鲁教版（五四制）数学七年级下册 11.4一元一次不等式 教案

一元一次不等式
【课时安排】
2课时
【第一课时】
【教学目标】
一、教学知识点。
（一）知道什么是一元一次不等式？
（二）会解一元一次不等式。
二、能力训练要求。
（一）归纳一元一次不等式的定义。
（二）通过具体实例，归纳解一元一次不等式的基本步骤。
三、情感与价值观要求。
通过观察一元一次不等式的解法，对比解一元一次方程的步骤，让学生自己归纳解一元一次不等式的基本步骤。
【教学重点】
1．一元一次不等式的概念及判断。
2．会解一元一次不等式。
【教学难点】
当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变。
【教学方法】
自觉发现——归纳法。
教师通过具体实例让学生观察、归纳、独立发现解一元一次不等式的步骤。并针对常见错误进行指导，使他们在以后的解题中能引起注意，自觉改正错误。
【教学准备】
投影片两张。
【教学过程】
一、创设问题情境，引入新课。
［师］在前面我们学习了不等式的基本性质，不等式的解，不等式的解集，解不等式的内容。并且知道根据不等式的基本性质，可以把一些不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式。那么，什么样的不等式才可以运用不等式的基本性质而被化成“x＞a”或“x＜a”的形式呢？又需要哪些步骤呢？本节课我们将进行这方面的研究。
二、讲授新课。
（一）一元一次不等式的定义。
［师］大家已经学习过一元一次方程的定义，你们还记得吗？
［生］记得。
只含有一个未知数，未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程。
［师］很好。我们知道一元指的是一个未知数，一次指的是未知数的指数是一次，由此大家可以类推出一元一次不等式的定义，可以吗？
［生］只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫一元一次不等式。
［师］好。下面我们判断一下，以下的不等式是不是一元一次不等式。请大家讨论。
投影片。
下列不等式是一元一次不等式吗？
（1）6+3x＞30；
（2）x+17＜5x；
（3）x＞5；
（4）＞1。
［生］（1）、（2）、（3）中的不等式是一元一次不等式，（4）不是。
［师］（4）为什么不是呢？
［生］因为x在分母中，不是整式。
［师］好，从上面的讨论中，我们可以得出判断一元一次不等式的条件有三个，即未知数的个数，未知数的次数，且不等式的两边都是整式。请大家总结出一元一次不等式的定义。
［生］不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式，叫做一元一次不等式（linear inequality with one unknown）。
（二）一元一次不等式的解法。
［师］在前面我们接触过的不等式中，如6+3x＞30，x+17＜5x都可以通过不等式的基本性质化成“x＞a”或“x＜a”的形式，请大家来试一试。
［例1］解不等式3－x＜2x+6，并把它的解集表示在数轴上。
［分析］要化成“x＞a”或“x＜a”的形式，首先要把不等式两边的x或常数项转移到同一侧，变成“ax＞b”或“ax＜b”的形式，再根据不等式的基本性质求得。
［解］两边都加上x，得3－x+x＜2x+6+x，
合并同类项，得3＜3x+6，
两边都加上－6，得3－6＜3x+6－6，
合并同类项，得－3＜3x，
两边都除以3，得－1＜x，
即x＞－1。
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
［师］观察上面的步骤，大家可以看出，两边都加上x，就相当于把左边的－x改变符号后移到了右边，这种变形叫什么呢？
［生］叫移项。
［师］由此可知，移项法则在解不等式中同样适用，同理可知两边都加上－6，可以看作把6改变符号后从右边移到了左边。因此，可以把这两步合起来，通过移项求得。两边都除以3，就是把x的系数化成1。
现在请大家按刚才分析的过程重新写一次步骤。
［生］移项，得3－6＜2x+x，
合并同类项，得－3＜3x，
两边都除以3，得－1＜x，
即x＞－1。
［师］从刚才的步骤中，我们可以感觉到解一元一次不等式的过程和解一元一次方程的过程有什么关系？
［生］有相似之处。
［师］大家还记得解一元一次方程的步骤吗？
［生］记得。有去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化成1。
［师］下面大家仿照上面的步骤练习一下解一元一次不等式。
