【数学总复习-考点精讲】RJA 第八章 第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系

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第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系
考向预测 核心素养
考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最值等．题型主要以选择题、填空题为主，要求相对较低. 直观想象、数学运算
一、知识梳理
1．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r
代数法：由消元得到一元二次方程根的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
2.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法
若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)
(2)代数法
通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
一元二次方程
常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．两圆相交时公共弦所在直线的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
3．圆系方程
(1)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．
二、教材衍化
1．(人A选择性必修第一册P93练习T1(1)改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　)
A．相切　　　　 B.相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D.相离
2．(人A选择性必修第一册P93练习T3改编)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0被直线ax＋y－1＝0所截的线段长为2，则a＝(　　)
A．－ 　　 B.－
C. 　　 D.2
3．(人A选择性必修第一册P98练习T1改编)两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是________．
4．(人A选择性必修第一册P98习题2.5 T8改编)过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程为________________．
参考答案
1答案：B
2解析：选A.圆的方程可化为(x－1)2＋(y－4)2＝4，
所以圆心的坐标是(1，4)，半径为2.
因为圆心到直线的距离d＝＝，
弦长为2，
所以()2＋()2＝22，
解得a＝－，故选A.
3答案：内切
4解析：设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心坐标代入直线l的方程：2x＋4y－1＝0，可得λ＝，故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
答案：x2＋y2－3x＋y－1＝0
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　　)
(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．(　　)
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　　)
(4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(　　)
二、易错纠偏
1．(多选)(直线与圆相交的充要条件判断易错)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是(　　)
A．0＜m＜1 B.－1＜m＜0
C．m＜1 D.－3＜m＜1
2．(忽视两圆内切与外切两种情形致误)若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________．
3．(忽视直线斜率不存在的情形致误)已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3，1)作圆C的切线，则切线方程为________．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
二、易错纠偏
1解析：选AB.联立直线与圆的方程得
消去y，得2x2＋(2m－2)x＋m2－1＝0，根据题意得Δ＝(2m－2)2－8(m2－1)＝－4(m＋1)2＋16＞0，得－3＜m＜1.
因为{m|0＜m＜1}?{m|－3＜m＜1}，{m|－1＜m＜0}?{m|－3＜m＜1}，
所以0＜m＜1和－1＜m＜0都是直线与圆相交的充分不必要条件．
2解析：两圆的圆心距d＝，由两圆相切(外切或内切)，得＝5＋1或＝5－1，解得a＝±2或a＝0.
答案：±2或0
3解析：由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y－1＝k(x－3)，所以kx－y＋1－3k＝0，所以＝3，所以k＝－，所以切线方程为4x＋3y－15＝0.综上，切线方程为x＝3或4x＋3y－15＝0.
答案：x＝3或4x＋3y－15＝0
考点一　直线与圆的位置关系(自主练透)
复习指导：能根据给定直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系．
1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定，与m的取值有关
2．(2022·杭州模拟)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为(　　)
A．(－∞，2) 　 B.(2，＋∞)
C．(－∞，－6) D.(－6，＋∞)
3．若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是(　　)
A．(＋1，＋∞) B.(－1，＋1)
C．(0，－1) D.(0，＋1)
4．(一题多解)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________．
参考答案
1解析：选A.由消去y，
整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20>0，
所以直线l与圆相交．
2解析：选C.因为x2＋y2－2x－2y＋b＝0表示圆，所以8－4b＞0，即b＜2.因为直线ax＋y＋a＋1＝0恒过定点(－1，－1)，所以点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0的内部，所以6＋b＜0，解得b＜－6，所以b的取值范围是(－∞，－6)．故选C.
3解析：
选A.计算得圆心到直线l的距离为＝＞1，如图．直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1.故选A.
4解析：方法一：设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，则r＝＝.
方法二：因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以×2＝－1，所以m＝－2，r＝＝.
答案：－2　
判断直线与圆的位置关系的方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断．
(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．
①如果Δ<0，那么直线与圆相离；②如果Δ＝0，那么直线与圆相切；③如果Δ>0，那么直线与圆相交．
考点二　圆的切线、弦长问题(多维探究)
复习指导：1.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
角度1　圆的切线问题
(1)(2022·长沙市第一中学月考)已知圆x2＋y2＝25，则过圆上一点A的切线方程为(　　)
A．3x＋4y－25＝0　　 B.4x＋3y－24＝0
C．3x－4y＋7＝0 D.4x－3y＝0
(2)过x－y－2＝0上一点P(x0，y0)作直线与x2＋y2＝1相切于A，B两点．当x0＝3时，切线长|PA|＝________；当|PO|·|AB|最小时，x0的值为________．
【解析】　(1)过圆x2＋y2＝25上一点A(3，4)的切线方程为3x＋4y＝25，即3x＋4y－25＝0.
