苏教版必修第二册 第10章 三角恒等变换章末检测试卷（Word版含解析）

章末检测试卷二(第10章)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．sin 80°cos 70°＋sin 10°sin 70°等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
2．函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)
A. B. C．π D．2π
3.等于(　　)
A．2cos α B．2cos α
C．2sin α D．sin α
4．在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值是(　　)
A．－ B. C. D．－
5．若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，则cos β等于(　　)
A. B.
C.或－ D.或
6．为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝cos 3x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
7．已知f(x)＝sin 2x，g(x)＝f ，直线x＝t与函数y＝f(x)，y＝g(x)的交点分别为A，B，则线段AB长度的最大值为(　　)
A．1 B. C. D．2
8．已知β∈，满足tan(α＋β)＝，sin β＝，则tan α等于(　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．若cos 2θ＋cos θ＝0，则sin 2θ＋sin θ等于(　　)
A．0 B. C．－ D.
10．下列选项中，值为的是(　　)
A．cos 72°cos 36° B．sin sin
C.＋ D.－cos215°
11．已知函数f(x)＝sin x＋cos x的图象关于直线x＝a对称，则实数a的值可以为(　　)
A．－ B. C. D.
12．已知函数y＝sin xcos x＋sin2x.则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)的图象关于点对称
C．若x∈，则函数f(x)的最大值为1
D．若0三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若tan α＝，则tan＝________.
14．设α为锐角，若cos＝，则sin＝_________________________________..
15．设函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a，已知当x∈时，f(x)的最小值为－2，则a＝________.
16．在△ABC中，若cos ＝2sin ，则cos B的最小值是________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
18．(12分)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x，x∈R.
(1)求f 的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
19．(12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一三角恒等式sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝______，并证明你的结论．
20．(12分)(1)已知＜α＜π，tan α＋＝－，求的值；
(2)已知0＜α＜＜β＜π，tan ＝，cos(β－α)＝，求β的值．
21.(12分)如图，某公司有一块边长为1百米的正方形空地ABCD，现要在正方形空地中规划一个三角形区域PAQ种植花草，其中P，Q分别为边BC，CD上的动点，∠PAQ＝，其他区域安装健身器材，设∠BAP为θ弧度．
(1)求△PAQ的面积S关于θ的函数解析式S(θ)；
(2)求面积S的最小值．
22．(12分)在①函数f(x)＝sin(2ωx＋φ)的图象向左平移个单位长度得到g(x)的图象，g(x)的图象关于原点对称；②向量m＝(sin ωx，cos 2ωx)，n＝，ω>0，f(x)＝m·n；③函数f(x)＝cos ωx·sin＋(ω>0)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．已知________，函数f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)若0<θ<，且sin θ＝，求f(θ)的值；
(2)求函数f(x)在[0,2π]上的减区间．
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
章末检测试卷二(第10章)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．sin 80°cos 70°＋sin 10°sin 70°等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　C
解析　sin 80°cos 70°＋sin 10°sin 70°＝cos 10°cos 70°＋sin 10°sin 70°＝cos(70°－10°)＝cos 60°＝，故选C.
2．函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)
A. B. C．π D．2π
答案　C
解析　由题意得y＝2sin，其最小正周期T＝＝π.
3.等于(　　)
A．2cos α B．2cos α
C．2sin α D．sin α
答案　A
解析　原式＝＝2cos α.
4．在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值是(　　)
A．－ B. C. D．－
答案　B
解析　由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，得＝－1，即tan(A＋B)＝－1.
∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝.∴C＝，cos C＝.
5．若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，则cos β等于(　　)
A. B.
C.或－ D.或
答案　A
解析　由α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，得sin α＝，cos(α－β)＝，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝.
