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第一章 有 理 数
第6课时 绝对值（一）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 掌握绝对值的概念和表示方法.
2. 会计算有理数的绝对值.
3. 掌握绝对值的性质.
一个数的绝对值是指在_________上表示这个数的点与_________的距离.
知识重点
知识点一 绝对值的概念和表示方法
数轴
原点
对点范例
1. 计算：
0
6
8
7
2
一个正数的绝对值是___________，即：若︱a︱>0，则a=____；
一个负数的绝对值是___________，即：若︱a︱<0，则a=____；
0的绝对值是_________，即：若︱a︱=0,则a=_________.
知识重点
知识点二 绝对值的性质
它本身
a
它的相反数
-a
0
0
对点范例
2. 的绝对值是_________，绝对值是4的数是_________.
__
2
3
±4
典例精析
思路点拨：根据相反数和绝对值的定义解答.
【例1】化简：
解：-︱+2.5︱＝-2.5.
解：-︱-3.4︱＝-3.4.
解：+︱-4︱＝4.
解：︱-（-3）︱＝︱3︱＝3
举一反三
1.4
3.5
-8
-2
__
7
8
__
3
5
【例2】一只蚂蚁从某点P出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为(单位：cm)：+5，-4，+10，-8，-5，+12，-10. 若蚂蚁共用了9 min完成上面的路程，则蚂蚁每分钟走多少路程？
典例精析
思路点拨：首先求各数的绝对值的和，即求得爬行的总路程，又由蚂蚁共用了9 min完成上面的路程，即可求得答案.
解:︱+5︱+︱-4︱+︱+10︱+︱-8︱+︱-5︱+︱+12︱+︱-10︱
=5+4+10+8+5+12+10
=54(cm).
54÷9=6(cm). 答：蚂蚁每分钟走6 cm.
2. 某天一个巡警骑摩托车在一条南北走向的大道上巡逻，他从岗亭出发，巡逻一段时间后停留在A处，已知A处离岗亭13 km,规定以岗亭为原点，向北为正，这段时间行驶记录如下(单位：km)：+10，-9，+7，-15，+6，-14，+4，-2.若摩托车行驶10 km耗油0.5 L，且最后返回岗亭，这时摩托车共耗油多少升？
举一反三
解：︱+10︱+︱-9︱+︱+7︱+︱-15︱+︱+6︱+︱-14︱+
︱+4︱ +︱-2︱+︱-13︱
=10+9+7+15+6+14+4+2+13
=80(km).
0.5×(80÷10)=4(L). 答：这时摩托车共耗油4L.
【例3】当a=_____时，3-︱a︱取得最_____值，其值为_____.
思路点拨：根据绝对值的性质解答.
典例精析
0
大
3
3. 若有理数a，b满足：︱5-a︱+︱b-7︱＝0，求a+b的值.
举一反三
解：由︱5-a︱+︱b-7︱＝0，得a＝5，b＝7. 所以a+b＝12.
典例精析
【例4】已知︱x︱＝2，︱y︱＝3，求x，y的值.
思路点拨：根据绝对值的意义和性质可知x，y的值，绝对值具有非负性，绝对值等于一个正数的数有两个，且互为相反数.
解：因为︱x︱＝2，
所以x＝±2.
因为︱y︱＝3，
所以y＝±3.
举一反三
4. 已知︱x︱＝2，︱y-1︱＝5，求x，y的值.
解：因为︱x︱＝2，
所以x＝±2.
因为︱y-1︱＝5，
所以y-1＝-5或y-1＝5.
所以y＝-4或y=6.
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第一章 有 理 数
专题一 相反数、倒数、绝对值
一、有理数
1. 下列5个数：2，1.001 000 1， ，0，-π，有理数的个数是
( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
C
2. 把下列各数填在相应的括号里：
正数集合：{_________________________________…}；
负整数集合：{_________________________________…}；
分数集合：{___________________________________…}；
负数集合：{___________________________________…}.
-8，
二、相反数
3. -3的相反数是( )
A. -3 B. C. 3 D. ±3
4. 若x的相反数是它本身，则x＝_________.
5. 若m＋1与2互为相反数，则m的值为_________.
C
0
-3
C
D
C
三、倒数
6. 下列各组数中互为倒数的是( )
A. -1和1 B. 0和0
C. -4和-0.25 D. 和
7. 的倒数是( )
A． B． C． D．
8. 若a，b互为倒数，则2ab-5的值为( )
A. 1 B. 2 C. -3 D. -5
C
四、绝对值
9. 的绝对值是( )
A. -2 022 B.
C. D. 2 022
10. 的绝对值是( )
A． B．
C． D．
A
D
11.若︱2x-1︱=1-2x，则x的值不可能是( )
A. B. 0
C. -1 D. 5
12.已知︱x︱= ,︱y︱= ,且x＜y＜0,则x+y=_________．
13.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，
求 的值.
