【数学总复习-考点精讲】RJA 第八章 第5讲　第1课时　椭圆及其性质

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第5讲　椭　圆
考向预测 核心素养
椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．题型主要以选择题、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问. 直观想象、数学抽象
一、知识梳理
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
(2)焦点：两个定点F1，F2.
(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
(4)半焦距：焦距的一半．
2．椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长为2b，长轴长为2a
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率 e＝(0＜e＜1)
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
常用结论
椭圆的常用性质
1．焦半径
椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的点P(x0，y0)与左焦点F1或右焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
(1)r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
(2)焦半径最大值和最小值分别为a＋c，a－c.
2．焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S.
(1)当P为短轴端点时，θ最大；
(2)S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc；
(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
3．焦点弦(过焦点的弦)
焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
4．弦长公式
AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB斜率为k，则弦长|AB|＝|x1－x2|＝ |y1－y2|.
5．设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为定值－.
二、教材衍化
1．(人A选择性必修第一册P115习题3.1 T1改编)化简方程＋＝10的结果是(　　)
A.＋＝1　　　 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
2．(人A选择性必修第一册P109练习T3(1)改编)椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的周长为________，△AF1F2的周长为________．
3．(人A选择性必修第一册P115习题3.1 T5改编)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________________．
参考答案
1解析：选C.由方程左边式子的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＝5，所以b2＝a2－c2＝9，故化简结果为＋＝1.
2答案：20　16
3解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)．
由题意可得点P到x轴的距离为1，
所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，
得x＝±，又x＞0，所以x＝，
所以P点坐标为或.
答案：或
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　)
(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(　　)
(4)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(　　)
(5)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．(　　)
(6)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)表示的曲线是椭圆．(　　)
二、易错纠偏
1．(忽视椭圆标准方程中a，b，c的关系致误)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B.(0，2)
C．(1，＋∞) D.(0，1)
2．(忽视椭圆标准方程焦点位置的讨论致误)已知椭圆＋＝1(m＞0)的离心率e＝，则m的值为________．
3．(椭圆方程形式不明致误)已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是________．
4．(忽视椭圆上点满足条件致误)设点P(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则5x2＋y2－6x的最大值为________，最小值为________．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)×
二、易错纠偏
1解析：选D.方程x2＋ky2＝2可化为＋＝1，若焦点在y轴上，则必有＞2，且k＞0，即0＜k＜1.
2解析：若a2＝5，b2＝m，则c＝，
由＝，即＝，解得m＝3.
若a2＝m，b2＝5，则c＝.
由＝，即＝，解得m＝.
答案：3或
3解析：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，根据题意得解得故椭圆的标准方程是＋x2＝1.
答案：＋x2＝1
4解析：由椭圆的几何性质知－1≤x≤1，由y2＝－4x2＋4，得5x2＋y2－6x＝x2－6x＋4＝(x－3)2－5，所以当x＝－1时，5x2＋y2－6x取得最大值11；当x＝1时，5x2＋y2－6x取得最小值－1.
答案：11　－1
第1课时　椭圆及其性质
考点一　椭圆的定义及应用(自主练透)
复习指导：了解圆锥曲线的实际背景，了解从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义．
1.
如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是(　　)
A．椭圆　　　　　 B.双曲线
C．抛物线 D.圆
2．(2021·新高考卷Ⅰ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A．13 B.12
C．9 D.6
3.
如图，△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________．
4．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点．则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
5．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
参考答案
1解析：选A.连接QA(图略)．由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆．故选A.
2解析：选C.由椭圆C：＋＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C.
3解析：因为a2＝3，所以a＝.
△ABC的周长为|AC|＋|AB|＋|BC|＝|AC|＋|CF2|＋|AB|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a＝4.
答案： 4
4解析：
如图所示，设椭圆右焦点为F1，则|PF|＋|PF1|＝6.
所以|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6.
利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)．
所以|PA|＋|PF|≤6＋，|PA|＋|PF|≥6－.
故|PA|＋|PF|的最大值为6＋，最小值为6－.
答案：6＋　6－
5解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r1＋r2＝2a，,r＋r＝4c2，))
所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，
所以S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3.