(2)当x0＝3时，y0＝1，即P(3，1)，
所以|PO|＝＝，
|PA|＝＝3；
如图，PO⊥AB，PA⊥OA，PB⊥OB，
所以S四边形OAPB＝|PO|·|AB|＝|OA|·|PA|＋|OB|·|PB|＝|OA|·|PA|＝|PA|，
所以|PO|·|AB|＝2|PA|＝2＝2，
则当OP垂直于直线时，|PO|取得最小值为＝，
此时|PO|·|AB|取得最小值为2，且P的坐标为(1，－1)，即x0＝1.
【答案】　(1)A　(2)3　1
角度2　弦长问题
(1)已知直线l：x＋my－1＝0与圆2＋2＝4相交于A，B两点，当AB取得最大值时，则m＝(　　)
A．－3　　 B.－1　　
C.1　　 D.3
(2)过点P(0，2)引一条直线l交圆(x－1)2＋y2＝4于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为______________________．
【解析】　(1)圆＋＝4的圆心C，半径r＝2，
由圆的性质可知当直线l：x＋my－1＝0过圆心时，弦长AB取得最大值，
所以2－m－1＝0，解得m＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝0，可求出它与圆(x－1)2＋y2＝4的两交点坐标分别为(0，)，(0，－)，所以弦长|AB|＝2，满足题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.
如图所示，设圆心为C，点D是弦AB的中点，连接CD，AC，则CD⊥AB.
在Rt△ADC中，
∠ADC＝90°，|AC|＝r＝2，
|AD|＝|AB|＝，
故|CD|＝＝＝1，
即＝1，
解得k＝－，这时直线l的方程为3x＋4y－8＝0.
故所求直线方程为x＝0或3x＋4y－8＝0.
【答案】　(1)C　(2)x＝0或3x＋4y－8＝0
圆的切线、弦长问题的解法
(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
|跟踪训练|
1．(多选)(2021·新高考卷Ⅰ)已知点P在圆＋＝16上，点A，B，则(　　)
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，＝3
D．当∠PBA最大时，＝3
2．已知圆(x－1)2＋y2＝4内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是(　　)
A．x－y－1＝0 B.x＋y－3＝0
C．x＋y＋3＝0 D.x＝2
参考答案
1解析：选ACD.圆＋＝16的圆心为M，半径为4，
直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，
圆心M到直线AB的距离为＝＝>4，
所以，点P到直线AB的距离的最小值为－4<1，最大值为＋4<10，A选项正确，B选项错误；
如图所示．
当∠PBA最大或最小时，即点P在P2或P1位置时，PB与圆M相切，连接MP，BM，可知PM⊥PB，
＝＝，＝4，由勾股定理可得＝＝3，C，D选项正确．
2解析：选B.由题意可知，当过圆心且过点P(2，1)时所得弦为直径，
当与这条直径垂直时所得弦长最短，
圆心为C(1，0)，P(2，1)，
则由两点间斜率公式可得kCP＝＝1，
所以与PC垂直的直线斜率为k＝－1，
则由点斜式可得过点P(2，1)的直线方程为y－1＝－1×(x－2)，
化简可得x＋y－3＝0.
考点三　圆与圆的位置关系(综合研析)
复习指导：能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系．
(1)(2022·浙江省绍兴市期末)设圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，则圆C1与C2的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　 B.外离
C．外切 D.内含
(2)(链接常用结论2，3)圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为________，公共弦长为________．
【解析】　(1)根据题意，可知圆C1的半径r1＝1，圆C2的半径r2＝1，且圆C1与圆C2的圆心距d＝＝2＞1＋1，即d＞r1＋r2，故两圆外离．
(2)联立两圆的方程得
两式相减并化简，得x－2y＋4＝0，此即两圆公共弦所在直线的方程．
设两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标满足方程组
解得或
所以|AB|＝＝2，
即公共弦长为2.
【答案】　(1)B　(2)x－2y＋4＝0　2
圆与圆的位置关系求解策略
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
|跟踪训练|
1．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A．内切 B.相交
C．外切 D.相离
2．(2022·河北衡水中学高三复习)已知点A(m，m＋6)，B(m＋2，m＋8)，若圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0上存在不同的两点P，Q，使得PA⊥PB，且QA⊥QB，则m的取值范围是(　　)
A．(－2－，－2＋] B.[－2－，－2＋)
C．(－2－，－2＋) D.[－2－，－2＋]
参考答案
1解析：选B.由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两圆相交．
2解析：选C.由题可知圆心为C，半径r＝3，
因为PA⊥PB，所以点P在以线段AB为直径的圆上，
圆心坐标为，
即，半径r′＝
＝＝，
因为圆C上存在不同的两点P，Q，使得PA⊥PB，且QA⊥QB，所以两圆相交，
则圆心距d＝，
所以即2<<4，解得－2－21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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