解：根据题意，得a+b=0，cd=1，x2=4.
原式=(x2)2+cdx2- =42+1×4-0=16+4=20.
所以，x4+cdx2- 的值为20.
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第一章 有 理 数
第15课时 有理数的除法（二）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 掌握有理数加、减、乘、除混合运算的法则及运算顺序.
2. 能够熟练进行有理数加、减、乘、除混合运算.
若两个数互为倒数，则这两个数的积等于_________；若两个数互为相反数，则这两个数的和为_________.
知识重点
知识点一 倒数、相反数的性质
1
0
1. 若a，b互为倒数，则ab=_________；
若m，n互为相反数，则m+n=_________.
对点范例
1
0
先_________，再_________，同级运算从_________往_________依次计算，如有括号，先算_________里面的.
知识重点
知识点二 有理数加、减、乘、除混合运算的法则
乘除
加减
左
右
括号
对点范例
2.
典例精析
【例1】若 互为相反数， 互为倒数， 的绝对值为2.
（1）直接写出 的值；
思路点拨：（1）根据互为相反数的两个数的和为0、互为倒数的两个数的积为1、绝对值的意义，即可解答；（2）分两种情况讨论解答.
举一反三
1. 已知：有理数 所表示的点与-1表示的点距离4个单位长度，
互为相反数，且都不为零， 互为倒数.
求 的值.
【例2】计算：
典例精析
思路点拨：（1）根据有理数混合运算法则先乘除，后加减，除以一个数等于乘以这个数的倒数，如有括号，先算括号里面的；（2）用乘法分配律可让运算更简便.
举一反三
2. 计算：
【例3】公司去年第一季度平均每月盈利1.6万元，第二季度平均每月盈利2.5万元，第三季度平均每月盈利2万元，第四季度平均每月亏损2.4万元.这个公司去年总的盈亏情况如何？
典例精析
思路点拨：把盈利记作正，亏损记作负，根据题意列式求出一年的盈利与亏损的和，进一步计算出结果.
解: 1.6×3+2.5×3+2×3+(-2.4)×3
=4.8+7.5+6-7.2
=11.1(万元).
答：这个公司去年共盈利11.1万元.
3. 某公司去年1～3月平均每月亏损1.5万元，4～6月平均每月盈利2万元，7～10月平均每月盈利1.7万元，11～12月平均每月亏损2.3万元，这个公司去年总的盈亏情况如何？
举一反三
解：盈利记为“+”，亏损记为“-”，根据题意，得
-1.5×3+2×3+1.7×4-2.3×2
＝-4.5+6+6.8-4.6
＝［（-4.5）+（-4.6）］+（6+6.8）
＝-9.1+12.8
＝3.7（万元）.
答：这个公司去年盈利3.7万元.
典例精析
【例4】阅读下列材料：
（1）上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_________是错误的. 请你选择合适的解法完成下面的计算：
一
思路点拨：根据有理数的运算顺序，先算括号里面的，然后将有理数的除法转化成有理数的乘法，可得答案. 注意没有除法分配律.
举一反三
4. 小华在课外书中看到下面这样一道题：
计算：
（1）前后两部分之间存在着什么关系？
解：前后两部分互为倒数.
（2）先计算哪部分比较简便？请计算比较简便的那部分；
（3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果；
因为前后两部分互为倒数，所以
（4）根据以上分析，求出原式的结果.
根据以上分析，可知
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第一章 有 理 数
第5课时 相反数
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 理解相反数的定义和概念.
2. 会求一个数的相反数.
3. 能根据相反数的概念进行符号的化简.
只有符号不同的两个数叫做互为_________.
知识重点
知识点一 相反数的定义和概念
相反数
1. 数轴上与原点距离是2的点有_________个，这些点表示的数是_________；与原点的距离是5的点有_________个, 这些点表示的数是_________.
对点范例
两
2和-2
两
5和-5
一般地，a和_________互为相反数. 特别地，0的相反数是_________.
知识重点
知识点二 求一个数的相反数
-a
0
对点范例
2. 的相反数是_________， 的相反数是_________.
__
1
2
-
__
1
5
-（-a）表示求-a的_________，结果是_________.
知识重点
知识点三 根据相反数的概念进行多重符号的化简
相反数
a
对点范例
3. 化简下列各数：
-1
5
__
1
3
1
典例精析
【例1】有理数 的相反数为_________.
思路点拨：直接利用只有符号不同的两个数叫做互为相反数，得出答案.