6．为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝cos 3x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
答案　C
解析　因为y＝sin 3x＋cos 3x＝sin＝sin，
又y＝cos 3x＝sin＝sin，
所以应由y＝cos 3x的图象向右平移个单位长度得到．
7．已知f(x)＝sin 2x，g(x)＝f ，直线x＝t与函数y＝f(x)，y＝g(x)的交点分别为A，B，则线段AB长度的最大值为(　　)
A．1 B. C. D．2
答案　A
解析　因为f(x)＝sin 2x，
g(x)＝f ＝sin，
又直线x＝t与函数y＝f(x)，y＝g(x)的交点分别为A，B，
所以＝
＝
＝
＝＝，
又sin∈，
所以＝∈，
因此线段AB长度的最大值为1.
8．已知β∈，满足tan(α＋β)＝，sin β＝，则tan α等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　因为β∈，sin β＝，
所以cos β＝，所以tan β＝＝.
又因为tan(α＋β)＝，
所以tan α＝tan[(α＋β)－β]＝
＝＝，故选B.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．若cos 2θ＋cos θ＝0，则sin 2θ＋sin θ等于(　　)
A．0 B. C．－ D.
答案　ABC
解析　由cos 2θ＋cos θ＝0得2cos2θ－1＋cos θ＝0，
所以cos θ＝－1或cos θ＝.
当cos θ＝－1时，有sin θ＝0；
当cos θ＝时，有sin θ＝±.
于是sin 2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或或－.
10．下列选项中，值为的是(　　)
A．cos 72°cos 36° B．sin sin
C.＋ D.－cos215°
答案　AB
解析　对于A，cos 36°cos 72°＝＝＝＝.
对于B，sin sin ＝sin cos ＝＝＝.
对于C，原式＝＝＝＝＝4.
对于D，－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos 30°＝－.
11．已知函数f(x)＝sin x＋cos x的图象关于直线x＝a对称，则实数a的值可以为(　　)
A．－ B. C. D.
答案　AB
解析　因为f(x)＝sin x＋cos x
＝2
＝2sin，
所以其对称轴方程为x＋＝kπ＋，k∈Z，
解得x＝kπ＋，k∈Z，
又函数f(x)＝sin x＋cos x的图象关于直线x＝a对称，所以a＝kπ＋，k∈Z，所以A，B满足．
12．已知函数y＝sin xcos x＋sin2x.则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)的图象关于点对称
C．若x∈，则函数f(x)的最大值为1
D．若0答案　BC
解析　y＝sin xcos x＋sin2x＝sin 2x＋＝(sin 2x－cos 2x)＋＝sin＋.
A项，函数f(x)的最小正周期为π，故A错误．
B项，令2x－＝kπ(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)，
∴函数f(x)的图象关于点对称，故B正确．
C项，若x∈，2x－∈，
则函数f(x)的最大值为1，故C正确．
D项，由于当0∴D错误，故选BC.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若tan α＝，则tan＝________.
答案　
解析　由题意知tan＝＝＝.
14．设α为锐角，若cos＝，则sin＝_________________________________.
答案　－
解析　因为α为锐角，所以α＋∈，
所以sin＝＝，
则sin＝sin＝×－×＝－.
15．设函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a，已知当x∈时，f(x)的最小值为－2，则a＝________.
答案　－2
解析　f(x)＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a
＝2sin＋a＋1.
∵x∈，∴2x＋∈.
∴sin∈，
∴f(x)min＝2×＋a＋1＝a.∴a＝－2.
16．在△ABC中，若cos ＝2sin ，则cos B的最小值是________．
答案　
解析　∵cos ＝2sin ，
∴sin ＝cos ，
∴cos B＝1－2sin2＝1－22
＝1－cos2＝1－×
＝－cos，
当A－C＝0时，cos取到最大值1，
∴cos B的最小值是.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知tan α，tan β是x2＋3x＋4＝0的两根，－<α<，－<β<，求α＋β.
解　∵tan α＋tan β＝－3<0，tan αtan β＝4>0，
∴tan α<0，tan β<0.
∵－<α<，－<β<，
∴－<α<0，－<β<0.
∴－π<α＋β<0，
∴tan(α＋β)＝＝＝，
∴α＋β＝－.
18．(12分)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x，x∈R.
