苏教版必修第二册第12章 复数 章末检测试卷（Word版含解析）

章末检测试卷四(第12章)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．设i是虚数单位，则复数i3－等于(　　)
A．－i B．－3i C．i D．3i
2．复数(i为虚数单位)的虚部是(　　)
A．－ B. C．－i D.i
3．复数1＋在复平面内对应的点的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
4．在复平面内，一个正方形的三个顶点分别对应的复数是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为(　　)
A．3＋i B．3－i
C．1－3i D．－1＋3i
5．复数z的实部是虚部的两倍，且满足z＋a＝，则实数a等于(　　)
A．－1 B．5 C．1 D．9
6．若复数z＝3－4i的模为a，虚部为b，则a＋b等于(　　)
A．5＋4i B．5－4i
C．1 D．9
7．已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z等于(　　)
A．2－2i B．2＋2i C．－2＋2i D．－2－2i
8．定义复数的一种运算z1*z2＝(等式右边为普通运算)，若复数z＝a＋bi，为z的共轭复数，且正实数a，b满足a＋b＝3，则z*的最小值为(　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下面关于复数z＝的四个说法中，正确的有(　　)
A．|z|＝2 B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1
10．已知i为虚数单位，复数z1＝a＋2i，z2＝2－i，且|z1|＝|z2|，则实数a的值为(　　)
A．0 B. 1 C．－1 D．2
11．设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是(　　)
A．若|z1＋z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
12．已知集合M＝{m|m＝in，n∈N*}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是(　　)
A．(1－i)(1＋i) B.
C. D．(1－i)2
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若复数z＝(a－2)＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数(其中i是虚数单位)，则a＝________，＝________.
14．在复数集C内方程z2－4z＋5＝0的解集为_____________________．
15．若复数z＝a＋i(a∈R)与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，则a＝________.
16．世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，|z|＝|OZ|，即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．在复平面内，复数z0＝3i(i是虚数单位)，其对应的点为Z0，Z为曲线|z|＝1上的动点，则Z0与Z之间的最小距离为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)复平面内有O，A，B，C四点，点O为原点，点A对应的复数是3＋i，向量对应的复数是－2－4i，向量对应的复数是－4－i，求点B对应的复数．
18．(12分)已知复数z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)当实数m取什么值时，复数z是：①实数；②纯虚数；
(2)当m＝0时，化简.
19．(12分)已知m∈R，复数z＝(m－2)＋(m2－9)i.
(1)若z对应的点在第一象限，求m的取值范围；
(2)若z的共轭复数与复数＋5i相等，求m的值．
20．(12分)已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根．
(1)求实数a，b的值；
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明．
21．(12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
22．(12分)设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)设μ＝，求证：μ为纯虚数；
(3)在(2)的条件下求ω－μ2的最小值．
章末检测试卷四(第12章)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．设i是虚数单位，则复数i3－等于(　　)
A．－i B．－3i C．i D．3i
答案　C
解析　i3－＝－i－＝－i＋2i＝i.
2．复数(i为虚数单位)的虚部是(　　)
A．－ B. C．－i D.i
答案　A
解析　＝＝－i，所以复数的虚部是－.
3．复数1＋在复平面内对应的点的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　1＋＝1＋＝1－＋i＝＋i，
该复数在复平面内对应的点的坐标为.
4．在复平面内，一个正方形的三个顶点分别对应的复数是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为(　　)
A．3＋i B．3－i
C．1－3i D．－1＋3i
答案　D
解析　在复平面内通过已知三个点易知第四个顶点对应的复数为－1＋3i.
5．复数z的实部是虚部的两倍，且满足z＋a＝，则实数a等于(　　)
A．－1 B．5 C．1 D．9
答案　A
解析　z＝－a＝－a＝－a＝(3－a)＋2i，
由题意得3－a＝2×2，解得a＝－1.
6．若复数z＝3－4i的模为a，虚部为b，则a＋b等于(　　)
A．5＋4i B．5－4i
C．1 D．9
答案　C
解析　∵z＝3－4i，∴a＝|z|＝＝5，b＝－4，∴a＋b＝1.
7．已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z等于(　　)
A．2－2i B．2＋2i C．－2＋2i D．－2－2i
答案　A
解析　由b是方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)的实根可得b2＋(4＋i)b＋4＋ai＝0，
整理可得(b＋a)i＋(b2＋4b＋4)＝0，
所以
解得
所以z＝2－2i.
8．定义复数的一种运算z1*z2＝(等式右边为普通运算)，若复数z＝a＋bi，为z的共轭复数，且正实数a，b满足a＋b＝3，则z*的最小值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵z*＝＝＝＝.
又∵ab≤2＝，∴－ab≥－，
∴z*≥＝＝.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下面关于复数z＝的四个说法中，正确的有(　　)
A．|z|＝2 B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1
答案　BD
解析　∵z＝＝＝－1－i，
∴|z|＝，A不正确；
z2＝(－1－i)2＝2i，B正确；
z的共轭复数为－1＋i，C不正确；
z的虚部为－1，D正确．
10．已知i为虚数单位，复数z1＝a＋2i，z2＝2－i，且|z1|＝|z2|，则实数a的值为(　　)
A．0 B. 1 C．－1 D．2
答案　BC
解析　因为复数z1＝a＋2i，z2＝2－i，且|z1|＝|z2|，
所以a2＋4＝4＋1，解得a＝±1.
