【数学总复习-考点精讲】RJA 第七章 第4讲　空间直线、平面的垂直

中小学教育资源及组卷应用平台
第4讲　空间直线、平面的垂直
考向预测 核心素养
直线、平面垂直的判定与性质是高考的重点，新高考对空间角的几何法求解提高了要求，考查考生的推理论证能力和计算能力，各种题型均有可能出现，题目求解可结合空间向量，中等难度． 逻辑推理、直观想象、数学抽象、数学运算
一、知识梳理
1．直线与直线垂直
(1)定义：若两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且夹角为直角，则称这两条直线互相垂直．
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它就和平面内的任意一条直线垂直．
2．直线与平面垂直
(1)定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)判定定理与性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 l⊥α
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b
3.平面与平面垂直
(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 α⊥β
性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 l⊥α
[提醒]　三种垂直关系的转化
常用结论
1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
2．垂直于同一条直线的两个平面平行．
3．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．
4．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
二、教材衍化
1．(多选)(人A必修第二册P161 练习T2改编)若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的是(　　)
A．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线
B．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线
C．平面α内的任一条直线必垂直于平面β
D．过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β
2．(人A必修第二册P158例8改编)已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有(　　)
A．平面ABC⊥平面BCD
B．平面BCD⊥平面ACD
C．平面ABD⊥平面ACD
D．平面BCD⊥平面ABD
3．(人A必修第二册P152 练习T4改编)在三棱锥P ABC中，点P在平面ABC上的射影为点O.
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．
参考答案
1解析：选BD.A项，如图①，a α，b β，且a，b与l都不垂直，则a，b不一定垂直，故A错．
B项，如图②，a α，作b⊥l，则b⊥α，则β内所有与b平行的直线都与a垂直，故B对．
　　
C项，如图③，a α，但a与l不垂直，则a与β不垂直，故C错．
D项，如图④由两平面垂直的性质定理可知D正确，故选BD.
2解析：
选B.因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直圆柱的底面，所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD，因为BC 平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD.故选B.
3解析：(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，
在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，
所以OA＝OB＝OC，
即O为△ABC的外心．
(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.
因为PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB 平面PAB，所以PC⊥平面PAB，
又AB 平面PAB，所以PC⊥AB，
因为AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC 平面PGC，
所以AB⊥平面PGC，又CG 平面PGC，
所以AB⊥CG，
即CG为△ABC的边AB上的高．
同理可证BD，AH分别为△ABC的边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．
答案：(1)外　(2)垂
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)垂直于同一个平面的两个平面平行．(　　)
(2)如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.(　　)
(3)过平面外一点有且只有一条直线垂直于这个平面．(　　)
二、易错纠偏
1．(线面垂直的概念不清致误)直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能(　　)
A．平行　　 B.相交　　
C.异面　　 D.垂直
2．(多选)(忽略线面垂直的条件致误)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是 (　　)
A．① B.②
C.③ D.④
3.
(多选)(面面垂直判定思路不明致误)如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是半圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．MN∥平面ABC
B．平面VAC⊥平面VBC
C．MN与BC所成的角为45°
D．OC⊥平面VAC
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)√　(3)√
二、易错纠偏
1解析：选A.因为l⊥α，所以l垂直于平面α内的每一条直线，又m α，所以l⊥m，所以直线l与m不可能平行．
2解析：选AC.根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③中给定的平面内的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直．
3解析：选AB.易知MN∥AC，又AC 平面ABC，MN 平面ABC，所以MN∥平面ABC，又由题意得BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以VA⊥BC.因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC.因为BC 平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC.故选AB.
考点一　线面垂直的判定与性质(综合研析)
复习指导：以立体几何的定义和基本事实为出发点，认识和理解空间中直线与平面垂直的有关性质与判定定理，并能运用定理证明一些结论．
S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
【证明】　(1)如图所示，取AB的中点E，
连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点，
所以DE∥BC，
所以DE⊥AB，
因为SA＝SB，E是AB的中点，
所以SE⊥AB.
又SE∩DE＝E，
所以AB⊥平面SDE.
又SD 平面SDE，所以AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，
所以SD⊥AC.又AC∩AB＝A，
所以SD⊥平面ABC.
(2)由于AB＝BC，D是AC的中点，
则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD 平面ABC，
所以SD⊥BD，又SD∩AC＝D，SD，AC 平面SAC，
所以BD⊥平面SAC.
判定线面垂直的四种方法
|跟踪训练|
(2021·高考全国卷甲)
已知直三棱柱ABC A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1.
(1)求三棱锥F EBC的体积；
(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE.
解：
(1)如图，取BC的中点为M，连接EM，
由已知可得EM∥AB，AB＝BC＝2，CF＝1，
EM＝AB＝1，AB∥A1B1，
由BF⊥A1B1得EM⊥BF，
又EM⊥CF，BF∩CF＝F，
所以EM⊥平面BCF，
故V三棱锥F EBC＝V三棱锥E FBC＝×BC×CF×EM＝××2×1×1＝.
(2)连接A1E，B1M，由(1)知EM∥A1B1，
所以ED在平面EMB1A1内．
在正方形CC1B1B中，由于F，M分别是CC1，BC的中点，所以由平面几何知识可得BF⊥B1M，
又BF⊥A1B1，B1M∩A1B1＝B1，所以BF⊥平面EMB1A1，
又DE 平面EMB1A1，所以BF⊥DE.
考点二　面面垂直的判定与性质(多维探究)
复习指导：以立体几何的定义和基本事实为出发点，认识和理解空间中平面与平面垂直的有关性质与判定定理，并能运用定理证明一些结论．
角度1　面面垂直的判定
如图，
在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE.
【证明】　(1)因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以PA⊥BD.
因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.
(2)因为PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，
所以PA⊥AE.
因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
且E为CD的中点，所以AE⊥CD.所以AB⊥AE.
又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB.
因为AE 平面PAE，
所以平面PAB⊥平面PAE.
证明面面垂直的方法
(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．
(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，进而把问题转化为证明线线垂直加以解决．
角度2　面面垂直的性质
(2022·广东模拟)
如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°.侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．
求证：(1)BG⊥平面PAD；
(2)AD⊥PB.
【证明】　
(1)如图，连接PG，BD，由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，所以PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以PG⊥平面ABCD，又BG 平面ABCD，所以PG⊥BG.
又四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，
所以△ABD是正三角形，所以BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，所以BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.
又PG∩BG＝G，
所以AD⊥平面PBG，因为PB 平面PBG，所以AD⊥PB.
面面垂直的性质定理的应用思路
在空间图形中，如已知条件中有面面垂直，一般需要作辅助线，考虑应用面面垂直的性质定理得到线面垂直，继而可得线线垂直．在运用面面垂直的性质定理时，找准两平面的交线是关键．
|跟踪训练|
(2022·江苏镇江八校联考)
如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足．
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
证明：(1)如图，在平面ABC内取一点D，过点D作DF⊥AC于点F.
因为平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，
所以DF⊥平面PAC.
因为PA 平面PAC，所以DF⊥PA.
过点D作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA.
因为DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，
所以PA⊥平面ABC.
(2)如图，连接BE并延长交PC于点H.
因为点E是△PBC的垂心，所以PC⊥BH.
又AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，所以PC⊥AE.
因为AE∩BH＝E，所以PC⊥平面ABE.
又AB 平面ABE，所以PC⊥AB.
由(1)知PA⊥平面ABC，又AB 平面ABC，
所以PA⊥AB.
因为PA∩PC＝P，所以AB⊥平面PAC.
又AC 平面PAC，所以AB⊥AC，
即△ABC是直角三角形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)