(1)求f 的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
解　(1)f ＝2cos ＋sin2－4cos
＝－1＋－2＝－.
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x
＝3cos2x－4cos x－1＝32－，x∈R.
因为cos x∈[－1,1]，
所以当cos x＝－1时，f(x)取得最大值6；
当cos x＝时，f(x)取得最小值－.
19．(12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一三角恒等式sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝______，并证明你的结论．
解　(1)选择②式：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝，
所以该常数为.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋2－sin α
＝sin2α＋cos2α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
20．(12分)(1)已知＜α＜π，tan α＋＝－，求的值；
(2)已知0＜α＜＜β＜π，tan ＝，cos(β－α)＝，求β的值．
解　(1)因为＜α＜π，所以－1＜tan α＜0，
由tan α＋＝－，得3tan2α＋10tan α＋3＝0，
解得tan α＝－或tan α＝－3(舍去)．
故
＝
＝＝－－2tan α
＝－－2×＝－.
(2)因为0＜α＜，tan ＝，
所以tan α＝＝＝.
因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝，cos α＝.
又因为0＜α＜＜β＜π，所以0＜β－α＜π.
因为cos(β－α)＝，所以sin(β－α)＝.
所以sin β＝sin[(β－α)＋α]
＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α
＝×＋×＝.
因为β∈，所以β＝.
21.(12分)如图，某公司有一块边长为1百米的正方形空地ABCD，现要在正方形空地中规划一个三角形区域PAQ种植花草，其中P，Q分别为边BC，CD上的动点，∠PAQ＝，其他区域安装健身器材，设∠BAP为θ弧度．
(1)求△PAQ的面积S关于θ的函数解析式S(θ)；
(2)求面积S的最小值．
解　(1)因为∠BAP＝θ，正方形边长为1百米，
所以AP＝，AQ＝.
过点P作AQ的垂线，垂足为E，
则PE＝·.
所以S(θ)＝··
＝，其中θ∈.
(2)因为S(θ)＝，
所以S(θ)＝，
因此当sin＝1，即θ＝时，S(θ)取得最小值为－1.
故当θ＝时，面积S的最小值为－1.
22．(12分)在①函数f(x)＝sin(2ωx＋φ)的图象向左平移个单位长度得到g(x)的图象，g(x)的图象关于原点对称；②向量m＝(sin ωx，cos 2ωx)，n＝，ω>0，f(x)＝m·n；③函数f(x)＝cos ωx·sin＋(ω>0)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．已知________，函数f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)若0<θ<，且sin θ＝，求f(θ)的值；
(2)求函数f(x)在[0,2π]上的减区间．
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
解　(1)选条件①时，
∵f(x)＝sin(2ωx＋φ)的图象相邻两条对称轴之间的距离为，
∴T＝2×＝π，而ω>0，∴2ω＝＝2，ω＝1，
∵f(x)的图象向左平移个单位长度得到g(x)的图象，
∴g(x)＝sin＝sin，
∵g(x)的图象关于原点对称，
∴＋φ＝kπ，∴φ＝kπ－，
∵|φ|<，∴φ＝－，
∴f(x)＝sin，
∵0<θ<，且sin θ＝，∴θ＝，
∴f＝sin＝sin＝.
选条件②时，
f(x)＝m·n＝sin ωxcos ωx－cos 2ωx
＝sin 2ωx－cos 2ωx
＝
＝sin，
∵f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为，
∴T＝2×＝π，而ω>0，∴2ω＝＝2，ω＝1，
∴f(x)＝sin，以下同①；
选条件③时，
f(x)＝cos ωx·sin＋
＝cos ωx＋
＝sin ωxcos ωx－cos2ωx＋
＝sin 2ωx－cos 2ωx
＝
＝sin，
∵f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为，
∴T＝2×＝π，而ω>0，∴2ω＝＝2，ω＝1，
∴f(x)＝sin，以下同①.
(2)由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
令k＝0，≤x≤；
令k＝1，≤x≤.
∴函数f(x)在[0,2π]上的减区间为，.