11．设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是(　　)
A．若|z1＋z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
答案　BC
解析　对于A，若|z1＋z2|＝0，则z1＋z2＝0，z1＝－z2，所以A项不正确；对于B，若z1＝2，则z1和z2互为共轭复数，所以1＝z2，故B项正确；对于C，设z1＝a1＋b1i，a1，b1∈R，z2＝a2＋b2i，a2，b2∈R，若|z1|＝|z2|，则＝，z1·1＝a＋b，z2·2＝a＋b，所以z1·1＝z2·2，故C项正确；对于D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|，而z＝1，z＝－1，所以D项不正确．
12．已知集合M＝{m|m＝in，n∈N*}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是(　　)
A．(1－i)(1＋i) B.
C. D．(1－i)2
答案　BC
解析　根据题意，M＝{m|m＝in，n∈N*}，
当n＝4k(k∈N*)时，in＝1；
当n＝4k＋1(k∈N*)时，in＝i；
当n＝4k＋2(k∈N*)时，in＝－1；
当n＝4k＋3(k∈N*)时，in＝－i，
∴M＝{－1,1，i，－i}．
选项A中，(1－i)(1＋i)＝2 M；
选项B中，＝＝－i∈M；
选项C中，＝＝i∈M；
选项D中，(1－i)2＝－2i M.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若复数z＝(a－2)＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数(其中i是虚数单位)，则a＝________，＝________.
答案　2　－i
解析　因为z＝(a－2)＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，
故故a＝2.
此时＝＝＝－i.
14．在复数集C内方程z2－4z＋5＝0的解集为_____________________．
答案　{2＋i,2－i}
解析　(z－2)2＝－1，
∴z－2＝i或z－2＝－i，
∴z＝2＋i或z＝2－i.
15．若复数z＝a＋i(a∈R)与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，则a＝________.
答案　±1
解析　＝a－i，因为复数z与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，所以a2＝1，所以a＝±1.
16．世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，|z|＝|OZ|，即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．在复平面内，复数z0＝3i(i是虚数单位)，其对应的点为Z0，Z为曲线|z|＝1上的动点，则Z0与Z之间的最小距离为________．
答案　2
解析　因为复数z0＝3i(i是虚数单位)，其对应的点为Z0，所以Z0＝(0,3)，曲线|z|＝1表示以原点为圆心，半径为1的圆，由圆的几何性质可知，Z0与Z之间的最小距离为－1＝3－1＝2.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)复平面内有O，A，B，C四点，点O为原点，点A对应的复数是3＋i，向量对应的复数是－2－4i，向量对应的复数是－4－i，求点B对应的复数．
解　∵对应的复数是2＋4i，
对应的复数是4＋i，＝－，
∴对应的复数为(4＋i)－(2＋4i)＝2－3i，
又＝＋，
∴对应的复数为(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i，
∴点B对应的复数为zB＝5－2i.
18．(12分)已知复数z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)当实数m取什么值时，复数z是：①实数；②纯虚数；
(2)当m＝0时，化简.
解　(1)①当m2－3m＋2＝0，即m＝1或m＝2时，复数z为实数．
②若z为纯虚数，则
解得
∴m＝－.
即m＝－时，复数z为纯虚数．
(2)当m＝0时，z＝－2＋2i，
＝＝＝－－i.
19．(12分)已知m∈R，复数z＝(m－2)＋(m2－9)i.
(1)若z对应的点在第一象限，求m的取值范围；
(2)若z的共轭复数与复数＋5i相等，求m的值．
解　(1)由题意得
解得m>3，
所以m的取值范围是{m|m>3}．
(2)因为z＝(m－2)＋(m2－9)i，
所以＝(m－2)＋(9－m2)i，
因为与复数＋5i相等，
所以
解得m＝－2.
20．(12分)已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根．
(1)求实数a，b的值；
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明．
解　(1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，
得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，∴
解得
(2)由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0.设另一个根为x2，由根与系数的关系，得－1＋i＋x2＝－2，
∴x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，
∴x2＝－1－i是方程的另一个根．
21．(12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由已知条件得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，
所以2ab＝2.
所以a＝b＝1或a＝b＝－1，
即z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i.
所以点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，
所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.
当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.
所以点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.
综上，△ABC的面积为1.
22．(12分)设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)设μ＝，求证：μ为纯虚数；
(3)在(2)的条件下求ω－μ2的最小值．
(1)解　∵z是虚数，
∴可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，
∴ω＝z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋
＝x＋＋i，
又ω为实数，∴ x2＋y2＝1 |z|＝1，
此时，ω＝2x －即z的实部的取值范围为.
(2)证明　μ＝＝＝
＝＝，
∵y≠0，
∴μ为纯虚数．
(3)解　ω－μ2＝2x－2，化简得
ω－μ2＝2(x＋1)＋－3
≥2－3＝1.
当且仅当x＋1＝，
即x＝0时等号成立，
即ω－μ2取得最小值1.