【数学总复习-考点精讲】RJA 第八章 第2讲　两条直线的位置关系

中小学教育资源及组卷应用平台
第2讲　两条直线的位置关系
考向预测 核心素养
一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，大部分都是客观题. 直观想象、数学运算
一、知识梳理
1．两条直线的平行与垂直
(1)两条直线平行
若l1∥l2，则l1与l2的倾斜角α1与α2相等，由α1＝α2，可得tan α1＝tan α2，即k1＝k2.因此，若l1∥l2，则k1＝k2．　
(2)两条直线垂直
设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，于是l1⊥l2 a⊥b a·b＝0 1×1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1.也就是说，l1⊥l2 k1k2＝－1．
2．两条直线的交点坐标
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组的解．
3．三种距离
点点距 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝
点线距 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝
线线距 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝
常用结论
1．两个充要条件
(1)两条直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.
(2)两条直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
2．三种直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
3．四种常用对称关系
(1)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
(2)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
二、教材衍化
1．(人A选择性必修第一册P67习题2.2 T8(3)改编)已知直线l过点(0，3)，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　)
A．x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0
2．(人A选择性必修第一册P79习题2.3 T9改编)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
3．(人A选择性必修第一册P79习题2.3 T7改编)两条平行直线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之间的距离为________．　
参考答案
1解析：选D.依题意得直线l的斜率为1，又直线l过点(0，3)，所以直线l的方程为y－3＝1×(x－0)，即x－y＋3＝0.
2解析：由得
所以点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.
答案：－9
3解析：因为l1∥l2，所以由两条平行直线间的距离公式得d＝＝.
答案：
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2.(　　)
(2)若两直线的解析式组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)
(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　)
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　)
二、易错纠偏
1．(忽略两直线平行的充要条件致误)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝(　　)
A．2 B.－3
C．2或－3 D.－2或－3
2．(距离公式使用不当致误)两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为(　　)
A. B.
C．7 D.
3．(忽略两直线垂直的充要条件致误)已知直线l1：ax＋y－4＝0和l2：2x＋ay＋1＝0，若l1⊥l2，则a＝________．
4．(位置关系考虑不周全致误)已知点A(3，2)和B(－1，4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为________．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
二、易错纠偏
1解析：选C.直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或m＝－3.故选C.
2解析：选D.由题意知a＝6，直线3x＋4y－12＝0
可化为6x＋8y－24＝0，
所以两平行直线之间的距离为＝.
3解析：因为l1⊥l2，则2a＋a＝0，所以a＝0.
答案：0
4解析：由点到直线的距离公式可得＝，解得a＝或a＝－4.
答案：或－4
考点一　两条直线的位置关系(自主练透)
复习指导：能根据斜率判定两条直线的位置关系．
1．(多选)(链接常用结论1)(2022·重庆调研)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3
B．若l1∥l2，则m＝3
C．若l1⊥l2，则m＝－
D．若l1⊥l2，则m＝
2．经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是(　　)
A．6x－4y－3＝0　　 B.3x－2y－3＝0
C．2x＋3y－2＝0 D.2x＋3y－1＝0
3．已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(　　)
A. B.
C. D.
4．(多选)(2022·葫芦岛协作校高二考试)已知A(1，2)，B(－3，4)，C(－2，0)，则(　　)
A．直线x－y＝0与线段AB有公共点
B．直线AB的倾斜角大于135°
C．△ABC的边BC上的中线所在直线的方程为y＝2
D．△ABC的边BC上的高所在直线的方程为x－4y＋7＝0
参考答案
1解析：选BD.若直线l1∥l2，则3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1，但m＝－1时，两直线方程分别为x－y－1＝0，－3x＋3y＋3＝0即x－y－1＝0，两直线重合，只有m＝3时两直线平行，A错误，B正确；
若l1⊥l2，则m－2＋3m＝0，解得m＝，C错误，D正确．
2解析：选A.因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为，直线3x－2y＋5＝0的斜率为，所以所求直线l的方程为y＝，化为一般式，得6x－4y－3＝0.
