【数学总复习-考点精讲】RJA 第七章 第1讲　第2课时　空间几何体的截面、球的切接问题

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第2课时　空间几何体的截面、球的切接问题
考点一　空间几何体的截面问题(综合研析)
复习指导：利用立体几何的有关定理、事实确定截面的形状和数量关系．
(1)已知圆锥的母线长为2，侧面积为2π，则过圆锥顶点的截面面积的最大值等于(　　)
A.　　　 B.　　　
C.3　　　 D.2
(2)(2020·新高考卷Ⅰ)已知直四棱柱ABCD A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
【解析】　(1)由圆锥的母线长为2，侧面积为2π，假设底面圆周长为l，因此×2×l＝2π，
故底面圆周长为2 π，底面圆的半径为.
由于轴截面为腰长为2，底边长为底面圆的直径为2的等腰三角形，因此轴截面的顶角是.故当截面为顶角是的等腰三角形时面积最大，此时S＝·2·2·sin＝2.故选D.
(2)如图，连接B1D1，易知△B1C1D1为正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，则易得D1G＝D1H＝＝，D1M⊥B1C1，且D1M＝.由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点．在侧面BCC1B1内任取一点P，使MP＝，连接D1P，则D1P＝ ＝＝，连接MG，MH，易得MG＝MH＝，故可知以M为圆心，为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线．由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以的长为×2π×＝.
【答案】　(1)D　(2)
截面问题求解要点
(1)挖掘题目条件，要抓住截面的点是公共点这个关键．
(2)灵活转化，将条件转化到一个平面内，寻找截面上的点满足的数量关系．
|跟踪训练|
1．(2022·淮北市中学联考)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的轴截面(过圆柱的轴作截面)的面积为(　　)
A．2π B.π
C.2 D.1
2．正方体ABCD A1B1C1D1，E，F分别是AA1，CC1的中点，P是CC1上的动点(包括端点)，过E，D，P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是(　　)
A．线段C1F B.线段CF
C．线段CF和一点C1 D.线段C1F和一点C
参考答案
1解析：选C.因为该正方形旋转一周所得圆柱的高为1，底面的半径为1，所以圆柱的轴截面的面积为1×2×1＝2，故选C.
2解析：
选C.如图所示，DE∥平面BB1C1C，所以平面DEP与平面BB1C1C的交线PM∥ED，连接EM，
易证MP＝ED，
因为MP∥ED，则M到达B1时仍可构成四边形，即P到F时，而P在C1F之间，不满足要求，
P到点C1仍可构成四边形，故选C.
考点二　球的接、切问题(多维探究)
复习指导：空间几何体中的接、切问题主要是与球有关的接、切，求解的关键是找出球心所在的位置．
角度1　几何体的外接球
(1) (链接常用结论2)(2021·高考全国卷甲)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O ABC的体积为(　　)
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
(2)(链接常用结论3)若直三棱柱ABC A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，且AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的表面积为________．
【解析】　
(1)如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝.连接OO1，则OO1⊥面ABC，OO1＝＝＝，所以三棱锥O ABC的体积V＝S△ABC×OO1＝××1×1×＝.
(2)将直三棱柱补形为长方体ABEC A1B1E1C1，则球O是长方体ABEC A1B1E1C1的外接球．
所以体对角线BC1的长为球O的直径．
因此2R＝＝13.
故S球＝4πR2＝169π.
【答案】　(1)A　(2)169π
角度2　几何体的内切球
(2020·高考全国卷Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．
【解析】　
易知半径最大的球即为该圆锥的内切球．圆锥及其内切球O如图所示，设内切球的半径为R，则sin∠BPE＝＝＝，所以OP＝3R，所以PE＝4R＝＝＝2， 所以R＝，所以内切球的体积V＝πR3＝π，即该圆锥内半径最大的球的体积为π.
【答案】　π
处理球的“切”“接”问题的求解策略
解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：
|跟踪训练|
1．(2022·云南一中质量监测)在四面体S ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC＝，SB＝2，SC＝4，SA＝2，则该四面体的外接球的表面积是(　　)
A. B.100π
C. D.20π
2．(2022·广东联考)在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a.若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为________．
参考答案
1解析：
选D.如图，因为SA⊥平面ABC，SB＝2，SC＝4，SA＝2，
所以AB＝2，AC＝2，
因为∠BAC＝，由余弦定理可解得BC＝2，
设O1为三角形ABC的外心，
则由正弦定理得三角形ABC外接圆半径为2，
即O1A＝2，
过O1作三角形ABC的垂线l，球心O在l上，则OO1＝AM＝1,
可求外接球半径OA＝，
故该四面体的外接球的表面积是20π.
2解析：
由题意知，当球与四棱锥各面均相切，即内切于四棱锥时球的半径最大．作出其侧视图，如图所示．易知球的半径r＝a.
答案： a
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