苏教版 必修第二册 第11章 解三角形 章末检测试（Word版含解析）

章末检测试卷三(第11章)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝，a＝，b＝2，则边c的大小为(　　)
A．3 B．2 C. D.
2．在钝角△ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(2,3)
C．(，3) D．(2，3)
3．某船在小岛A的南偏东75°，相距20千米的B处，该船沿东北方向行驶20千米到达C处，则此时该船与小岛A之间的距离为(　　)
A．10(－)千米 B．10(＋)千米
C．20千米 D．20 千米
4．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝，则三角形外接圆的半径为(　　)
A. B．2
C．2 D．4
5．在△ABC中，sin2A－sin2C＝(sin A－sin B)sin B，则C等于(　　)
A. B.
C. D.
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＋c2＝a2＋bc，·＝4，则△ABC的面积是(　　)
A. B．4
C．4 D．2
7．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到A处时测得公路北侧一铁塔底部C在北偏西60°的方向上，行驶200 m后到达B处，测得此铁塔底部C在北偏西15°的方向上，塔顶D的仰角为30°，则此铁塔的高度为(　　)
A. m B．50 m
C．100 m D．100 m
8．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos C，则c等于(　　)
A．2 B．4 C．2 D．3
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝30°，a＝c，则B等于(　　)
A．45° B．105° C．15° D．135°
10．在△ABC中，sin C＋sin(A－B)＝3sin 2B.若C＝，则等于(　　)
A. B. C．2 D．3
11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，以下四个结论中，正确的是(　　)
A．若a>b>c，则sin A>sin B>sin C
B．若A>B>C，则sin A>sin B>sin C
C．acos B＋bcos A＝c
D．若a2＋b2>c2，则△ABC是锐角三角形
12．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是(　　)
A．b＝7，c＝3，C＝30° B．b＝5，c＝4，B＝45°
C．a＝8，b＝4，B＝60° D．a＝20，b＝30，A＝30°
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按0.5 km计算，则该沙田的面积为________km2.
14．在△ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，则sin A＝________，a＝________.
15．在△ABC中，若C＝3B，则的取值范围为__________________________________．
16．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x＝________ cm.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且m＝(2b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，m∥n.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝4，S△ABC＝4，试判定△ABC的形状．
18．(12分)在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，sin C＝2sin B.
(1)求；
(2)若AD＝AC＝1，求BC的长．
19.(12分)如图，已知A，B，C是一条直路上的三点，AB＝BC＝1 km，从三点分别遥望塔M，在A处看见塔在北偏东45°方向，在B处看见塔在正东方向，在C处看见塔在南偏东60°方向，求塔到直路ABC的最短距离．
20．(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A(cos B－3cos C)＝cos A(3sin C－sin B)．
(1)求的值；
(2)若cos A＝，a＝4，求△ABC的面积．
21．(12分)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，试从下列①②条件中任选一个作为已知条件并完成下列(1)(2)两问的解答．
①＝；
②2ccos C＝acos B＋bcos A.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝，a＋b＝，求△ABC的面积．
22．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A≠，bsin 2A＝6cos Asin B.
(1)求a的值；
(2)若A＝，求△ABC周长的取值范围．
章末检测试卷三(第11章)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝，a＝，b＝2，则边c的大小为(　　)
A．3 B．2 C. D.
答案　A
解析　由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A，所以7＝4＋c2－2c，解得c＝3或c＝－1(舍去)．故选A.
2．在钝角△ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(2,3)
C．(，3) D．(2，3)
答案　C
解析　由cos C＝<0，得c2>a2＋b2＝5.
∴c>，又c3．某船在小岛A的南偏东75°，相距20千米的B处，该船沿东北方向行驶20千米到达C处，则此时该船与小岛A之间的距离为(　　)
A．10(－)千米 B．10(＋)千米
C．20千米 D．20 千米
答案　D
解析　如图，由题意可得，在△ABC中，AB＝BC＝20，∠ABC＝120°，
则AC＝＝＝20.
即此时该船与小岛A之间的距离为20千米，故选D.
4．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝，则三角形外接圆的半径为(　　)
A. B．2
C．2 D．4
答案　B
解析　根据三角形的面积公式S＝bcsin A，可得到＝×2×c×，解得c＝2，所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形，C为30°，所以由正弦定理＝2R，解得R＝2.