3解析：选D.由题意得直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点．当直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行时，m＝或m＝－；当直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，m＝－.所以实数m的取值集合为.
4解析：
选BCD.如图，因为kOA＝2>1，kOB<0，所以直线x－y＝0与线段AB无公共点，A错误；
因为kAB＝＝－>－1，所以直线AB的倾斜角大于135°，B正确；
因为线段BC的中点为，所以BC边上的中线所在直线的方程为y＝2，C正确；
因为kBC＝＝－4，所以BC上的高所在直线的方程为y－2＝(x－1)，即x－4y＋7＝0，D正确．
(1)两条直线平行、垂直的判断方法
若已知两条直线的斜率存在．
①两直线平行 两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等．
②两直线垂直 两直线的斜率之积等于－1.
[提醒]　判断两条直线位置关系应注意：
〈1〉注意斜率不存在的特殊情况．
〈2〉注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)由两条直线平行与垂直求参数的值的解题策略
在解这类问题时，一定要“前思后想”．“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解．
考点二　两条直线的交点与距离问题(多维探究)
复习指导：1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
2．探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
角度1　两条直线的交点
(1)对于任给的实数m，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通过一定点，则该定点的坐标为(　　)
A．(9，－4)　　 B.(－9，－4)
C．(9，4) D.(－9，4)
(2)经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线的方程为__________________．
【解析】　(1)(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5即为m(x＋2y－1)＋(－x－y＋5)＝0，故此直线过直线x＋2y－1＝0和－x－y＋5＝0的交点．由得定点的坐标为(9，－4)．
(2)由方程组
解得即交点为.
因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以所求直线的斜率为k＝.
由点斜式得所求直线方程为y－＝，
即4x－3y＋9＝0.
【答案】　(1)A　(2)4x－3y＋9＝0
角度2　距离问题
已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.
(1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．
【解】　(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为
2x＋y－5＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
所以＝3，解得λ＝或λ＝2.
所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由
解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．
所以dmax＝|PA|＝.
　若将本例变为：直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点且到点A(1，0)和点B(3，4)的距离相等，求直线l的方程．
解：由解得交点坐标为(2，1)．
当AB∥l时，又kAB＝2，
所以直线l的方程为y－1＝2(x－2)即2x－y－3＝0，
当l过AB中点时，又AB的中点为(2，2)．
所以直线l的方程为x＝2.
利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
(2)两条平行线间的距离公式要先把两条直线方程中x，y的系数化为相等再利用距离公式求解．
|跟踪训练|
1．(多选)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为(　　)
A．2x＋3y－8＝0 B.4x＋6y＋5＝0
C．6x＋9y－10＝0 D.12x＋18y－13＝0
2．(多选)(2022·北京昌平区一中上学期期中)点(0，1)到直线y＝k(x＋1)的距离可能为(　　)
A．0　　　 B.1
C.　　　 D.
3．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．
参考答案
1解析：选BD.设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，由题知：d1＝，d2＝，因为＝，所以＝，即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－，即直线l为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.
2解析：选ABC.直线y＝k过点，
所以到直线y＝k的距离的最大值为＝.
3解析：因为＝≠，所以两条直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.
答案：
考点三　对称问题(思维发散)
复习指导：对称问题的核心是点关于直线的对称问题，要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，且直线l与直线MN垂直．
(链接常用结论3)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
【解】　(1)设A′(x，y)，由已知得
解得所以A′.
(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，
则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设M′(a，b)，则
解得所以M′.
设直线m与直线l的交点为N，
则由
解得所以N(4，3)．
又因为m′经过点N(4，3)，
所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
　在本例条件下，求直线l关于点A(－1，－2) 对称的直线l′的方程．
解：设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，
因为P′在直线l上，
所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称可以利用中点坐标公式，两点轴对称问题利用垂直和中点两个条件列方程解题．
|跟踪训练|
如图，
已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)
A．3　 　 B.6　 　
C.2　 　 D.2
解析：选C.直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝2.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)