［例2］解不等式≥，并把它的解集在数轴上表示出来。
［生］解：去分母，得3(x－2)≥2(7－x)，
去括号，得3x－6≥14－2x，
移项，合并同类项，得5x≥20，
两边都除以5，得x≥4。
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
［师］这位同学做得很好。看来大家已经对解一元一次不等式的步骤掌握得很好了，请大家判断以下解法是否正确。若不正确，请改正。
投影片：
解不等式：≥5，
解：去分母，得－2x+1≥－15，
移项、合并同类项，得－2x≥－16，
两边同时除以－2，得x≥8。
［生］有两处错误。
第一，在去分母时，两边同时乘以－3，根据不等式的基本性质3，不等号的方向要改变，第二，在最后一步，两边同时除以－2时，不等号的方向也应改变。
［师］回答非常精彩。这也就是我们在解一元一次不等式时常犯的错误，希望大家要引起注意。
（三）解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系。
［师］请大家讨论后发表小组的意见。
［生］联系：两种解法的步骤相似。
区别：
1．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变；而方程两边乘以（或除以）同一个负数时，等号不变。
2．一元一次不等式有无限多个解，而一元一次方程只有一个解。
三、课堂练习。
解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1）5x＞－10；
（2）－3x+12≤0；
（3）＜；
（4）－1＜。
解：（1）两边同时除以5，得x＞－2。
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
（2）移项，得－3x≤－12，
两边都除以－3，得x≥4。
这个不等式的解集在数轴上表示为：
（3）去分母，得3(x－1)＜2(4x－5)，
去括号，得3x－3＜8x－10，
移项、合并同类项，得5x＞7，
两边都除以5，得x＞。
不等式的解集在数轴上表示为：
（4）去分母，得x+7－2＜3x+2，
移项、合并同类项，得2x＞3，
两边都除以2，得x＞。
不等式的解集在数轴上表示如下：
四、课时小结。
本节课学习了如下内容：
（一）一元一次不等式的定义。
（二）一元一次不等式的解法。
（三）解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系。
五、活动与探究。
求下列不等式的正整数解：
（1）－4x＞－12；（2）3x－9≤0。
解：1．解不等式－4x＞－12，得x＜3，
因为小于3的正整数有1，2两个，所以不等式－4x＞－12的正整数解是1，2。
2．解不等式3x－9≤0，得x≤3。
因为不大于3的正整数有1，2，3三个，所以不等式3x－9≤0的正整数解是1，2，3。
【作业布置】
习题。
【板书设计】
一元一次不等式（1）
一、（一）一元一次不等式的定义。
（二）一元一次不等式的解法。
例1
例2
判断题
（三）解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系。
二、课堂练习。
三、课时小结。
四、作业布置。
【第二课时】
【教学目标】
一、教学知识点。
能利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题。
二、能力训练要求。
通过学生独立思考，培养学生用数学知识解决实际问题的能力。
三、情感与价值观要求。
通过学生自主探索，培养学生学数学的好奇心与求知欲，使他们能积极参与数学学习活动，锻炼克服困难的意志，增强自信心。
【教学重点】
用数学知识去解决简单的实际问题。
【教学难点】
能结合具体问题发现并提出数学问题。
【教学方法】
在教师的引导下，学生探索的方法。
【教学过程】
一、提出问题，引入新课。
［师］上节课，我们学习了什么叫一元一次不等式，以及如何解一些简单的一元一次不等式，下面大家先回忆一下。
［生］不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤和解一元一次方程的一般步骤相似，大致有：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项、合并同类项；（4）系数化成1。
［师］很好。在解不等式的过程中，有需要注意的问题吗？
［生］有。在去分母和系数化成1这两步中，如果两边同时乘以或除以同一个负数，要注意改变不等号的方向。
