人教版数学九年级上册 21.2 解一元二次方程 课件(共29张PPT)

(共30张PPT)
21.2　解一元二次方程
学习目标： 1．会用直接开平方法解一元二次方程，理解配方的 　 基本过程，会用配方法解一元二次方程； 2．会用公式法解一元二次方程，理解用根的判别式 　 判别根的情况； 3．会选择合适的方法进行因式分解，并解一元二次方程；
学习重点： 解一元二次方程．
　　问题1　在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以 上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全 身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕 像的高为 2 m，那么它的下部应设计为多高？
解：设雕像的下部高为 x m，
据题意，列方程得
整理得　x 2 + 2x - 4 = 0．
A
C
B
1．创设情境，导入新知
x 2 = 2 2 - x ，
（　 ）
　　你会解哪些方程，如何解的？
二元、三元一次方程组
一元一次方程
一元二次方程
消元
降次
　　思考：如何解一元二次方程．
1．创设情境，导入新知
　　问题2　解方程 x 2 = 25，依据是什么？
　　解得　x 1 = 5，x 2 = - 5．
平方根的意义
　　请解下列方程： x 2 = 3，2x 2 - 8=0，x 2 = 0，x 2 = - 2… 这些方程有什么共同的特征？
　　结构特征：方程可化成　x 2 = p　的形式，
平方根的意义
降次
　　（当 p≥0 时）
　　问题3　解方程：（x + 3）= 5．
2
2．推导求根公式
　　问题4　怎样解方程 x 2 + 6x + 4 = 0　①？
x 2 + 6x + 9 = 5　②
（x + 3）= 5
2
2．推导求根公式
　　试一试：与方程　 x2 + 6x + 9 = 5　 ② 比较，
　　怎样解方程　x2 + 6x + 4 = 0　① ？
　　怎样把方程①化成方程②的形式呢？
　　怎样保证变形的正确性呢？
即
由此可得…
　　解：
左边写成平方形式
移项
x2 + 6x = -4　 ③
两边加 9
　　　　 = -4 + 9
x2 + 6x + 9
2．推导求根公式
（x + 3）= 5
2
　　回顾解方程过程：
两边加 9，左边 配成完全平方式
移项
左边写成完全 平方形式
降次
解一次方程
x2 + 6x + 4 = 0
x2 + 6x = -4
x2 + 6x + 9 = -4 + 9
，或
，
2．推导求根公式
（x + 3）= 5
2
　　想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加 9？ 加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
两边加 9
　　一般地，当二次项系数为 1 时，二次式加上一次项系数一半的平方，二次式就可以写成完全平方的形式．
x2 + 6x = -4　 ③
x2 + 6x + 9 = -4 + 9
2．推导求根公式
（x + 3）= 5
2
9，即　　 2 = 3 2 = 9
（ ）
　　议一议：结合方程①的解答过程，说出解一般二次 项系数为 1 的一元二次方程的基本思路是什么？具体步 骤是什么？
配成完全平方形式
　　通过 　　　　　　　　 来解一元二次方程的方法， 叫做配方法．
配方
　　具体步骤：
　　（1）移项；
　　（2）在方程两边都加上一次项系数一半的平方．
2．推导求根公式
平方根的意义
降次
　　（当 p≥0 时）
　　问题5　通过解方程 x 2 + 6x + 4=0 ，请归纳这类方程是怎样解的？
3．归纳配方法解方程的步骤
　　结构特征：方程可化成　　　　　 的形式，
（x + n）= p
2
　　（2）配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些
3．归纳配方法解方程的步骤
　　（1）用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？ 把方程配方为　　　　　的形式，运用开平方法， 降次求解．
（x + n）= p
2
　　解一元二次方程的一般步骤：
两边加 9，左边 配成完全平方式
移项
左边写成完全 平方形式
降次
x2 + 6x + 4 = 0
x2 + 6x = -4
x2 + 6x + 9 = -4 + 9
，或
3．归纳配方法解方程的步骤
（x + 3）= 5
2
解一次方程