5．在△ABC中，sin2A－sin2C＝(sin A－sin B)sin B，则C等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由sin2A－sin2C＝(sin A－sin B)sin B及正弦定理可得a2＋b2－c2＝ab，
∴cos C＝，∵06．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＋c2＝a2＋bc，·＝4，则△ABC的面积是(　　)
A. B．4
C．4 D．2
答案　D
解析　在△ABC中，b2＋c2＝a2＋bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝.
又因为A为△ABC的内角，所以A＝.
又因为·＝4，所以bccos A＝4，得bc＝8.
故△ABC的面积为S＝bcsin A＝×8×sin ＝2，故选D.
7．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到A处时测得公路北侧一铁塔底部C在北偏西60°的方向上，行驶200 m后到达B处，测得此铁塔底部C在北偏西15°的方向上，塔顶D的仰角为30°，则此铁塔的高度为(　　)
A. m B．50 m
C．100 m D．100 m
答案　A
解析　设此铁塔高h m，则BC＝h m，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠CBA＝105°，∠BCA＝45°，AB＝200.根据正弦定理得＝，解得h＝，故选A.
8．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos C，则c等于(　　)
A．2 B．4 C．2 D．3
答案　C
解析　＝＝＝1，即2cos C＝1，可得C＝60°，∵S△ABC＝2，∴absin C＝2，即ab＝8，又a＋b＝6，∴由c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－2ab－ab＝(a＋b)2－3ab＝62－3×8＝12，解得c＝2.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝30°，a＝c，则B等于(　　)
A．45° B．105° C．15° D．135°
答案　BC
解析　因为在△ABC中，C＝30°，a＝c，所以由正弦定理可得sin A＝＝×＝，
所以A＝45°或135°，因此B＝180°－45°－30°＝105°或B＝180°－135°－30°＝15°，故选BC.
10．在△ABC中，sin C＋sin(A－B)＝3sin 2B.若C＝，则等于(　　)
A. B. C．2 D．3
答案　AD
解析　由sin C＋sin(A－B)＝3sin 2B，可得sin(A＋B)＋sin(A－B)＝6sin Bcos B，
整理得sin Acos B＝3sin Bcos B，
故cos B＝0或sin A＝3sin B，
当cos B＝0时，又B∈(0，π)，所以B＝，
又C＝，所以A＝，＝＝，
当sin A＝3sin B时，＝＝3.
11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，以下四个结论中，正确的是(　　)
A．若a>b>c，则sin A>sin B>sin C
B．若A>B>C，则sin A>sin B>sin C
C．acos B＋bcos A＝c
D．若a2＋b2>c2，则△ABC是锐角三角形
答案　ABC
解析　对于A，由于a>b>c，故由正弦定理＝＝＝2R，可得sin A>sin B>sin C，故A正确；对于B，A>B>C，由大边对大角定理可知，a>b>c，由正弦定理＝＝＝2R，可得sin A>sin B>sin C，故B正确；对于C，根据正弦定理可得acos B＋bcos A＝2R(sin Acos B＋sin Bcos A)＝2Rsin(B＋A)＝2Rsin(π－C)＝2Rsin C＝c，故C正确；对于D，a2＋b2>c2，由余弦定理可得cos C＝>0，由C∈(0，π)，可得C是锐角，但A或B可能为钝角，故D错误．
12．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是(　　)
A．b＝7，c＝3，C＝30° B．b＝5，c＝4，B＝45°
C．a＝8，b＝4，B＝60° D．a＝20，b＝30，A＝30°
答案　BC
解析　对于A，因为b＝7，c＝3，C＝30°，所以由正弦定理可得sin B＝＝＝>1，无解；对于B，b＝5，c＝4，B＝45°，所以由正弦定理可得sin C＝＝＝<1，且ca，所以B有两个值，有两解．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按0.5 km计算，则该沙田的面积为________km2.
答案　21
解析　设在△ABC中，BC＝13里，AC＝14里，AB＝15里，∴cos C＝＝，∴sin C＝，故△ABC的面积为×13×14××0.52＝21(km2)．
14．在△ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，则sin A＝________，a＝________.
答案　　2
解析　由tan A＝2，得sin A＝2cos A，
由sin2A＋cos2A＝1，得sin A＝，
又b＝5，B＝，
故由正弦定理＝，
得a＝＝＝2.
15．在△ABC中，若C＝3B，则的取值范围为__________________________________．
答案　(1,3)
解析　由正弦定理，得
＝＝＝
＝
＝cos 2B＋2cos2B
＝4cos2 B－1，
又∵A＋B＋C＝180°，C＝3B，
∴0°∴1<4cos2B－1<3，
即的取值范围为(1,3)．
16．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x＝________ cm.
