苏教版必修第二册第9章 平面向量 章末检测试卷（Word版含解析）

章末检测试卷一(第9章)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．若＝(－1,2)，＝(1，－1)，则等于(　　)
A．(－2,3) B．(0,1) C．(－1,2) D．(2，－3)
2．已知A(1，2)，B(3，4)，C(－2，2)，D(－3，5)，则向量在向量上的投影向量的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
3．已知A(2，－3)，＝(3，－2)，则点B和线段AB的中点M的坐标分别为(　　)
A．B(5，－5)，M(0,0) B．B(5，－5)，M
C．B(1,1)，M(0,0) D．B(1,1)，M
4．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．已知向量a＝，b＝，若a∥b，则锐角α为(　　)
A．30° B．60° C．45° D．75°
6．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
7．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．8
8．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，||＝2，且∠AOC＝，设＝λ＋(λ∈R)，则λ的值为(　　)
A．1 B.
C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下列四式可以化简为的是(　　)
A.＋(＋)
B．(＋)＋(－)
C.＋－
D.＋－
10．对于任意的平面向量a，b，c，下列说法中错误的是(　　)
A．若a∥b且b∥c，则a∥c
B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
C．若a·b＝a·c，且a≠0，则|b|＝|c|
D．(a·b)c＝a(b·c)
11．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是(　　)
A．若＝＋，则点M是边BC的中点
B．若＝2－，则点M在线段BC的延长线上
C．若＝－－，则点M是△ABC的重心
D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
12．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的值可能为(　　)
A.－1 B．1 C. D．2
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．
14．如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为________N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则合力的坐标为________．
15．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝________.
16．若正方形ABCD的边长为1，点P在线段AC上运动，则·(＋)的最大值是________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.用a，b表示，，，，.
18．(12分)已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．
(1)求a·b，|a＋b|；
(2)求a与b的夹角的余弦值．
19．(12分)已知在△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
20．(12分)在△ABC中，已知A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，AD⊥BC于点D.
(1)求点D的坐标；
(2)求证：AD2＝BD·DC.
21．(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(2,1)，A(1,0)，B(cos θ，t)．
(1)若a∥，且||＝||，求向量的坐标；
(2)若a∥，求y＝cos2θ－cos θ＋t2的最小值．
22．(12分)如图所示，在△ABC中，＝，＝，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P.
(1)用和分别表示和；
(2)如果＝＋λ＝＋μ，求实数λ和μ的值；
(3)在(2)的条件下，确定点P在边BC上的位置．
章末检测试卷一(第9章)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．若＝(－1,2)，＝(1，－1)，则等于(　　)
A．(－2,3) B．(0,1) C．(－1,2) D．(2，－3)
答案　D
解析　因为＝(－1,2)，＝(1，－1)，
所以＝－＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3)．
2．已知A(1，2)，B(3，4)，C(－2，2)，D(－3，5)，则向量在向量上的投影向量的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　＝(2，2)，＝(－1，3)，＝，·＝－2＋6＝4，则向量在向量上的投影向量为·＝.
3．已知A(2，－3)，＝(3，－2)，则点B和线段AB的中点M的坐标分别为(　　)
A．B(5，－5)，M(0,0) B．B(5，－5)，M
C．B(1,1)，M(0,0) D．B(1,1)，M
答案　B
解析　设O为坐标原点，＝＋＝(2，－3)＋(3，－2)＝(5，－5)，即B(5，－5)，∴AB的中点M.
4．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案　C
解析　因为a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，
则(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.
5．已知向量a＝，b＝，若a∥b，则锐角α为(　　)
A．30° B．60° C．45° D．75°
答案　A
解析　∵a∥b，∴sin2α＝×＝，∴sin α＝±.
又∵α为锐角，∴sin α＝，∴α＝30°.
6．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)·(3a＋2b)＝0，
即3a2－a·b－2b2＝0.∵|a|＝|b|，
设a与b的夹角为θ，
∴3|a|2－|a||b|cos θ－2|b|2＝0，
∴|b|2－|b|2cos θ－2|b|2＝0，∴cos θ＝.
又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
7．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．8
答案　B
解析　∵|v|＝＝，
||＝＝3，
∴时间t＝＝3.
8．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，||＝2，且∠AOC＝，设＝λ＋(λ∈R)，则λ的值为(　　)
A．1 B.
C. D.
答案　D
解析　如图，过C作CE⊥x轴于点E.
由||＝2，且∠AOC＝，
得|O|＝|C|＝2，
所以＝＋＝λ＋，
即＝λ，
所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下列四式可以化简为的是(　　)
A.＋(＋)
B．(＋)＋(－)
C.＋－
D.＋－
答案　ABC
解析　A项中，＋(＋)＝(＋)－＝－＝；B项中，(＋)＋(－)＝(－)＋(＋)＝；C项中，＋－＝－＝；D项中，＋－＝－≠.
