【数学总复习-考点精讲】RJA 第八章 第1讲　直线的方程

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第1讲　直线的方程
考向预测 核心素养
直线是解析几何中最基本的内容，对直线的考查一是在选择题、填空题中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等基本知识；二是在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识进行综合考查. 直观想象、数学运算
一、知识梳理
1．直线的方向向量
设A，B是直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°．
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝．
4．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
常用结论
1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系
α 0 0<α< <α<π
k 0 k>0 不存在 k<0
2.识记几种特殊位置的直线方程
(1)x轴：y＝0.
(2)y轴：x＝0.
(3)平行于x轴的直线：y＝b(b≠0)．
(4)平行于y轴的直线：x＝a(a≠0)．
(5)过原点且斜率存在的直线：y＝kx.
二、教材衍化
1．(人A选择性必修第一册P58习题2.1 T7改编)若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A．1　　　 B.4　　　
C.1或3　　　 D.1或4
2．(人A选择性必修第一册P60例1改编)经过点P(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为________．
3．(人A选择性必修第一册P67习题2.2 T7改编)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________________．
参考答案
1答案：A
2答案：x－y－5＝0
3解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.
答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)
(2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　　)
(3)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．(　　)
二、易错纠偏
1．(多选)(不理解倾斜角和斜率致误)下列说法正确的是(　　)
A．有的直线斜率不存在
B．若直线l的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率k＝tan α
C．若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为
D．截距可以为负值
2．(不理解直线位置关系致误)如果AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　)
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限 D.第四象限
3．(搞混倾斜角和斜率关系致误)若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈[，)∪[，π)，则k的取值范围是________．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)×
二、易错纠偏
1答案：ABD
2答案：D
3解析：当α∈[，)时，k＝tan α∈[，1)；
当α∈[，π)时，k＝tan α∈[－，0)．
综上可得k∈[－，0)∪[，1)．
答案：[－，0)∪[，1)
考点一　直线的倾斜角与斜率(思维发散)
复习指导：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
(1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A.　　　 B.∪
C. D.∪
(2)已知点A(1，3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，则k的取值范围是(　　)
A．k≥ B.k≤－2
C．k≥或k≤－2 D.－2≤k≤
【解析】　(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.
因为sin α∈[－1，1]，
所以－1≤tan θ≤1，
又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ＜π，故选B.
(2)直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2，1)，
因为kPA＝＝－2，kPB＝＝，
又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，
所以－2≤k≤.
【答案】　(1)B　(2)D
　本例(2)直线l改为y＝kx，若l与线段AB恒相交，则k的取值范围是________________．
解析：直线l过定点P(0，0)，
所以kPA＝3，kPB＝，
所以k≥3或k≤.
答案：∪[3，＋∞)
(1)斜率的求法
①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率；
②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．
(2)倾斜角及斜率取值范围的两种求法
①数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；
②函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可．
|跟踪训练|
1．已知直线方程为xcos 300°＋ysin 300°＝3，则直线的倾斜角为(　　)
A．60° B.60°或300°
C．30° D.30°或330°
2．直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．
参考答案
1解析：选C.直线的斜率为k＝－＝－
＝－＝＝.
因为直线倾斜角的范围为[0°，180°)，
所以倾斜角为30°，故选C.
2解析：
如图，因为kAP＝＝1，
kBP＝＝－，所以直线l的斜率k∈∪.
答案：∪
考点二　直线的方程(自主练透)
复习指导：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式、斜截式、截距式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系．
1．已知△ABC的三个顶点坐标为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为(　　)
A．2x＋y－12＝0　 B.2x－y－12＝0
C．2x＋y－8＝0 D.2x－y＋8＝0
2．(多选)(链接常用结论2)下列命题正确的有(　　)
A．直线斜率是关于直线倾斜角的增函数
B．方程x＝ty＋m可以表示垂直于x轴的直线
C．直线过不同的两点A，B，则方程＝可以表示平行于x，y轴和经过坐标原点的直线
D．直线方程bx＋ay＝ab不能表示平行于x，y轴的直线
3．经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线的方程为________．
4解析：联立得x＝1，y＝1，
所以直线过点(1，1)，
因为直线的方向向量v＝(－3，2)，
所以直线的斜率k＝－.
则直线的方程为y－1＝－(x－1)，
即2x＋3y－5＝0.
答案：2x＋3y－5＝0
参考答案
1解析：选C.由题知M(2，4)，N(3，2)，中位线MN所在直线的方程为＝，整理得2x＋y－8＝0.
2解析：选BCD.倾斜角0≤α<π，斜率k＝tan α(α≠)，由正切函数的单调性知直线斜率不是关于直线倾斜角的增函数，故A错误；
方程x＝ty＋m中t＝0时，表示直线x＝m，故B正确；
当x2－x1＝0时，方程＝为＝0，
当y2－y1＝0时，方程＝为＝0，
当x＝0，y＝0时，代入方程可得－y1＝－x1成立，
故方程可以表示平行于x，y轴和经过坐标原点的直线，故C正确；
当a＝0，b≠0时，方程为bx＝0，当b＝0，a≠0时，方程为ay＝0不能表示平行于x，y轴的直线，故D正确．
3解析：由题意可知，所求直线的斜率为±1.
又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．
所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.
答案：x－y＋1＝0或x＋y－7＝0
4．经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为________________．
巧设直线方程的方法
(1)已知一点坐标，可采用点斜式设直线方程，但要注意讨论直线斜率不存在的情况；
(2)已知两点或可通过计算表示出两点的坐标，则可采用两点式设直线方程，但要注意讨论分母为零的情况；
(3)当题目涉及直线在x轴、y轴上的截距时，可采用截距式设直线方程，但要注意莫遗漏直线在x轴、y轴上的截距为0的情况；
(4)已知直线的斜率或倾斜角，考虑利用点斜式或斜截式设直线方程．
[注意]　(1)当已知直线经过点(a，0)，且斜率不为0时，可将直线方程设为x＝my＋a；
(2)当已知直线经过点(0，a)，且斜率存在时，可将直线方程设为y＝kx＋a；
(3)当直线过原点，且斜率存在时，可将直线方程设为y＝kx.
考点三　直线方程的综合应用(思维发散)
复习指导：求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式或函数单调性求解最值．
(一题多解)已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
【解】　方法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，则A，B(0，1－2k)，S△AOB＝(1－2k)·＝≥(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
方法二：设直线l：＋＝1，且a>0，b>0，因为直线l过点M(2，1)，所以＋＝1，则1＝＋≥2，故ab≥8，故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4，当且仅当＝＝时取等号，此时a＝4，b＝2，故直线l为＋＝1，即x＋2y－4＝0.
1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
解：由本例方法二知，＋＝1，a>0，b>0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·
＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当a＝2＋，b＝1＋时等号成立，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋y＝2＋.
2．本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
解：方法一：由本例方法一知A，B(0，1－2k)(k＜0)．
所以|MA|·|MB|＝·
＝2＝2≥4.
当且仅当－k＝－，
即k＝－1时取等号．
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
方法二：由本例方法二知A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，＋＝1.
所以|MA|·|MB|＝||·||
＝－·＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
＝(2a＋b)－5＝2≥4，
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
|跟踪训练|
已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
解：(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
所以无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1)．
(2)由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有
解得k＞0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)由题意可知k≠0，再由直线l的方程，
得A，B(0，1＋2k)．
依题意得解得k＞0.
因为S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|
＝·＝
≥×(2×2＋4)＝4，
当k＞0且4k＝，即k＝时等号成立，
所以Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
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