答案：3
椭圆定义的应用主要有两个方面： 一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．
考点二　椭圆的标准方程(综合研析)
复习指导：掌握椭圆的标准方程．
(1)(2022·西安市长安区质量检测)已知M(－2，0)，P是圆N：x2－4x＋y2－32＝0上一动点，线段MP的垂直平分线交NP于点Q，则动点Q的轨迹方程为(　　)
A.＋＝1　　　 B.－＝1
C.＋＝1 D.－＝1
(2)经过两点(2，－)，的椭圆的标准方程为________．
【解析】　(1)由题意可得圆心N为，半径为6.
因为线段MP的垂直平分线交NP于点Q，
所以|QP|＝|QM|，
所以|QM|＋|QN|＝|QP|＋|QN|＝|PN|＝6>|MN|＝4，
所以点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，
所以a＝3，c＝2，b＝＝，
所以其轨迹方程为＋＝1.
(2)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
【答案】　(1)A　(2)＋＝1
(1)用定义法求椭圆的标准方程
先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有：
①b2＝a2－c2；
②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；
③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a.
(2)用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤
[提醒]　当椭圆焦点位置不明确时，可设为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)．
|跟踪训练|
1．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
2．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为_____________________________________________．
参考答案
1解析：选D.设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8
＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16，2c＝8，
所以a＝8，c＝4，b＝＝4，
故所求动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1.
2解析：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．由
解得m＝，n＝.
所以椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
考点三　椭圆的几何性质(多维探究)
复习指导：掌握椭圆的简单几何性质．
角度1　离心率
(1)(2022·济南质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为(　　)
A.－1　　　 B.
C. D.＋1
(2)在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈，则椭圆C的离心率的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　(1)不妨设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，如图所示，因为△PF1F2为直角三角形，所以PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝2c，所以|PF1|＋|PF2|＝2c＋2c＝2a，所以椭圆E的离心率e＝＝－1.故选A.
(2)因为OPMN是平行四边形，
所以MN∥OP且MN＝OP，
故yN＝，代入椭圆方程可得xN＝，
所以kON＝＝tan α.又α∈，
所以<<1，
所以a【答案】　(1)A　(2)A
求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解．
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝ 求解．
(3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系式，从而求得e.
角度2　与椭圆性质有关的最值问题
(1)已知点F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，点M是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(　　)
A．4 B.6
C．8 D.10
(2)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)
A．(0，1]∪[9，＋∞) B.(0， ]∪[9，＋∞)
C．(0，1]∪[4，＋∞) D.(0， ]∪[4，＋∞)
【解析】　(1)设M(x0，y0)，F1(－3，0)，F2(3，0)．则＝(－3－x0，－y0)，＝(3－x0，－y0)，所以＋＝(－2x0，－2y0)，|＋|＝eq \r(4x＋4y)＝eq \r(4×25（1－\f(y,16)）＋4y)＝eq \r(100－\f(9,4)y)，因为点M在椭圆上，所以0≤y≤16，所以当y＝16时，|＋|取最小值为8.故选C.
(2)当0＜m＜3时，焦点在x轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，
解得0＜m≤1.
当m＞3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0，1]∪[9，＋∞)．
故选A.
【答案】　(1)C　(2)A
利用椭圆几何性质求值或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．
(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围关系求范围．
|跟踪训练|
1．(2022·重庆质检)已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为(　　)
A.　　 　 B.
C.　　 　 D.
2．(2021·高考全国卷乙)设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　)
A.　　 　 B.
C.　　 　 D.2
3．已知点P(0，1)，椭圆＋y2＝m(m＞1)上两点A，B满足＝2，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大．
参考答案
1解析：选A.设直线与椭圆在第一象限的交点为A(x，y)，则直线y＝x.由|AB|＝2c，可知|OA|＝＝c，即＝c，解得x＝，y＝c，即A(c，c)，把点A的坐标代入椭圆方程，得8e4－18e2＋9＝0，即(4e2－3)·(2e2－3)＝0，所以e＝.
2解析：选A.设点P(x，y)，则根据点P在椭圆＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝－(2y＋)2.
当2y＋＝0，即y＝－(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝.
3解析：设B(x0，y0)，A(x1，y1)，
所以＝(－x1，1－y1)，＝(x0，y0－1)．
因为＝2，
所以解得
将A，B两点坐标代入＋y2＝m，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)＋y＝m，,\f(（－2x0）2,4)＋（3－2y0）2＝m，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋4y＝4m，,x＋（3－2y0）2＝m，))
两式相减，得y0＝m＋.
所以x＝4m－4y＝－m2＋m－，m＞1，
所以当m＝－＝5，x取得最大值，
此时|x0|最大．
答案：5
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