答案　
解析　如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，
则在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，则∠AOB＝60°，由正弦定理，得
x＝＝＝ (cm)．
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且m＝(2b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，m∥n.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝4，S△ABC＝4，试判定△ABC的形状．
解　(1)∵m∥n，m＝(2b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，
∴(2b－c)cos A－acos C＝0，
由正弦定理得(2sin B－sin C)cos A－sin Acos C＝0，
∴2sin Bcos A－sin(C＋A)＝0，即sin B(2cos A－1)＝0，
∵0又0(2)∵S△ABC＝bcsin A＝4，∴bc＝16，
又a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴b2＋c2＝32，∴b＝c＝4，
∴△ABC为等边三角形．
18．(12分)在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，sin C＝2sin B.
(1)求；
(2)若AD＝AC＝1，求BC的长．
解　(1)在△ABD中，由正弦定理可得＝，
在△ACD中，由正弦定理可得＝，
又因为∠BAD＝∠CAD，
所以＝＝2.
(2)由sin C＝2sin B及正弦定理得AB＝2AC＝2，
设DC＝x，则BD＝2x，
则cos∠BAD＝＝，
cos∠CAD＝＝，
因为∠BAD＝∠CAD，
所以＝，解得x＝.
故BC＝3x＝.
19.(12分)如图，已知A，B，C是一条直路上的三点，AB＝BC＝1 km，从三点分别遥望塔M，在A处看见塔在北偏东45°方向，在B处看见塔在正东方向，在C处看见塔在南偏东60°方向，求塔到直路ABC的最短距离．
解　由题意得∠CMB＝30°，∠AMB＝45°，
∵AB＝BC＝1，∴S△MAB＝S△MBC，
即MA×MB×sin 45°＝MC×MB×sin 30°，
∴MC＝MA，在△MAC中，由余弦定理，得AC2＝MA2＋MC2－2MA×MC×cos 75°，
∴MA2＝，
设M到AB的距离为h km，则由△MAC的面积得MA×MC×sin 75°＝AC×h，
∴h＝×sin 75°＝××sin 75°＝.
∴塔到直路ABC的最短距离为 km.
20．(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A(cos B－3cos C)＝cos A(3sin C－sin B)．
(1)求的值；
(2)若cos A＝，a＝4，求△ABC的面积．
解　(1)因为sin A(cos B－3cos C)
＝cos A(3sin C－sin B)，
所以sin Acos B＋cos Asin B
＝3cos Asin C＋3sin Acos C，
即sin(A＋B)＝3sin(A＋C)，
因为A＋B＋C＝π，
所以sin C＝3sin B，则＝3.
(2)因为＝3，
所以＝3，即c＝3b.
由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，
因为cos A＝，a＝4，c＝3b，
所以16＝b2＋9b2－6b2×，
解得b＝，c＝3b＝3，
因为cos A＝，所以sin A＝.
故△ABC的面积为bcsin A＝××3×＝2.
21．(12分)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，试从下列①②条件中任选一个作为已知条件并完成下列(1)(2)两问的解答．
①＝；
②2ccos C＝acos B＋bcos A.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝，a＋b＝，求△ABC的面积．
解　(1)选择①，
根据正弦定理得＝，
从而可得a2－c2＝ab－b2，
根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
解得cos C＝，
因为C∈(0，π)，故C＝.
选择②，
根据正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C，
即sin(A＋B)＝2sin Ccos C，
即sin C＝2sin Ccos C，
因为C∈(0，π)，
所以sin C≠0，从而有cos C＝，
故C＝.
(2)根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
得5＝a2＋b2－ab，
即5＝(a＋b)2－3ab，
解得ab＝2，
故△ABC的面积为absin C＝×2×＝.
22．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A≠，bsin 2A＝6cos Asin B.
(1)求a的值；
(2)若A＝，求△ABC周长的取值范围．
解　(1)由bsin 2A＝6cos Asin B及二倍角公式，
得bsin A＝3sin B，
又＝，即bsin A＝asin B，所以a＝3.
(2)由正弦定理得b＝＝2sin B，c＝＝2sin C.
故△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋2sin B＋2sin C＝3＋2sin B＋2sin
＝3＋6＝3＋6sin.
又B∈，所以sin∈，
所以△ABC周长的取值范围是(6,9]．