__
1
5
举一反三
1. 如图1-5-1，数轴上表示-2的相反数的点是（ ）
D
A.点M B.点N C.点P D.点Q
【例2】下列说法正确的个数是（ ）
①-3和+3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；
③互为相反数的两个数,必定一个是正数，一个是负数；④3.141 59的相反数是-3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等.
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 3个或更多
典例精析
B
思路点拨：直接利用互为相反数的定义分析得出答案.
2. 有下列说法：①带“+”号的数是正数，带“-”号的数是负数；②相反数等于本身的数只有0；③数轴上原点两旁的两个点所表示的数互为相反数；④在一个数的前面添上“-”号就得到这个数的相反数.其中正确的是（ ）
A. ①②③④ B. ②③④
C. ②④ D. ①③
举一反三
C
【例3】化简：
（1）+(-0.5)； （2）-(+10.1)；
典例精析
思路点拨：直接利用相反数的定义以及多重符号的化简法则得出答案.
解：原式= -0.5.
解：原式= -10.1.
（3）-(-20)； （4）
解：原式=20.
解：原式= .
__
2
3
-
3.化简：
举一反三
解：原式= -3.
解：原式= -5.
（3）-（-3.4）； （4）-［+（-8）］
解：原式= 3.4.
解：原式= 8.
（1）+(-3）； （2）-（+5）；
（5）-［-（-9）］．
解：原式= -9.
典例精析
【例4】写出下列各数的相反数，并把所有的数（包括相反数）在数轴上表示出来.
思路点拨：根据相反数的定义“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”写出各数的相反数，再画出数轴并在数轴上表示出各数即可.
解：4的相反数是-4； 的相反数是 ； 的相反数是 ；
+（-4.5）的相反数是4.5；0的相反数是0；-（+3）的相反数是3.
__
1
2
-
__
1
2
__
2
3
-
(
)
-
__
2
3
-
数轴表示如答图1-5-1.
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
+(-4.5)
-4
__
2
3
-
-(+3)
__
1
2
-
0
__
1
2
__
2
3
-
(
)
-
3
4
4.5
举一反三
4. 先写出下列各数，再把写出的数在数轴上表示出来.
（1）-3的相反数；
（2）0的相反数；
（3）相反数是 的数；
（4）相反数是-0.5的数.
解：（1）-3的相反数是3.
（2）0的相反数是0.
（3）相反数是 的数是 .
（4）相反数是-0.5的数是0.5.
__
1
2
2
__
1
2
-2
如答图1-5-2.
答图1-5-2
__
1
2
-2
0
0.5
3
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第一章 有 理 数
第13课时 有理数的乘法（二）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 正确理解乘法交换律、结合律和分配律，能用字母表示运算
律的内容.
2. 能运用运算律较熟练地进行乘法运算.
两个数相乘，交换因数的位置，积_________，即ab=_________.
知识重点
知识点一 乘法交换律
相等
ba
1. 5×(-4)=_________×5=_________.
对点范例
(-4)
-20
三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积_________，即（ab）c=a·_________.
知识重点
知识点二 乘法结合律
相等
(bc)
对点范例
2. 2022×(-8) ×(-0.125)=2022×［_________________］=_____________=_____________.
(-8)×(-0.125)
2022×1
2022
一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数_________，再把积_________，即a（b+c）=_________.
知识重点
知识点三 乘法分配律
相乘
相加
ab+ac
3.
对点范例
-9
-15
-24
典例精析
【例1】计算：
思路点拨：（1）运用乘法结合律可以使计算更加简便；
（2）运用乘法交换律可以使计算更加简便.
解：原式=- ×［1.25×(-8)］
=- ×(-10)＝ .
解：原式= × ×(-2.4)
= ×(-2.4)=-1.2.
举一反三
1. 计算：
-
-
-
-
-
【例2】在以下计算过程每一步后面填上这一步运用的运算律：
［(8×4)×125-5］×25
＝［(4×8)×125-5］×25(_____________)
＝［4×(8×125)-5］×25(_____________)
＝4000×25-5×25.(_____________)
思路点拨：根据运算律的特点即可解决.
典例精析
乘法交换律
乘法结合律
乘法分配律
举一反三
2. 计算：
-
-
-
-
-
-
-
典例精析
【例3】用简便方法计算：
-
-
-
-
-
思路点拨：灵活运用乘法运算律即可解决.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
3. 用简便方法计算：
举一反三
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
典例精析
【例4】【观察】1×49＝49，2×48＝96，3×47＝141，…，23×27＝621，24×26＝624，25×25＝625，26×24＝624，27×23＝621，…，47×3＝141，48×2＝96，49×1＝49.