10．对于任意的平面向量a，b，c，下列说法中错误的是(　　)
A．若a∥b且b∥c，则a∥c
B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
C．若a·b＝a·c，且a≠0，则|b|＝|c|
D．(a·b)c＝a(b·c)
答案　ACD
解析　选项A中，若b＝0，则此说法不成立；
选项C中，若a和b，c都垂直，显然b，c在模长方面没有任何关系，所以此说法不成立；
选项D中，(a·b)c是一个与向量c共线的向量，而a(b·c)是一个与向量a共线的向量，所以等号不成立；B显然成立．
11．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是(　　)
A．若＝＋，则点M是边BC的中点
B．若＝2－，则点M在线段BC的延长线上
C．若＝－－，则点M是△ABC的重心
D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
答案　ACD
解析　A项，＝＋ －＝－，即＝，则点M是边BC的中点，所以A正确；
B项，＝2－ －＝－，即＝，则点M在线段CB的延长线上，所以B错误．
C项如图，设BC的中点为D，
则＝－－＝＋＝2，由重心性质可知C成立．
D项，＝x＋y，
且x＋y＝ 2＝2x＋2y，2x＋2y＝1，
设＝2，
所以＝2x＋2y，2x＋2y＝1，
可知B，C，D三点共线，
所以△MBC的面积是△ABC面积的，所以D正确．
12．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的值可能为(　　)
A.－1 B．1 C. D．2
答案　AB
解析　因为a，b，c均为单位向量，
且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，
所以a·b－c·(a＋b)＋c2≤0，
所以c·(a＋b)≥1，
所以|a＋b－c|＝
＝
＝≤＝1，
所以选项C，D不正确，故选AB.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．
答案　
解析　＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，
依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，
即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.
14．如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为________N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则合力的坐标为________．
答案　　(5,4)
解析　F1＝(2,3)，F2＝(3,1)，
所以合力F＝F1＋F2＝(2,3)＋(3,1)＝(5,4)，
所以合力的大小为＝(N)．
15．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝________.
答案　
解析　设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)．
又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.①
又c⊥(a＋b)，
∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②
联立①②解得x＝－，y＝－.
16．若正方形ABCD的边长为1，点P在线段AC上运动，则·(＋)的最大值是________．
答案　
解析　如图，以A为原点建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(1,0)，D(0,1)，可设P(x，x)(0≤x≤1)．
则有＝(x，x)，＝(1－x，－x)，＝(－x,1－x)，从而·(＋)＝－4x2＋2x＝－42＋，
故当x＝时，·(＋)取得最大值.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.用a，b表示，，，，.
解　如图，延长AD到点G，使＝2，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC.
则＝a＋b，＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，＝－＝b－a.
18．(12分)已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．
(1)求a·b，|a＋b|；
(2)求a与b的夹角的余弦值．
解　(1)因为e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
所以a＝3e1－2e2＝(3，－2)，
b＝4e1＋e2＝(4,1)，
所以a·b＝(3，－2)·(4,1)＝12－2＝10，a＋b＝(7，－1)，
所以|a＋b|＝＝5.
(2)设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
19．(12分)已知在△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
证明　以C为坐标原点，以CA，CB分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设A(a,0)，B(0，a)，E(x，y)．
∵D是BC的中点，∴D.
又∵＝2，
即(x－a，y)＝2(－x，a－y)，
∴解得x＝，y＝a.
∵＝－(a,0)＝，＝＝，
∴·＝－a×＋a×＝－a2＋a2＝0.
∴⊥，即AD⊥CE.
20．(12分)在△ABC中，已知A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，AD⊥BC于点D.
(1)求点D的坐标；
(2)求证：AD2＝BD·DC.
(1)解　设D点坐标为(x，y)，
则＝(x－2，y－4)，＝(5,5)，＝(x＋1，y＋2)．
因为AD⊥BC，所以·＝0，
即5(x－2)＋5(y－4)＝0.
所以x＋y＝6.①
又因为B，D，C三点共线，所以∥，
所以5(x＋1)－5(y＋2)＝0，
所以x－y＝1.②
联立①②，解得所以点D的坐标为.
(2)证明　由(1)得，＝，＝，＝，所以||2＝＋＝，||＝＝，||＝ ＝，
从而||||＝×＝.
故||2＝||||，即AD2＝BD·DC.
21．(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(2,1)，A(1,0)，B(cos θ，t)．
(1)若a∥，且||＝||，求向量的坐标；
(2)若a∥，求y＝cos2θ－cos θ＋t2的最小值．
解　(1)∵＝(cos θ－1，t)，a∥，
∴2t－cos θ＋1＝0.
∴cos θ－1＝2t.①
∵||＝||，∴(cos θ－1)2＋t2＝5.②
由①②，得t2＝1，∴t＝±1.
当t＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t＝－1时，cos θ＝－1，
∴B(－1，－1)，∴＝(－1，－1)．
(2)由(1)可知t＝，
∴y＝cos2θ－cos θ＋
＝cos2θ－cos θ＋
＝＋
＝2－，
∴当cos θ＝时，ymin＝－.
22．(12分)如图所示，在△ABC中，＝，＝，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P.
(1)用和分别表示和；
(2)如果＝＋λ＝＋μ，求实数λ和μ的值；
(3)在(2)的条件下，确定点P在边BC上的位置．
解　(1)由＝，
可得＝＋＝－＋.
∵＝，
∴＝＋＝－＋.
(2)将＝－＋，＝－＋
代入＝＋λ＝＋μ，
则有＋λ＝＋μ，
即(1－λ)＋λ＝μ＋(1－μ)，
∵与不共线，∴解得
(3)设＝m，＝n.
由(2)知＝＋，
∴＝－＝n－＝n－＝·＋＝m＝m－m，
∵与不共线，
∴解得
∴＝，即＝2，
∴点P是BC的三等分点且靠近点C处．