【数学总复习-考点精讲】RJA 第八章 第6讲　双曲线

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第6讲　双曲线
考向预测 核心素养
考查双曲线的定义、标准方程和几何性质，双曲线的离心率和渐近线是高考命题热点；直线与双曲线是高考新的命题点. 直观想象、数学运算
一、知识梳理
1．双曲线的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)．
(3)焦点：两个定点F1，F2．
(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
性质 图形
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率 e＝∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±x y＝±x
a，b，c关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
3.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.
常用结论
1．双曲线中的几个常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为.
2．巧设双曲线方程
(1)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
二、教材衍化
1．(人A选择性必修第一册P120例1改编)已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是(　　)
A.－＝1　　　　　 B.－＝1(x≥4)
C.－＝1 D.－＝1(x≥3)
2．(人A选择性必修第一册P127习题3.2 T6改编)经过点A(4，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为________．
3．(人A选择性必修第一册P120例1改编)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．
参考答案
1解析：选D.由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A，C.又由题意可知焦点在x轴上，且c＝5，a＝3，所以b＝＝4，故点M的轨迹方程为－＝1(x≥3)．
2解析：设双曲线的方程为－＝±1(a>0)，
把点A(4，1)代入，得a2＝15(舍负)，
故所求方程为－＝1.
答案：－＝1
3解析：设要求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由椭圆＋＝1，得焦点为(－1，0)，(1，0)，顶点为(－2，0)，(2，0)．所以双曲线的顶点为(－1，0)，(1，0)，焦点为(－2，0)，(2，0)．所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(　　)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)
(3)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则eq \f(1,e)＋eq \f(1,e)＝1.(　　)
二、易错纠偏
1．(多选)(曲线方程中参数意义不明致误)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是(　　)
A．若C为椭圆，则1B．若C为双曲线，则t>3或t<1
C．曲线C可能是圆
D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则12．(忽视双曲线上的点的特征致误)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
3．(忽视焦点的位置致误)坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为________．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)√
二、易错纠偏
1解析：选AD.若t>3，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线；若t<1，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；若22解析：设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，
则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，
又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝－1，故|PF2|＝6.
答案：6
3解析：若双曲线的焦点在x轴上，
有＝，则c＝2a，此时e＝2.
若双曲线的焦点在y轴上，
有＝，则c＝a，此时e＝.
综上，e＝2或e＝.
答案：2或
考点一　双曲线的定义及标准方程(多维探究)
复习指导：了解双曲线的定义及几何图形； 会求双曲线的标准方程，理解两种类型的标准方程的差异．
角度1　双曲线的定义
(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A．x2－＝1　　　 B.－y2＝1
C．x2－＝1(x≤－1) D.x2－＝1(x≥1)
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．
【解析】　(1)设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以点M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，a＝1，c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
(2)不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝＝，
所以|PF1|·|PF2|＝8，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2.
【答案】　(1)C　(2)2
　在本例(2)中，若将“∠F1PF2＝60°”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积为________．
解析：不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
因为·＝0，
所以⊥，
所以在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝4，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝2.
答案：2
双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
[注意]　在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
角度2　双曲线的标准方程
(一题多解)已知双曲线过点(2，3)，渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－＝1
【解析】　方法一：若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则由题意可得解得
所以双曲线的标准方程为x2－＝1；
若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则由题意可得该方程组无解．
综上，所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
方法二：设双曲线的方程为－＝1(mn>0)，则由题意可得解得所以所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
方法三：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以可设双曲线的方程为3x2－y2＝λ(λ≠0)，则由双曲线过点(2，3)，可得λ＝3×22－32＝3，故双曲线的方程为3x2－y2＝3，其标准方程为x2－＝1.
【答案】　C
若本例中“双曲线过点(2，3)”变为“焦距为2”，其他条件不变，则双曲线的标准方程为________．
解析：由例题方法三知所求双曲线方程可设为3x2－y2＝λ(λ≠0)即－＝1.又双曲线焦距为2，所以c＝1.
若λ>0，方程化为－＝1，所以＋λ＝1，所以λ＝.
此时方程为－＝1；
若λ<0，方程化为－＝1，所以－λ－＝1，
所以λ＝－.
此时方程为－＝1.
故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
答案：－＝1或－＝1
求双曲线标准方程的常用方法
(1)定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解．
(3)常用设法：①与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)；②若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0)．
|跟踪训练|
1．(多选)(2022·山东滨州期末)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，则能使双曲线C的方程为－＝1的条件是(　　)
A．双曲线的离心率为
B．双曲线过点
C．双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0
D．双曲线的实轴长为4
2．经过点P(3，2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为________．
参考答案
1解析：选ABC.由题意可得焦点在x轴上，且c＝5，A选项，若双曲线的离心率为，则a＝4，所以b2＝c2－a2＝9，此时双曲线的方程为－＝1，故A正确；B选项，若双曲线过点，则得此时双曲线的方程为－＝1，故B正确；C选项，若双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，可设双曲线的方程为－＝m(m>0)，所以c2＝16m＋9m＝25，解得m＝1，所以此时双曲线的方程为－＝1，故C正确；D选项，若双曲线的实轴长为4，则a＝2，所以b2＝c2－a2＝21，此时双曲线的方程为－＝1，故D错误．故选ABC.
2解析：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，因为所求双曲线经过点P(3，2)，Q(－6，7)，所以解得故所求双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
考点二　双曲线的几何性质(多维探究)
复习指导：了解双曲线的几何性质．
角度1　渐近线和离心率
(1)(2021·高考全国卷甲)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
A.　　 B.　　
C.　　 D.
(2)(2021·高考全国卷乙)已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为________．
【解析】　(1)设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝＝m，所以C的离心率e＝＝＝＝＝.