【发现】根据你的阅读回答问题：
（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为_________；
（2）设上述各式子的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是_________.
【类比】观察下列两数的积：1×2021，2×2020，3×2019，4×2018，…，mn，…，2018×4，2019×3，2020×2，2021×1.
625
a+b=50
（3）猜想mn的最大值为___________.
1022121
思路点拨：（1）通过观察可知25×25时积是最大的；（2）通过观察可知，每个式子的两因数之和为50；（3）通过观察可知，m+n＝2022，故mn的最大值为 ，即1011×1011的值.
举一反三
4. 观察下列两个等式：2- =2× +1，5- =5× +1，给出定义如下:
我们称使等式a-b＝ab+1成立的一对有理数a，b为共生有理数对，记为（a，b）.
（1）通过计算判断数对(-2，1)， 是不是共生有理数对；
（2）若（6，a）是“共生有理数对”，求a的值；
（3）若（m，n）是共生有理数对，则(-n，-m)_______共生有理数
对（填“是”或“不是”），并说明理由.
是
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
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单元复习课
本章知识梳理
目录
01
课标要求
02
知识导航
1. 理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小．
2. 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道a的含义（这里a表示有理数）．
3. 理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）．
4. 理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算.
5. 能运用有理数的运算解决简单的问题．
课 标 要 求
有理数 的分类 按定义分 整数 正整数、零、负整数
分数 正分数、负分数
按符号分 正有理数 正整数、正分数
零
负有理数 负整数、负分数
相关名词 数轴 概念 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴
相反数 概念 只有符号不同的两个数叫做互为相反数
性质 若a，b互为相反数，则a+b=0
绝对值 几何定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作︱a︱
代数定义 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0
性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性
相关名词 倒数 概念 乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数
性质 若a，b互为倒数，则ab=1
乘方 概念 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在an中，a叫做底数，n叫做指数
性质 1.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数;
2.正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0
科学记数法 概念 把一个大于10的数表示成 a×10n的形式（其中1≤︱a︱<10， n是正整数），这种记数法是科学记数法
相关名词 法则 有理数的加法 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0；
3.一个数同0相加，仍得这个数
有理数的减法 减去一个数，等于加这个数的相反数.用字母表示为
a-b=a+(-b)
有理数的乘法 1．两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
2．任何数与0相乘，都得0；
3．几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；
4．几个数相乘，若其中有因数为0,则积等于0
相关名词 法则 有理数的除法 1．除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数;
2．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0
乘方的运算 符号法则 1．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数;
2．正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0
有理数的 混合运算 1．先乘方，再乘除，最后加减；
2．同级运算，从左到右进行；
3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行
相关名词 运算律 交换律 加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变,即a+b=b+a
乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等,即ab=ba
结合律 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变,即(a+b)+c=a+(b+c)
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等,即(ab)c=a(bc)
分配律 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加,即a(b+c)=ab+ac
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第一章 有 理 数
专题三 有理数的运算
一、基本运算
1. -1+︱-2︱的结果为( )
A. 3 B. 1 C. -1 D. -3
2. 若x=（-3)× ，则x的相反数是( )
A. B. C. -2 D. 2
B
B
3. 下列等式成立的是( )
A. 6÷（3×2）＝6÷3×2
B. 3÷ ＝3÷ -2
C.（-12÷3)×5＝-12÷3×5
D. 5-3×（-4）＝2×（-4）
C
4.-12022+16÷(-2)3×︱-3︱=_________.
5. 计算： 2-（-3)×4=_________．
6. -5×（-3×4+12）＝_________.
7.计算：-32+(-2)3×2=_________.
8. 计算：（-6）2× ＝_________．
-7
14
0
-25
6
9. 计算：
(1)(-1)3- ×[2-(-3)2]；
(2)-22+︱5-8︱+24÷(-3)× ；
(3)(-1)2021+-22+4- ×(-24).
二、运用有理数的运算解决问题
10. 如图D1-3-1，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB=2，BC=1，设点A，B，C所对应数的和是p.
(1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？
(2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p.
解：（1）若以B为原点，点A，C分别对应-2，1，p=-2+0+1=-1.
若以C为原点，点A对应-1-2=-3,点B对应-1,p=(-3)+(-1)+0=-4.
（2）由题意，得点C对应-28，点B对应-28-1=-29,点A对应-28-1-2=-31,所以p=(-31)+(-29)+(-28)=-88.
11. 小虫从点A出发在一直线上来回爬行,把向右爬行的路程记为正数,向左爬行的路程记为负数,爬行的各段路程依次为(单位:cm):+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10.
