【数学总复习-考点精讲】RJA 第八章 第3讲　圆的方程

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第3讲　圆的方程
考向预测 核心素养
以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点．题型主要以选择题、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现. 直观想象、数学运算
一、知识梳理
圆的定义和圆的方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b)
半径为r
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心C：
半径r＝
常用结论
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件：
3．点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 M在圆外；
(2)|MC|＝r M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圆上；
(3)|MC|＜r M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 M在圆内．
二、教材衍化
1．(人A选择性必修第一册P85练习T1(2)改编)圆心为(1，－1)且过原点的圆的方程是(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
2．(人A选择性必修第一册P89习题2.4 T8改编)若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3，0)和(7，0)，则直角顶点C的轨迹方程为(　　)
A．x2＋y2＝25(y≠0)　　 B.x2＋y2＝25
C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0) D.(x－2)2＋y2＝25
3．(人A选择性必修第一册P88练习T2(3)改编)若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．
4．(人A选择性必修第一册P85练习T2)点M(3，－6)到圆(x－3)2＋(y＋2)2＝16上点的最大距离为________．
参考答案
1解析：选C.因为圆心为(1，－1)且圆过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
2解析：选C.线段AB的中点坐标为(2，0)，因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以点C到点(2，0)的距离为|AB|＝5，所以点C(x，y)满足＝5(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝25(y≠0)．
3解析：方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0可化为(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，它表示圆，需满足1－a＞0，故a＜1.
答案：(－∞，1)
4答案：8
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)
(2)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．(　　)
(3)过不共线的三点一定有唯一的一个圆．(　　)
二、易错纠偏
1．(忽视方程表示圆的条件致误)若方程x2＋y2－4x＋2y＝a表示圆，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－5) B.(－5，＋∞)
C．(－∞，0) D.(0，＋∞)
2．(不能等价变换方程致误)(2022·烟台月考)方程|y|－1＝表示的曲线是(　　)
A．一个椭圆 B.一个圆
C．两个圆 D.两个半圆
3．(错用点与圆的位置关系判定致误)点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)√　(2)×　(3)√
二、易错纠偏
1解析：选B.方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝a＋5，有a＋5＞0，所以a＞－5.故选B.
2解析：选D.由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心，1为半径，直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心，1为半径，直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝表示的曲线是两个半圆．故选D.
3解析：因为点(1，1)在圆的内部，
所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，
所以－1答案：(－1，1)
考点一　圆的方程(自主练透)
复习指导：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．
1．设A(2，－1)，B(4，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　)
A．(x－3)2＋y2＝2　　　 B.(x－3)2＋y2＝8
C．(x＋3)2＋y2＝2 D.(x＋3)2＋y2＝8
2．圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　　)
A．x2＋y2－2x－3＝0 B.x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－4x＝0 D.x2＋y2＋2x－3＝0
3．(2022·内蒙古巴彦淖尔月考)在平面直角坐标系中，点O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)，则△OAB的外接圆方程是________．　
4．(2022·福州模拟)已知圆C过点A(6，0)，B(1，5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上，则圆C的方程为________．
参考答案
1解析：选A.线段AB的中点坐标为(3，0)，圆的半径r＝＝＝，则以线段AB为直径的圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.故选A.
2解析：选C.由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m>0)，则＝2，解得m＝2或m＝－(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选C.
3解析：设△OAB的外接圆方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由点O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)在圆上可得解得故△OAB的外接圆方程为x2＋y2－6x－2y＝0.
答案：x2＋y2－6x－2y＝0
4解析：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意可得解得
故所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.
答案：(x－3)2＋(y－2)2＝13
求圆的方程的两种方法
(1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出圆的方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
[提醒]　解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
考点二　与圆有关的最值问题(多维探究)
复习指导：求解此类问题常利用数形结合思想或函数思想．
角度1　借助几何性质求最值
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值．
【解】　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，
表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，
此时＝，解得k＝±.
所以的最大值为，最小值为－.
1．本例中，求y－x的最大值和最小值．
解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
2．本例中，求x2＋y2的最大值和最小值．
解：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，
x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
角度2　利用函数关系求最值
(2022·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为________．
【解析】　由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.
【答案】　12
求与圆有关的最值问题的两种思路
(1)利用圆的几何性质求解，要理解以下代数式的几何意义：
①形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
(2)根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值．
|跟踪训练|
1．设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则|＋|的最大值为________．
2．已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值．
参考答案
1解析：由题意，知＝(－x，2－y)，＝(－x，－2－y)，所以＋＝(－2x，－2y)，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以|＋|＝＝2.由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以当x＝5时，|＋|的值最大，最大值为2＝10.
答案：10
2解：(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
所以圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2，
又|QC|＝＝4，
所以|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
(2)可知表示直线MQ的斜率k.
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
因为直线MQ与圆C有交点，
所以≤2，
可得2－≤k≤2＋，
所以的最大值为2＋，最小值为2－.
考点三　与圆有关的轨迹问题(综合研析)
复习指导：理解轨迹方程的意义，会用定义法和相关点法求简单的轨迹方程．
已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：
(1) (一题多解)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
【解】　(1)方法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
与圆有关的轨迹问题的四种求法
|跟踪训练|
已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9，过点A(2，3)作圆C的任意弦，则这些弦的中点P的轨迹方程为__________________．
解析：设P(x，y)，圆心C(1，1)．
因为P点是过点A的弦的中点，所以⊥.又因为＝(2－x，3－y)，＝(1－x，1－y)．
所以(2－x)·(1－x)＋(3－y)·(1－y)＝0.
所以点P的轨迹方程为(x－)2＋(y－2)2＝.
答案：(x－)2＋(y－2)2＝
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