(2)双曲线－y2＝1(m>0)的渐近线为y＝±x，即x±y＝0，又双曲线的一条渐近线为x＋my＝0，即x＋y＝0，联立两式可得，m＝3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线的焦距2c＝2＝4.
【答案】　(1)A　(2)4
角度2　双曲线性质的综合应用
(1)(2022·潍坊模拟)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，则＝(　　)
A．1 B.
C. D.
(2)(2022·合肥市名校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为(　　)
A. B.
C.2 D.
(3)设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A. B.
C.2 D.
【解析】　(1)
如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2a.
又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，
因为∠F1AF2＝π，
所以S△AF1F2＝|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝×2a×4a×＝2a2.
由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，
所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，
所以△BAF2为等边三角形，边长为4a，
所以S△ABF2＝|AB|2＝×(4a)2＝4a2，
所以＝＝.故选B.
(2)设P(xP，yP)，则双曲线的焦半径|PF1|＝exP＋a，
|PF2|＝exP－a，
由|PF1|＝4|PF2|可得exP＋a＝4(exP－a)，
即3exP＝5a，所以xP＝.
由于点P在双曲线的右支上，则xP＝≥a，
从而e≤，
即此双曲线的离心率e的最大值为.
(3)依题意，记F(c，0)，
则以OF为直径的圆的方程为＋y2＝，
将圆＋y2＝与圆x2＋y2＝a2的方程相减得cx＝a2，
即x＝，所以点P，Q的横坐标均为.
由于PQ是圆x2＋y2＝a2的一条弦，
因此＋＝a2，
即＋＝a2，
即＝a2＝，
所以c2＝2ab，
即a2＋b2－2ab＝(a－b)2＝0，所以a＝b，
因此C的离心率e＝＝，故选A.
【答案】　(1)B　(2)B　(3)A
双曲线的几何性质
(1)求双曲线的渐近线或离心率的方法：
①求出a，b，c直接求离心率e，写渐近线方程．
②列出a，b，c的齐次方程(或不等式)，然后解方程或不等式．
(2)双曲线性质的综合应用要充分注意与平面几何知识的联系，善于发现条件中的相等或不等关系．
|跟踪训练|
1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为(　　)
A．2 B.4
C．6 D.8
2．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C.2 D.
3．(2022·济宁模拟)过双曲线C：－＝1(a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为________．
参考答案
1解析：选B.因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线为y＝±x，两条渐近线互相垂直，所以－＝－1，得a＝b.因为双曲线的焦距为4，所以c＝2，由c2＝a2＋b2可知2a2＝8，所以a＝2，所以实轴长2a＝4.故选B.
2解析：选D.由题意，可得F(1，0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝ ＝.
3解析：因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点 A(a，b)，c＝4且＝4，又a2＋b2＝c2，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
考点三　直线与双曲线(综合研析)
(2021·新高考卷Ⅰ)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2.记M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
【解】　(1)因为|MF1|－|MF2|＝2<|F1F2|＝2，
所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支．
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，半焦距为c，则2a＝2，c＝，得a＝1，b2＝c2－a2＝16，
所以点M的轨迹C的方程为x2－＝1(x≥1)．
(2)设T，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，设直线AB的方程为y－t＝k1(k1≠0)，直线PQ的方程为y－t＝k2(k2≠0)，
由得(16－k)x2－2k1x－－16＝0.
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
易知16－k≠0，
则xAxB＝eq \f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2)))\s\up12(2)－16,16－k)，xA＋xB＝eq \f(2k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2))),16－k)，
所以|TA|＝eq \r(1＋k)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(xA－\f(1,2)))＝eq \r(1＋k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xA－\f(1,2)))，
|TB|＝eq \r(1＋k)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(xB－\f(1,2)))＝eq \r(1＋k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xB－\f(1,2)))，
则|TA|·|TB|＝(1＋k)＝(1＋k)
＝(1＋k)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2)))\s\up12(2)－16,16－k)－\f(1,2)·\f(2k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2))),16－k)＋\f(1,4)))
＝eq \f(（1＋k）（t2＋12）,k－16).
同理得|TP|·|TQ|＝eq \f(（1＋k）（t2＋12）,k－16).
因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，所以eq \f(（1＋k）（t2＋12）,k－16)＝eq \f(（1＋k）（t2＋12）,k－16)，所以k－16＋kk－16k＝k－16＋kk－16k，即k＝k，
又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0.
故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
(1)判断直线与双曲线交点个数的方法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
(2)弦长公式
设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ |x1－x2|＝·.
|跟踪训练|
已知双曲线C1：x2－＝1.
(1)求与双曲线C1有相同的焦点且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程；
(2)直线l：y＝x＋m分别交双曲线C1的两条渐近线于A，B两点．当·＝3时，求实数m的值．
解：(1)双曲线C1的焦点坐标为(，0)，(－，0)，
设双曲线C2的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则解得
所以双曲线C2的标准方程为－y2＝1.
(2)双曲线C1的渐近线方程为y＝2x，y＝－2x，
设A(x1，2x1)，B(x2，－2x2)．
由
消去y化简得3x2－2mx－m2＝0.
由Δ＝(－2m)2－4×3×(－m2)＝16m2＞0，得m≠0.
因为x1x2＝－，·＝x1x2＋(2x1)·(－2x2)＝－3x1x2，
所以m2＝3，即m＝±.
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