（1）小虫最后是否回到出发点A
（2）在爬行过程中,如果每爬行1cm奖励一粒芝麻,则小虫一共得到多少粒芝麻
解：(1)(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10)=27-27=0.
答：小虫最后回到出发点A.
(2)小虫爬行的总路程为︱+5︱+︱-3︱+︱+10︱+︱-8︱+︱-6︱+︱+12︱+︱-10︱=5+3+10+8+6+12+10=54(cm).
答：小虫一共得到54粒芝麻.
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第一章 有 理 数
第14课时 有理数的除法（一）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 掌握有理数除法法则.
2. 会运用有理数除法法则进行有理数的除法运算.
（1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的_________；
（2）两数相除，同号得_________，异号得_________，并把_________相除. 0除以任何一个不等于0的数，都得0.
知识重点
知识点一 有理数的除法法则
倒数
正
负
绝对值
1.（1）（-42）÷（-6）＝________；
（2）（-63）÷7＝________；
（3） 0÷（-2）＝________.
对点范例
7
-9
0
有理数的乘除混合运算法则：在进行有理数的乘除混合运算时，应先将除法转化为_________，再按从_________往_________的顺序计算.
知识重点
知识点二 有理数的乘除混合运算法则
乘法
左
右
对点范例
2. 计算：
-12
典例精析
【例1】计算：
思路点拨：根据有理数的除法法则计算即可.
解：原式=84÷7＝12.
解：原式=- ×
=- .
解：原式＝0.
举一反三
1.计算：
（3）0÷（-1000）．
解：原式＝- ×- ＝ .
解：原式= ×- =-2.
解：原式＝0.
典例精析
解：原式＝54÷（-9）
＝-6.
【例2】计算：
（1）（-378）÷（-7）÷（-9）；
（2）3÷-310÷112；
解：原式＝3× ×12
＝-10×12
＝-120.
思路点拨：（1）从左到右计算即可；（2）把除法转化成乘法，再进行约分即可；（3）先把小数转化成分数，再把除法转化成乘法，然后约分即可.
（3）(-0.75）÷（-3)÷ .
2. 计算:
举一反三
典例精析
【例3】计算：
思路点拨：（1）（2）中的除法转化为乘法，再依据乘法法则计算可得出答案.
3. 计算:
举一反三
典例精析
【例4】计算：
思路点拨：根据有理数的除法法则计算即可.
举一反三
4. 计算：
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第一章 有 理 数
第3课时 有理数
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 理解有理数的意义.
2. 掌握有理数的分类.
_________、_________、_________统称为整数；
_________、_________统称为分数；
_________和_________统称为有理数.
知识重点
知识点一 用正数和负数表示具有相反意义的量
正整数
0
负整数
正分数
负分数
整数
分数
1. -6，-3.14，-π， ，0.307，4，0.2这些数中，有理数有________个.
对点范例
6
知识重点
知识点二 有理数的分类
负分数
正整数
零
负整数
正分数
对点范例
2. 把下列各数填入相应的括号内：
-1，2 ，+5，-10%，0，-3.14，6.9，- ，-6.7.
正数集合：{________________________________________ …}；
负数集合：{________________________________________ …}；
整数集合：{________________________________________ …}；
分数集合：{________________________________________ …}；
__
1
3
2
，+5，6.9，
-1，-10%，-3.14，- ，-6.7,
__
1
2
-1，+5，0,
，-10%，-3.14，6.9，- ，-6.7,
__
1
3
2
__
1
2
典例精析
C
【例1】在- ，0，0.3三个数中，有理数有（ ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 0个
思路点拨：有理数就是整数与分数的统称，即整数、有限小数以及无限循环小数都是有理数，据此即可作出判断.
【例2】在 -6，-3.14，-π， ，0.307，4，0.2 这些数中，整数有_________.
思路点拨：根据整数的定义选出即可.
典例精析
-6，4
举一反三
1. 在-4， ，0，3.14159，1.3，0.1010010001…中，有理数有( )
A． 2个 B． 3个
C． 4个 D． 5个
D
举一反三
2. 在 -3.5，0，-π，1.6，-3，0.161 661 666…， 这些数中，分数有_________________.
·
-3.5，1.6，227
·
典例精析
D
【例3】下列说法正确的是（ ）
A. 一个有理数不是正数就是负数
B. 正整数与负整数统称为整数
C. 正分数、0、负分数统称为分数
D. 正整数与正分数统称为正有理数
思路点拨：根据有理数的分类及定义即可判定.
举一反三
3. 下面说法正确的是（ ）
A.有理数是正数和负数的统称
B.有理数是整数
C.整数一定是正数
D.有理数包括整数和分数
D
典例精析
【例4】把下列各数填入它所属的集合内：
0，5.2， ，-4， ，3，0.25555…，-0.030030003….
