平面向量小结与复习
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何、三角的一种工具．向量不仅和数一样也能进行计算，而且运用向量的有关知识还能有效的解决数学和物理等学科中的很多问题．因此，通过系统复习，同学们务必理解本模块所涉及的许多概念，熟练地进行向量的基本运算，并掌握向量的简单运用．
有关概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或称模）．
2．零向量：长度为量的向量，方向是任意的.
3．单位向量：长度等于1个单位长度的向量.
4．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。规定零向量与任何向量平行.
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量.
6．向量的几何表示：用一条有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.
二、基本运算
1．加法运算
（1）加法的几何运算的法则：①三角形法则（图1）；②平行四边形法则（图2）.
（2）加法的坐标运算：设，则.
2．减法运算
（1）减法的几何运算的三角形法则（图3）.
（2）减法的坐标运算：设，则.
设，则.
3．实数与向量的积
（1）定义：实数与向量的乘积是一个向量，记做，它的模.
当时，与同向；当时，与反向；当时，.
（2）运算律：；；.
（3）坐标运算：设，则.
4．平面向量的数量积
（1）定义：，特别地，.
（2）运算律：；；.
（3）坐标运算：设，则.
三、定理公式
1．平面向量基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.
、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.此定理又叫做平面向量的分解定理，当时且与轴的正向相同时，又称正交分解.
2．两个向量平行的充要条件：；
设，则.
3．两个向量垂直的充要条件：；
设，则.
4．向量的模：.
5．向量在上的投影为.
6．向量与的夹角：.
四、典型例题
1．概念辨析题型
例1．是非零不共线向量，下列命题：
（1）；（2）；（3）不垂直；（4）。其中正确的是
A.（1）（2） B.（2）（3） C.（3）（4） D.（2）（4）
评注：本题考查了数量积运算律、向量加减法等基础知识．选(D)
2．基本计算题型
例2．中，AD、BE是中线， ，
评注：本题考查了向量的加减法的几何意义、平面向量基本定理、重心及中线性质等基础知识.选 A.
例3．（05福建）在△ABC中，∠C=90°，则k的值是
A．5 B．－5 C． D．
解：
，
即，选A.
评注：本题考查了平面向量数量积及其坐标运算.
例4．（05北京）若，且，则向量与的夹角为
A．30° B．60° C．120° D．150°
解：选C.
评注：本题考查了向量夹角公式.
五、思想方法
1．数形结合思想.“形无数时难入微，数无形时难直观.”向量就是使“数”和“形”和谐统一的一种工具.在解题时，常常将向量的加减运算用它的几何意义来表示，以达到直观简捷的目的.有时也需将几何意义用向量的加减法算式、坐标表达出来，和三角等联系起来，以便于计算.
2．等价转化的思想. 将向量的代数运算转化为几何运算；如果对向量的几何运算法则不熟悉，也可由向量的坐标运算法则转化为实数的运算，即将向量的加法、减法、数乘和数量积转化为实数的加、减、乘的运算，这都体现了等价转化的思想．
例5．已知，
求与的夹角．
解：方法一（代数法）：
.
（或）
方法二（几何法）：
如图所示，
评注：本题可以运用两种不同的方法求解，但明显可以看到，几何法比代数法简捷的多．所以，在解题时，转化为几何法，利用数形结合，使问题容易解决．
六、注意的问题
1．数量积运算不满足消去律．命题“”是否命题.
例6．(05湖南) P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解： ,同理，，，是垂心，选D．
评注：不能简单地消去而得到．
2．非零向量与的夹角为锐角的充要条件是且不平行，而不仅仅是．
例7．，夹角是钝角，则
解：选A.
评注：本题考查了数量积定义、简单不等式。但要注意夹角是钝角得出的是，不仅是.
3．向量、夹角与直线、夹角不能等价.
例8．边长为1的等边三角形ABC中，，正确吗？
解：不正确. .
评注：在三角形中，一定要注意两个向量的夹角与三角形的内角的关系．
高一数学平面向量单元测试(必修4)
一：选择题（每题5分，共60分）
1.在△ABC中，∠C=90°，则k的值是
A．5 B．－5 C． D．
2.已知向量
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．已知分别是的边上的中线，且，，则是
（A） （B） （C） （D）
4．已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则
(A) ⊥ (B) ⊥(－) (C) ⊥(－) (D) (＋)⊥(－)
5.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的
（A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点
（C）三条中线的交点 （D）三条高的交点
6. 已知点A（2，3）、B（10，5），直线AB上一点P满足|PA|=2|PB|，则P点坐标是（ ）
（A） （B）（18，7）
（C）或（18，7） （D）（18，7）或（－6，1）
7.已知平面上直线l的方向向量=(－，)，点O(0，0)和A(1，－2)在l上的射影分别是O(和A(，则=(，其中(=
A． B．－ C．2 D．－2
8. 若:
（ A） （B） （C） （D）以上都不对
9.设为非零向量，则下列命题中：①与有相等的模；②与的方向相同；③与的夹角为锐角；④≥且与方向相反．真命题的个数是
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
10．已知若与夹角为钝角，则的取值范围:
A. B. C. D.
11．下列命题中，错误的命题是
（A）在四边形中，若，则为平行四边形
（B）已知为非零向量，且平分与的夹角，则
（C）已知与不共线，则与不共线
（D）对实数，，，则三向量，，不一定在同一平面上
12．下面五个命题：⑴所有的单位向量相等；⑵长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；⑶若满足且同向，则；⑷由于零向量的方向不确定，故与任何向量不平行；⑸对于任何向量，必有≤．其中正确命题的序号为:
（A）⑴，⑵，⑶ （B）⑸ （C）⑶，⑸ （D）⑴，⑸
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13.直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是__________。
14. 若平面向量与向量的夹角是，且 .
15.在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是________。
16. 有两个向量，，今有动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为；另一动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为．设、在时刻秒时分别在、处，则当时， 秒．
三、解答题（共74分）
17．如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是DC、AB的中点，已知=a,=b,试用a、b分别表示、、。
18.已知： 、、是同一平面内的三个向量，其中 ＝（1，2）
⑴ 若||，且，求的坐标；
⑵ 若||=且与垂直，求与的夹角θ.
19. 已知向量=3－4，=6－3，=（5－m）－（4＋m），其中、分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量．
（1）若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
（2）若ΔABC为直角三角形，求实数m的值．
20． ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且
①求
②求AOB的面积
21．设点O、A、B、C为同一平面内四点，且，
，试判断的形状.
22. 设、是两个不共线的非零向量（t∈R） ①若与起点相同，t为何值时，，t，（+）三向量的终点在一直线上？②若||=||且与夹角为60°，那末t为何值时|－t|的值最小？
参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
A
C
D
C
D
B
C
D
D
B
二、填空题
13. 14. 15. 16.2
17.
18. (1)或
(2)
19.(1)
(2)或
20. （1）
（2）由
21. 解：
.同理，
又，同理
，为等边三角形.
22. ①设－t=m[－(+)](m∈R) 化简得=
∵与不共线 ∴
∴t=时，、t、(+)终点在一直线上 ②|－t |2=（－t）2=||2+t2||－2t，
|| ||cos 60°=（1+t2－t）||2, ∴t=时，|－t|有最小值
平面向量
一、选择题：
1．在中,,则的值为 ( )
A 20 B C D
错误分析:错误认为,从而出错.
答案: B
略解: 由题意可知,
故=.
2．关于非零向量和，有下列四个命题：
（1）“”的充要条件是“和的方向相同”；
（2）“” 的充要条件是“和的方向相反”；
（3）“” 的充要条件是“和有相等的模”；
（4）“” 的充要条件是“和的方向相同”；
其中真命题的个数是 （ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
错误分析:对不等式的认识不清.
答案: B.
3．已知O、A、B三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P线段AB上且 =t (0≤t≤1)则· 的最大值为 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
正确答案：C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当(OP(cos(最大时，· 即为最大。
4．若向量 =(cos(,sin() ， =， 与不共线，则与一定满足（ ）
A． 与的夹角等于(-( B．∥
C．(+)((-) D． ⊥
正确答案：C 错因：学生不能把、的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。
5．已知向量 =(2cos(，2sin()，((()， =（0,-1)，则 与 的夹角为( )
A．-( B．+( C．(- D．(
正确答案：A 错因：学生忽略考虑与夹角的取值范围在[0，(]。
6． O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若( -)·(+-2)=0，则(ABC是（ ）
A．以AB为底边的等腰三角形 B．以BC为底边的等腰三角形
C．以AB为斜边的直角三角形 D．以BC为斜边的直角三角形
正确答案：B 错因：学生对题中给出向量关系式不能转化：2不能拆成(+)。
7．已知向量M={ ( =(1,2)+((3,4) ((R}， N={(=(-2,2)+ ((4,5) ((R }，则M(N=（ ）
A ｛（1，2）｝ B C D
正确答案：C 错因：学生看不懂题意，对题意理解错误。
8．已知，，若，则△ABC是直角三角形的概率是（ C ）
A． B． C． D．
分析：由及知，若垂直，则；若与垂直，则，所以△ABC是直角三角形的概率是.