，
4．归纳小结
　　（2）配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些
　　（3）在配方法解一元二次方程的过程中应该注意 哪些问题
　　（1）用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？ 　　把方程配方为　　　　　的形式，运用开平方法， 降次求解．
（x + n）= p
2
1．复习配方法，引入公式法
　　问题1　什么叫配方法？配方法的基本步骤是什么？
　　（1）将方程二次项系数化成 1；
　　（2）移项；
　　（3）配方；
　　（4）化为（x + n）= p（n，p 是常数，p≥0）的形 式；
　　（5）用直接开平方法求得方程的解．
2
　　问题2　能否用公式法解决一元二次方程的求根问 题呢？
　　问题3　我们知道，任意一个一元二次方程都可以 转化为一般形式
ax 2 + bx + c = 0 （a≠0）
你能用配方法得出它的解吗？
2．推导求根公式
　　此时可以用开平方法求解吗？
2．推导求根公式
　　一般地，一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0（a≠0）的根 由方程的系数 a，b，c 确定．将 a，b，c 代入式子就得 到方程的根：
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．
2．推导求根公式
　　你能总结一下推导求根公式的基本步骤吗？推导过 程中要注意那些问题？
　　当　　　　　 时，方程有两个不相等的实根； 　　当　　　　　 时，方程有两个相等的实根； 　　当　　　　　 时，方程没有实根.
2．推导求根公式
b 2 - 4ac＞0
b 2 - 4ac = 0
b 2 - 4ac＜0
　　例1　用公式法解下列方程： 　　（1） x 2 - 4x - 7 = 0； 　　（2）　　　　　　　 ；
　　（3）5x 2 - 3x = x + 1；
　　（4）x 2 + 17 = 8x．
3．归纳公式法解方程的步骤
　　问题4：你能总结用公式法解一元二次方程的步骤 吗？应用公式时要注意什么问题？
3．归纳公式法解方程的步骤
　　回到本章引言中的问题，雕像下部高度 x（m）满 足方程
x 2 + 2x - 4 = 0．
用公式法解这个方程：
4．练习巩固公式法
　　（1）如果雕像的高度设计为 3 m，那雕像的下部 应是多少？4 m 呢？
　　（2）进而把问题一般化，这个高度比是多少？
　　问题5：请大家思考并回答以下问题：
　　（1）本节课学了哪些内容？
　　（2）我们是用什么方法推导求根公式的？
　　（3）你认为判别式有哪些作用？
　　（4）应用公式法解一元二次方程的步骤是什么？
5．归纳小结
　　问题1　根据物理学规律，如果把一个物体从地面 以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 物体离地面的 高度（单位：m）为
10x - 4.9x 2．
你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗（精确到 0.01 s）？
1．探究因式分解法
　　你认为该如何解决这个问题？你想用哪种方法解这 个方程？
配方法
公式法
降次
？
1．探究因式分解法
10x - 4.9x 2 = 0
x 1 = 0，x 2 =
　　问题3　观察方程 10x - 4.9x 2 = 0，它有什么特点？ 你能根据它的特点找到更简便的方法吗？
两个因式的积等于零
至少有一个因式为零
1．探究因式分解法
　　　　10x - 4.9x 2 = 0
x 1 = 0，x 2 =
　　x = 0
或　10 - 4.9x = 0
x 10 - 4.9x = 0
（　　　 ）
　　例　解下列方程： 　　（1）
　　（2）
2．应用举例
　　归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：
　　（1）化方程为一般形式；
　　（2）将方程左边因式分解；
　　（3）至少有一个因式为零，得到两个一元一次方 程；
　　（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．
x x - 2 + x - 2 = 0
（　 ）
　　问题4　请回答以下问题：
　　（1）因式分解法的依据是什么？解题步骤是什么？
　　（2）回顾配方法、公式法和因式分解法，你能说 出它们各自的特点吗？
4．归纳小结
　　教科书习题 21.2
5．布置作业