分数集合: {______________________________________…}；
非负整数集合: {__________________________________…}；
有理数集合: {____________________________________…}.
思路点拨：根据有理数的分类进行解答即可.
5.2， ， ，0.25555…，
__
19
7
-2
__
3
4
0，3，
0，5.2, ，-4， ，3，0.25555…，
__
19
7
-2
__
3
4
举一反三
4. 把下列各数填入相应的集合内：
-2.5，10，3.14，0，- ，- ，-20，+9.78，+58， ，-1.
整数集合: {______________________________________…}；
负数集合: {__________________________________…}；
正分数集合: {____________________________________…}.
非负数集合: {____________________________________…}.
10，0，-20，+58，-1，
-2.5， ， ，-20，-1，
__
22
7
-
__
12
13
-
3.14，+9.78， ，
__
22
7
10，3.14，0，+9.78，+58， ，
__
22
7
典例精析
【例5】把下面一组数填入图1-3-1中相应的位置，并填写公共部分的名称.
思路点拨：根据负数的定义、整数的定义、负整数的定义，可得答案.
-0.7，-10，+3.4，-109， ，85，0.4，26.
-0.7，
-4
__
1
3
-10，
-109，
85，26
负整数集合
举一反三
5.（1）如图1-3-2，下面两个圈分别表示负数集合和分数集合，请你把下列各数填入它所在的数集的圈里.
2021，-15%，-0.618， ，-9，- ，0，3.14，-72.
-9，-72，
7
__
1
2
，
3.14，
-15%，
-0.618，
-
__
2
3
，
（2）图中这两个圈的重叠部分表示什么数的集合？
这两个圈的重叠部分表示负分数集合.
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第一章 有 理 数
第8课时 有理数的加法（一）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 理解有理数加法法则.
2. 会利用法则正确地进行有理数的加法运算.
同号两数相加，取_________的符号，并把_________相加.
知识重点
知识点一 理解有理数加法法则1
相同
绝对值
1. 计算：
（1）（+3）+（+4）＝_________＝_________；
（2）（-3）+（-4）＝_________＝_________.
对点范例
+（3+4）
7
-（3+4）
-7
绝对值不相等的异号两数相加，取_____________的加数的符号，并用较大的绝对值_____________较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得_____________.
知识重点
知识点二 理解有理数加法法则2
绝对值较大
减去
0
对点范例
2. 计算：
（1）（+3）+（-4）＝_________＝_________；
（2）（-3）+（+4）＝_________＝_________；
（3）（-3）+（+3）＝_________.
-（4-3）
-1
+（4-3）
1
0
一个数同0相加，仍得_________.
知识重点
知识点三 理解有理数加法法则3
这个数
3. 计算：
（1）0+（-7.5）＝_________；
（2）0+5＝_________.
对点范例
-7.5
5
典例精析
【例1】计算：
（1）(-16)+(－8)； （2）(-12)+13.
思路点拨：（1）利用同号两数相加的法则计算；（2）利用异号两数相加的法则计算.
解：原式= -(16+8)
= -24.
解：原式= +(13-12)
= 1.
举一反三
1. 计算：
（1）（+8）+（-17）； （2）（-17）+（-15）；
（3）（-32.8）+（+51.76）； （4）（-3.07）+（+3.07）.
解：原式＝-（17-8）
＝-9.
解：原式＝-（17+15）
＝-32.
解：原式＝+(51.76-32.8)
＝18.96.
解：原式＝0.
【例2】下列说法正确的是（ ）
A. 两个负数的和一定是负数
B. 绝对值相等的两个数的和等于零
C. 若两个有理数相加的和为负数，则这两个有理数一定都是负数
D. 若两个有理数相加的和为正数，则这两个有理数一定都是正数
典例精析
思路点拨：根据有理数的加法法则逐一分析判断.
A
2. 下列结论正确的有（ ）
①两个有理数相加，和一定大于每一个加数；
②一个正数与一个负数相加得正数；
③两个负数的和的绝对值一定等于它们的绝对值的和；
④两个正数相加，和为正数；
⑤两个负数相加，等于它们的绝对值相减；
⑥正数加负数，其和一定等于0.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
举一反三
C
【例3】若︱y－3︱＋︱2x－4︱＝0，则y+3x=________.
思路点拨：根据绝对值的性质结合有理数的加法法则解答.
典例精析
9
3. 若x的相反数是3，︱y︱=5，则x+y的值为_________.
举一反三
2或-8
典例精析
【例4】如图1-8-1，康康将-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，其中a，b，c分别代表其中的一个数.