9．设a0为单位向量，（1）若a为平面内的某个向量，则a=|a|·a0;(2)若a与a0平行，则a=|a|·a0；（3）若a与a0平行且|a|=1，则a=a0。上述命题中，假命题个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
正确答案：D。
错误原因：向量的概念较多，且容易混淆，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。
10．已知|a|=3,|b|=5，如果a∥b，则a·b= 。
正确答案：。±15。
错误原因：容易忽视平行向量的概念。a、b的夹角为0°、180°。
11． O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足
,则P的轨迹一定通过△ABC的( )
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
正确答案：B。
错误原因：对理解不够。不清楚
与∠BAC的角平分线有关。
12．如果，那么 （ ） A． B． C． D．在方向上的投影相等
正确答案：D。
错误原因：对向量数量积的性质理解不够。
13．向量＝（3，4）按向量a=(1,2)平移后为 （ ）
A、（4，6） B、（2，2） C、（3，4） D、（3，8）
正确答案： C
错因：向量平移不改变。
14．已知向量则向量的夹角范围是（ ）
A、[π/12，5π/12] B、[0，π/4] C、[π/4，5π/12] D、 [5π/12，π/2]
正确答案：A
错因：不注意数形结合在解题中的应用。
15．将函数y=2x的图象按向量 平移后得到y=2x+6的图象，给出以下四个命题：① 的坐标可以是（-3，0） ②的坐标可以是（-3，0）和（0，6） ③的坐标可以是（0，6） ④的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是 （ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
正确答案：D
错因：不注意数形结合或不懂得问题的实质。
16．过△ABC的重心作一直线分别交AB,AC 于D,E,若 ,(),则的值为( )
A 4 B 3 C 2 D 1
正确答案：A
错因：不注意运用特殊情况快速得到答案。
17．设平面向量=(－2，1)，=(λ，－1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：A
点评：易误选C，错因：忽视与反向的情况。
18．设=(x1，y1)，=(x2，y2)，则下列与共线的充要条件的有（ ）
① 存在一个实数λ，使=λ或=λ； ② |·|=|| ||；
③ ； ④ (+)//(－)
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
答案：C
点评：①②④正确，易错选D。
19．以原点O及点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使，则的坐标为（ ）。
A、（2，-5） B、（-2，5）或（2，-5）
C、（-2，5） D、（7，-3）或（3，7）
正解：B
设，则由 ①
而又由得 ②
由①②联立得。
误解：公式记忆不清，或未考虑到联立方程组解。
20．设向量，则是的（ ）条件。
A、充要 B、必要不充分
C、充分不必要 D、既不充分也不必要
正解：C
若则，若，有可能或为0，故选C。
误解：，此式是否成立，未考虑，选A。
21．在OAB中，，若=-5，则=（ ）
A、 B、 C、 D、
正解：D。
∵∴（LV为与的夹角）
∴∴∴
误解：C。将面积公式记错，误记为
22．在中，，，有，则的形状是 （D）
锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
错解：C
错因：忽视中与的夹角是的补角
正解：D
23．设平面向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 （A）
A、 B、（2，+ C、（— D、（-
错解：C
错因：忽视使用时，其中包含了两向量反向的情况
正解：A
24．已知A（3，7），B（5，2），向量平移后所得向量是 。
A、（2，-5）， B、（3，-3）， C、（1，-7） D、以上都不是
答案：A
错解：B
错因：将向量平移当作点平移。
25．已知中， 。
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
答案：C
错解：A或D
错因：对向量夹角定义理解不清
26．正三角形ABC的边长为1，设，那么的值是 （ ）
A、 B、 C、 D、
正确答案：(B)
错误原因：不认真审题，且对向量的数量积及两个向量的夹角的定义模糊不清。
27．已知，且，则 （ ）
A、相等 B、方向相同 C、方向相反 D、方向相同或相反
正确答案：(D)
错误原因：受已知条件的影响，不去认真思考可正可负，易选成B。
28．已知是关于x的一元二次方程，其中是非零向量，且向量不共线，则该方程 （ ）
A、至少有一根 B、至多有一根
C、有两个不等的根 D、有无数个互不相同的根
正确答案：(B)
错误原因：找不到解题思路。
29．设是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题：
① ②
③ ④若不平行
其中正确命题的个数是
（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
正确答案：(B)
错误原因：本题所述问题不能全部搞清。
二填空题：
1．若向量=，=，且，的夹角为钝角，则的取值范围是______________.
错误分析：只由的夹角为钝角得到而忽视了不是夹角为钝角的充要条件,因为的夹角为时也有从而扩大的范围,导致错误.
正确解法: ，的夹角为钝角,
解得或 (1)
又由共线且反向可得 (2)
由(1),(2)得的范围是
答案: .