［师］非常棒。下面我们做一个练习检查一下，看大家的动手能力如何。
（一）解不等式：(x+15)≥－(x－7)。
［生］解：去分母，得6(x+15）≥15－10(x－7)，
去括号，得6x+90≥15－10x+70，
移项、合并同类项，得16x≥－15，
两边同除以16，得x≥－。
［师］做得很好。请看第2题。
（二）判断下面解法的对错。
解不等式：－＜2。
解：去分母，得2(2x+1)－5x－1＜2，
去括号，得4x+2－5x－1＜2；
移项、合并同类项，得－x＜1；
两边都乘以－1，得x＞－1。
［师］请大家先独立思考、再互相讨论，指出上面的解法有无错误，若有请指出来。
［生］第一，在去分母时，分子应作为一个整体，应加括号，是(5x－1)，而非－5x－1，第二，整数2也应乘以公分母。
［师］这位同学的分析很精彩。请大家改正。
［生］解：去分母，得2(2x+1)－(5x－1)＜12；
去括号，得4x+2－5x+1＜12，
移项、合并同类项，得－x＜9，
两边都乘以－1，得x＞－9。
［师］刚才这位同学提出的改正方案也正是解此类不等式需要注意的问题，本节课我们要加以巩固。
二、新课讲授。
［做一做］
［师］这类题型我们掌握得已很好了，下面我们来学习有关不等式的应用题。
某种商品进价为200元，标价为300元出售，商场规定可以打折销售，但其利润不能少于5%。请你帮助售货员计算一下，这种商品做多可以按几折销售？
［师］解不等式应用题也和解方程应用题类似，我们先回忆一下列方程解应用题应如何进行。
［生］先审题，弄清题中的等量关系；设未知数，用未知数表示有关的代数式；列出方程，解方程；最后写出答案。
［师］好，同学们回答的非常棒！我们设这种商品最多可以x折销售，那么：
有，得x≥0.7，故这种商品做多可以打7折。你们做对了吗？
［例3］一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？
［例4］一辆客车从甲地开往乙地，出发10min后，一辆轿车也从甲地开往乙地，轿车的速度是120km/h，轿车出发30min内就超过了客车，则客车的速度小于多少？
练一练：小颖准备用21元钱买笔和笔记本。已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，她买了2本笔记本。请你帮她算一算，她还可以买几支笔？
［师］分析：总的题量有25题。答对一题得4分，答错或不答扣1分，最后得分在85分或85分以上，所以关系式应为：
4×答对题数－1×答错题数≥85，
请大家自己写步骤。
［生］解：设小明答对了x道题，则他答错和不答的共有（25－x）道题，根据题意，得
4x－1×(25－x)≥85。
解这个不等式，得x≥22。
所以，小明至少答对了22道题，他可能答对了22，23，24，25道题。
［师］大家依据列方程解应用题的过程，对照上面解不等式应用题的步骤，总结一下两者的不同，并给出解一元一次不等式应用题的一般步骤，请互相交流。
［生］第一步：审题，找不等关系；
第二步：设未知数，用未知数表示有关代数式；
第三步：列不等式；
第四步：解不等式；
第五步：根据实际情况写出答案。
［师］非常好。请大家按照刚才的步骤解答例4，练一练。
［生］例4解：设客车的速度是x km/h，依题意得：
解这个不等式得：
x＜90。
答：客车的速度小于90km/h。
练一练：解：设她还可以买n支笔，根据题意得3n+2.2×2≤21。
解这个不等式，得n≤，
因为在这一问题中n只能取正整数，
所以，小颖还可以买1支，2支，3支，4支或5支笔。
三、课堂练习。
（一）解：设至多可以打x折，根据题意，得：
所以至多可以打8.8折。
（二）解：设他还可以买x根火腿肠，根据题意，得：
2x+3×5≤26，
解这个不等式，得x≤5.5。
所以小明还可以买1根，2根，3根，4根或5根火腿肠。
四、课时小结。
根据前面我们做的练习和例题，我们来总结一下解一元一次不等式应用题的一般步骤。
（一）审题，找不等关系；
（二）设未知数；
（三）列不等关系；
（四）解不等式；
（五）根据实际情况，写出全部答案。
五、活动与探究。
x取什么值时，代数式2x－5的值：
（1）大于0？（2）不大于0？
解：（1）根据题意，得：
2x－5＞0，
解得x＞，
所以当x＞时，2x－5的值大于0。
（2）根据题意，得2x－5≤0，
解得x≤。
所以当x≤时，2x－5的值不大于0。
【作业布置】
教材习题。
【板书设计】
一元一次不等式（2）
一、做一做。
二、例3，例4，解不等式应用题。
三、课堂练习。
四、课时小结：
解一元一次不等式应用题的一般步骤。
五、作业布置。
10 / 10