（1）求a，b，c的值各为多少；
解：（1）中间竖列的三个数的和为5+1+（-3）＝3，
因为每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，
所以第一横行三个数的和为3.
所以a＝3-5-0＝-2.
同理可得b＝3-3-1＝-1，c＝3-（-3）-4＝2.
答：a＝-2，b＝-1，c＝2.
（2）在（1）中，九个数的总和为多少？位于正方形表格最中间格子的数是多少？它们之间有怎样的数量关系？
因为每列上的三个数之和相等，
中间竖列的三个数的和为3，且共有三个竖列，
所以九个数的总和为3×3＝9.
观察表格中间的数是1，
所以九个数的总和是表格中间的数的9倍.
（3）利用上面你发现的规律，将3，5，-7，1，7，-3，9，-5，-1这九个数分别填入如图1-8-2所示的九个方格中，使得横行、竖列、对角线上的三个数的和都相等.
思路点拨：（1）根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，先求出中间一竖列的和为3，再分别以每一横行的和为3，依次求a，b，c的值；
（2）每一竖列的和为3，九个数的总和为3×3，观察表格中间的数字为1，可从倍数上回答数量关系；
（3）九方格题目先将数字按从小到大的顺序填入方格后，将对角数字交换位置，再顺时针旋转一格即可.
3
-1
9
-5
-3
1
5
7
-7
举一反三
4. 在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方.
（1）在图1-8-3①中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶
幻方；
图1-8-3
解：（1）2+3+4＝9， 9-6-4＝-1，
9-6-2＝1， 9-2-7＝0，
9-4-0＝5，
0
1
-1
5
（2）如图1-8-3②的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方.
图1-8-3
(-3+1+x)-(4+x)＝-6，
(-6+1+y）-(-3+y)＝-2，
-2+1+4＝3，
如图
x＝3-4-（-6）＝5，
y＝3-1-（-6）＝8，
x+y＝5+8＝13.
-6
-2
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第一章 有 理 数
第9课时 正数和负数（二）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 理解并掌握有理数加法的交换律和结合律.
2. 能运用交换律和结合律化简有理数的加法运算.
3. 能运用运算律解决简单的实际问题.
加法交换律：两个有理数相加，交换加数的位置，和_________，即a＋b＝_________.
知识重点
知识点一 有理数的加法交换律
不变
b+a
1. 在横线上填空并写出运算的依据.
解：（-6）+（-15）+（+6）
＝（-6）+（_____）+（-15）……（____________）（填运算律）
＝0+（-15）
＝-15.
对点范例
+6
加法交换律
加法结合律：三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和________，即(a＋b)＋c＝_________.
知识重点
知识点二 有理数的加法结合律
不变
a+(b+c)
对点范例
2. 计算 5+（-3）＋7+（-9）＋12＝（5＋7＋12）＋［（-3）+
（-9）］时运用了（ ）
A.加法交换律
B.加法结合律
C.加法交换律与加法结合律
C
加法简便运算技巧：
①相消:_________________；
②凑整:_________________；
③归类:_________________.
知识重点
知识点三 运用有理数的运算律简便计算
相反数相结合
同分母相结合
同号相结合
3. 计算：（-2）＋7+ ＋1＋（-3）＋2＋（-4）+ = _____.
对点范例
2
典例精析
【例1】计算：
思路点拨：先用加法交换律，将能加成整数的加数放在一起，再用加法结合律，最后求出算式的值.
解：原式=［(-3.14)+(+2.14)］+
［(+4.96)+(-7.96)］
=-1+(-3）
=-4.
（1）(-3.14)+(+4.96)+(+2.14)+(-7.96)；
（2）43+(-77)+37+(-23).
解:原式=(43+37)+[(-77)+(-23)]
=80+(-100)
=-20.
举一反三
1. 计算：
（1）（-52）+24+（-74）+12；
解：原式＝（-52+12）+（24-74）
＝（-40）+（-50）
＝-90.
（2）
解：原式＝( - )+(- + )
＝- +
＝- .
__
1
3
__
2
3
__
1
2
__
3
4
__
1
3
__
1
4
__
1
12
典例精析
【例2】计算：
（1）
解：原式＝[(-3 )+(-6 )]+15.5+(-5 )]
＝-10+10
＝0.
__
5
7
__
2
7
__
1
2
思路点拨：先用加法交换律，将同分母的加数放在一起，再用加法结合律，最后求出算式的值.
（2）
解：原式＝(- + )+( + )+1
＝- + +1
＝ .
__
3
8
__
1
8
__
3
4
__
3
4
__
1
4
__
6
4
__
9
4
2. 计算：
（1）(＋5.5)+(-3.2)+(＋2.5)＋(-4.8)；
举一反三
解：原式＝［(＋5.5)+(＋2.5)］＋［(-3.2)+(-4.8)］
＝8+(-8)
＝0.