2．有两个向量，，今有动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为；另一动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为．设、在时刻秒时分别在、处，则当时， 秒．正确答案：2
（薛中）1、设平面向量若的夹角是钝角，则的范围是 。
答案：
错解：
错因：“”与“的夹角为钝角”不是充要条件。
3． 是任意向量，给出：，方向相反，都是单位向量，其中 是共线的充分不必要条件。
答案：
错解：
错因：忽略方向的任意性，从而漏选。
4．若上的投影为 。
正确答案：
错误原因：投影的概念不清楚。
5．已知o为坐标原点，集合,且 。
正确答案：46
错误原因：看不懂题意，未曾想到数形结合的思想。
三、解答题：
1．已知向量,且求
(1) 及;
(2)若的最小值是,求实数的值.
错误分析:(1)求出=后,而不知进一步化为,人为增加难度;
(2)化为关于的二次函数在的最值问题,不知对对称轴方程讨论.
答案: (1)易求, = ;
(2) ==
=
从而:当时,与题意矛盾, 不合题意;
当时, ;
当时,解得,不满足;
综合可得: 实数的值为.
2．在中,已知,且的一个内角为直角,求实数的值.
错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论.
答案: (1)若即
故,从而解得;
(2)若即,也就是,而故,解得;
(3)若即,也就是而,故,解得
综合上面讨论可知,或或
3．已知向量m=(1,1)，向量与向量夹角为，且·=-1，
(1)求向量；
(2)若向量与向量=(1,0)的夹角为，向量=(cosA,2cos2)，其中A、C为(ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，试求(+(的取值范围。
解：(1)设=(x,y)
则由<,>=得：cos<,>== ①
由·=-1得x+y=-1 ②
联立①②两式得或
∴=(0,-1)或(-1,0)
(2) ∵<,>=
得·=0
若=(1,0)则·=-1(0
故((-1,0) ∴=(0,-1)
∵2B=A+C，A+B+C=(
(B= ∴C=
+=(cosA,2cos2)
=(cosA,cosC)
∴(+(===
=
=
=
=
∵0
∴0<2A<
∴-1∴(+((()
4．已知函数f(x)=m(x-1((m(R且m(0)设向量)，，，，当(((0，)时，比较f()与f()的大小。
解：=2+cos2(，=2sin2(+1=2-cos2(
f()=m(1+cos2((=2mcos2(
f()=m(1-cos2((=2msin2(
于是有f()-f()=2m(cos2(-sin2()=2mcos2(
∵(((0,) ∴2(((0, ) ∴cos2(>0
∴当m>0时，2mcos2(>0，即f()>f()
当m<0时，2mcos2(<0，即f()5．已知(A、(B、(C为(ABC的内角，且f(A、B)=sin22A+cos22B-sin2A-cos2B+2
(1)当f(A、B)取最小值时，求(C
(2)当A+B=时，将函数f(A、B)按向量平移后得到函数f(A)=2cos2A求
解：(1) f(A、B)=(sin22A-sin2A+)+(cos22B-cos2B+)+1
=(sin2A-)2+(sin2B-)2+1
当sin2A=,sin2B=时取得最小值，
∴A=30(或60(，2B=60(或120( C=180(-B-A=120(或90(
(2) f(A、B)=sin22A+cos22()-
=
=
=
6．已知向量（m为常数），且,不共线，若向量,的夹角落< , >为锐角，求实数x的取值范围.
解：要满足<>为锐角
只须>0且（）
=
=
=
即 x (mx-1) >0
1°当 m > 0时
x<0 或
2°m<0时
x ( -mx+1) <0
3°m=0时 只要x<0
综上所述：x > 0时，
x = 0时，
x < 0时，
7．已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ），a与b之间有关系|ka+b|=|a－kb|，其中k>0，
（1）用k表示a·b;
（2）求a·b的最小值，并求此时a·b的夹角的大小。
解 （1）要求用k表示a·b,而已知|ka+b|=|a－kb|，故采用两边平方，得
|ka+b|2=(|a－kb|)2
k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2－2ka·b)
∴8k·a·b=(3－k2)a2+(3k2－1)b2
a·b =
∵a=(cosα，sinα),b=(cosβ,sinβ)，
∴a2=1, b2=1,
∴a·b ==
（2）∵k2+1≥2k，即≥=
∴a·b的最小值为，
又∵a·b =| a|·|b |·cos，|a|=|b|=1
∴=1×1×cos。
∴=60°,此时a与b的夹角为60°。
错误原因：向量运算不够熟练。实际上与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有|a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2a·b或|a|2+|b|2+2a·b。
8．已知向量，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，且，求的值．
解（Ⅰ）,
.
, ,
即 . .
（Ⅱ）
，
，
