公式．
1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)
A．12π　　 B.12π　　
C.8π　　 D.10π
2．已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为(　　)
A．81π B.100π
C.168π D.169π
3.
如图，设正三棱锥S ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，则此正三棱锥的表面积为________．
参考答案
1解析：选B.设圆柱的轴截面的边长为x，则由x2＝8，得x＝2，所以S表＝2S底＋S侧＝2×π×()2＋2π××2＝12π.故选B.
2解析：
选C.圆台的轴截面如图，设上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l，则它的母线长l＝ ＝ ＝5r＝10，
所以r＝2，R＝8.
故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，
S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.
3解析：如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.
因为S侧＝2S底，
所以·3a·h′＝a2×2.
所以a＝h′.
因为SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2.
所以32＋＝h′2.
所以h′＝2，所以a＝h′＝6.
所以S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18.
所以S表＝S侧＋S底＝9＋18＝27.
答案：27
求解几何体表面积的类型及求法
求多面体的表面积 将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积
求旋转体的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则几何体的表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积
考点三　空间几何体的体积(多维探究)
复习指导：了解球、柱、锥、台的体积的计算公式．
角度1　直接利用公式求体积
(1)(2022·江苏南通联考)已知正三棱柱ABC A1B1C1的各棱长均为2，点D在棱AA1上，则三棱锥D BB1C1的体积为________．
(2)(2020·新高考卷Ⅱ)棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1 D1MN的体积为________．
【解析】　
(1)如图，取BC中点O，连接AO.因为正三棱柱ABC A1B1C1的各棱长均为2，所以AC＝2，OC＝1，则AO＝.
因为AA1∥平面BCC1B1，所以点D到平面BCC1B1的距离为.
又因为S△BB1C1＝×2×2＝2，
所以VD BB1C1＝×2×＝.
(2)如图，由正方体棱长为2，M，N分别为棱BB1，AB的中点，
得S△A1MN＝2×2－2××2×1－×1×1＝，
又易知D1A1为三棱锥D1 A1MN的高，且D1A1＝2，
所以VA1 D1MN＝VD1 A1MN
＝·S△A1MN·D1A1＝××2＝1.
【答案】　(1)　(2)1
角度2　割补法求体积
在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.2π
【解析】　
如图所示，过点D作BC的垂线，垂足为H.则由旋转体的定义可知，该梯形绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个圆柱挖去一个圆锥．其中圆柱的底面半径R＝AB＝1，高h1＝2HC＝BC＝2，其体积V1＝πR2h1＝π×12×2＝2π；圆锥的底面半径r＝DH＝1，高h2＝HC＝1，其体积V2＝πr2h2＝π×12×1＝.故所求几何体的体积V＝V1－V2＝2π－＝.
【答案】　C
几何体的体积计算要点
|跟踪训练|
1．(2021·新高考卷Ⅱ)正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为(　　)
A．20＋12 B.28
C. D.
2.
如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．
参考答案
1解析：
选D.连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高h＝＝，下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，
所以该棱台的体积V＝h(S1＋S2＋)＝××(16＋4＋)＝.故选D.
2解析：
如图，过BC作与EF垂直的截面BCG，作平面ADM∥平面BCG，取BC的中点O，连接GO，FO，由题意可得FO＝，FG＝，
所以GO＝ ＝，
所以S△BCG＝×1×＝，V1＝VBCG ADM＝S△BCG·AB＝，V2＝2VF BCG＝2×S△BCG·GF＝2×××＝，所以V＝V1＋V2＝.
答案：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)