人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径课件(共21张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径课件(共21张PPT) |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-20 17:06:49 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
24.1.2 垂径定理
1.垂径定理的内容是什么 画出适合题意的图形,用符号语言表示出来.
垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
●O
A
B
C
D
E└
CD⊥AB,
∵ CD是直径,
∴AE=BE,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD=BD.
符号语言
图形语言
温故而知新
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
∴ CD⊥AB,
∵ CD是直径，
AE=BE
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
·
O
A
B
C
D
E
（1）如何证明？
·
O
A
B
C
D
E
已知：如图，CD是⊙O的直径，AB为弦，且AE=BE.
证明：连接OA，OB，则OA=OB
∵ AE=BE
∴ CD⊥AB
∴ AD=BD,
⌒
⌒
求证：CD⊥AB，且AD=BD,
⌒
⌒
⌒
⌒
AC =BC
⌒
⌒
AC =BC
（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
·
O
A
B
C
D
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
如果具备上面五个条件中的任何两个，那么一定可以得到其他三个结论吗？
一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦（不是直径）; (4)平分弦所对优弧;(5)平分弦所对的劣弧.
●O
A
B
C
D
└
M
课堂讨论
根据已知条件进行推导：
①过圆心
②垂直于弦
③平分弦
④平分弦所对优弧
⑤平分弦所对劣弧
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧。
①
⑤
③④②
①
④
③②⑤
①③
②④⑤
①
④
⑤
②
③
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分
弦所对的另一条弧。
①②
③④⑤
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.
(4)若 ，CD是直径,
则 、 、 .
(1)若CD⊥AB, CD是直径,
则 、 、 .
(2)若AM=MB, CD是直径,
则 、 、 .
(3)若CD⊥AB, AM=MB,
则 、 、 .
1.如图所示:
练习
●O
A
B
C
D
└
M
AM=BM
⌒
⌒
AC=BC
⌒
⌒
AD=BD
CD⊥AB
⌒
⌒
AC=BC
⌒
⌒
AD=BD
CD是直径
⌒
⌒
AC=BC
⌒
⌒
AD=BD
⌒
⌒
AC=BC
CD⊥AB
AM=BM
⌒
⌒
AD=BD
试一试
2.判断：
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
( )(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分
这条弦所对的另一条弧.
( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
( )(4)圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行.
( )(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
√
√
3、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且OP=3cm, 则过P点的弦中，
（1）最长的弦= cm
（2）最短的弦= cm
（3）弦的长度为整数的共有（ ）
A、2条 b、3条 C、4条 D、5条
A
O
C
D
5
4
P
3
B
4、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于F,EF= 。
4
船能过拱桥吗
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
船能过拱桥吗
解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.
由题设得
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈3.9（m）.
在Rt△ONH中，由勾股定理，得
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
O
A
B
C
已知A、B、C是⊙O上三点，且AB=AC，圆心O到BC的距离为3厘米，圆的半径为5厘米，求AB长。
D
D
试一试
O
A
B
C
O
A
B
O
A
B
已知⊙O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。
E
E
D
D
练习
1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm，如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最短的弦等于 .
E
D
C
B
A
P
O
2.过⊙O内一点M的最长弦长为4厘米，最短弦长为2厘米，则OM的长是多少？
O
M
A
某圆直径是10,内有两条平行弦,长度分别为6和8
求这两条平行弦间的距离.
回顾与思考
这节课你有什么收获？
还有哪些疑问？
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8㎝,那么⊙o的半径是
2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那么C到AB的距离等于
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝,那么⊙O的半径为
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
N,且OM=2,0N=3,则AB= ,
AC= ,OA=
B
A
M
C
O
N
5㎝
1㎝或9㎝
6
4
Cm
5、如图，⊙O中CD是弦，AB是直径，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求证：CE＝DF。
M
F
E
A
B
D
C
O
24.1.2 垂径定理
1.垂径定理的内容是什么 画出适合题意的图形,用符号语言表示出来.
垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
●O
A
B
C
D
E└
CD⊥AB,
∵ CD是直径,
∴AE=BE,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD=BD.
符号语言
图形语言
温故而知新
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
∴ CD⊥AB,
∵ CD是直径，
AE=BE
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
·
O
A
B
C
D
E
（1）如何证明？
·
O
A
B
C
D
E
已知：如图，CD是⊙O的直径，AB为弦，且AE=BE.
证明：连接OA，OB，则OA=OB
∵ AE=BE
∴ CD⊥AB
∴ AD=BD,
⌒
⌒
求证：CD⊥AB，且AD=BD,
⌒
⌒
⌒
⌒
AC =BC
⌒
⌒
AC =BC
（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
·
O
A
B
C
D
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
如果具备上面五个条件中的任何两个，那么一定可以得到其他三个结论吗？
一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦（不是直径）; (4)平分弦所对优弧;(5)平分弦所对的劣弧.
●O
A
B
C
D
└
M
课堂讨论
根据已知条件进行推导：
①过圆心
②垂直于弦
③平分弦
④平分弦所对优弧
⑤平分弦所对劣弧
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧。
①
⑤
③④②
①
④
③②⑤
①③
②④⑤
①
④
⑤
②
③
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分
弦所对的另一条弧。
①②
③④⑤
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.
(4)若 ，CD是直径,
则 、 、 .
(1)若CD⊥AB, CD是直径,
则 、 、 .
(2)若AM=MB, CD是直径,
则 、 、 .
(3)若CD⊥AB, AM=MB,
则 、 、 .
1.如图所示:
练习
●O
A
B
C
D
└
M
AM=BM
⌒
⌒
AC=BC
⌒
⌒
AD=BD
CD⊥AB
⌒
⌒
AC=BC
⌒
⌒
AD=BD
CD是直径
⌒
⌒
AC=BC
⌒
⌒
AD=BD
⌒
⌒
AC=BC
CD⊥AB
AM=BM
⌒
⌒
AD=BD
试一试
2.判断：
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
( )(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分
这条弦所对的另一条弧.
( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
( )(4)圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行.
( )(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
√
√
3、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且OP=3cm, 则过P点的弦中，
（1）最长的弦= cm
（2）最短的弦= cm
（3）弦的长度为整数的共有（ ）
A、2条 b、3条 C、4条 D、5条
A
O
C
D
5
4
P
3
B
4、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于F,EF= 。
4
船能过拱桥吗
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
船能过拱桥吗
解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.
由题设得
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈3.9（m）.
在Rt△ONH中，由勾股定理，得
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
O
A
B
C
已知A、B、C是⊙O上三点，且AB=AC，圆心O到BC的距离为3厘米，圆的半径为5厘米，求AB长。
D
D
试一试
O
A
B
C
O
A
B
O
A
B
已知⊙O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。
E
E
D
D
练习
1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm，如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最短的弦等于 .
E
D
C
B
A
P
O
2.过⊙O内一点M的最长弦长为4厘米，最短弦长为2厘米，则OM的长是多少？
O
M
A
某圆直径是10,内有两条平行弦,长度分别为6和8
求这两条平行弦间的距离.
回顾与思考
这节课你有什么收获？
还有哪些疑问？
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8㎝,那么⊙o的半径是
2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那么C到AB的距离等于
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝,那么⊙O的半径为
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
N,且OM=2,0N=3,则AB= ,
AC= ,OA=
B
A
M
C
O
N
5㎝
1㎝或9㎝
6
4
Cm
5、如图，⊙O中CD是弦，AB是直径，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求证：CE＝DF。
M
F
E
A
B
D
C
O
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