（2）
解：原式＝［ +(-0.25)］＋［(-2 )+(-5 )］
＝0+(-8)
＝-8.
__
1
4
__
1
3
__
2
3
【例3】为了有效控制酒后驾车，某市城管的汽车在一条东西方向的公路上巡逻，如果规定向东为正，向西为负，从出发点开始所走的路程(单位：km)为+2，-3，+2，+1，-2，-1，-2.
（1）此时这辆汽车的司机如何向队长描述他现在的位置？
典例精析
解：（+2）+（-3）+（+2）+（+1）+（-2）+（-1）+（-2）=-3(km).
答:这辆汽车的司机向队长描述他的位置为出发点以西3km.
思路点拨：（1）求城管的汽车距出发点多远，即是求7个数据的代数和的绝对值是多少；（2）要求共耗油多少千克，就是求汽车行驶的路程×每千米耗油量.
（2）如果队长命令他马上返回出发点，这次巡逻(含返回)汽车共耗油多少升？(已知每行驶1km耗油0.2L)
0.2×(︱+2︱+︱-3︱+︱+2︱+︱+1︱+︱-2︱+︱-1︱+︱-2︱+︱-3︱)=0.2×16=3.2(L).
答:这次巡逻(含返回)汽车共耗油3.2 L.
举一反三
解：因为（+5）+（-3）+（-6）+（+8）+（-6）+（+12）+（-10）=0，所以小明最后回到出发点.
3. 小明在一条笔直的公路上进行跑步训练，可以用如图1-9-1所示的一条直线来刻画他在公路上跑步的情境. 假定向右跑步的路程记为正数，向左跑步的路程记为负数，则所跑步的各段路程依次记为+5，-3，-6，+8，-6，+12，-10. （单位：百米）
（1）小明最后是否回到出发点？
（2）小明在跑步过程中距离出发点最远是多少米？
（3）在跑步过程中，如果小明每跑1 km会消耗约60卡热量，那么小明此次训练一共会消耗多少卡热量？
（2）小明在跑步过程中距离出发点最远是1000 m.
（3）︱+5︱+︱-3︱+︱-6︱+︱+8︱+︱-6︱+︱+12︱+︱-10︱
＝50(百米)=5 km，
60×5＝300（卡）.
典例精析
【例4】王先生到市政务中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作+1，向下一楼记作-1，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下(单位：层)：+6，-3，+10，-8，+12，-7，-10.
（1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼.
解：(+6)+(-3)+(+10)+(-8)+(+12)+(-7)+(-10)
=6+10+12+[-3+(-8）+(-7）+(-10）]
=28+(-28）
=0.
答：王先生最后回到出发点1楼.
（2）该中心大楼每层高3m，电梯每向上或下1 m需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算算，在他办事的过程中，电梯需要耗电多少度？
思路点拨：（1）求是否回到出发点即求7个数据的代数和是否为0；（2）要求需要耗电多少度，就是求共经过的楼层的高度×每米耗电量.
解：3×(︱+6︱+︱-3︱+︱+10︱+︱-8︱+︱+12︱+︱-7︱+︱-10︱)
＝3×(6+3+10+8+12+7+10)
＝3×56
＝168(m).
168×0.2＝33.6(度).
答：在他办事的过程中，电梯需要耗电33.6度.
举一反三
4. 阅读第（1）小题的计算方法，再计算第(2)小题．
（1）
解：原式＝[（-5）+(- )]+[（-9）+(- )]+17+ +[-3+(- )]
＝[（-5）+（-9）+（-3）+17]+[- +(- )+(- )+ ]
＝0+(-1 )
＝-1 .
__
2
3
__
5
6
__
3
4
__
1
2
__
5
6
__
2
3
__
1
2
__
3
4
__
1
4
__
1
4
上述这种方法叫做拆项法．灵活运用加法交换律和加法结合律可使运算简便．
（2）仿照(1)的方法计算：
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第一章 有 理 数
第17课时 乘方（二）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 了解有理数混合运算的意义，掌握有理数的混合运算法
则及运算顺序.
2. 能够熟练地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的运算，
并在运算过程中合理使用运算律.
（1）先_________，再_________，最后_________；
（2）同级运算，从_________到_________进行；
（3）如有括号，先做_________内的运算，按_________括号、_________括号、_________括号依次进行.
知识重点
知识点一 有理数的混合运算顺序
乘方
乘除
加减
左
右
括号
小
中
大
对点范例
1. 计算：
（1）-13-3×(-2)2=_________；
（2）(-24)÷(-2)× =_________；
（3）-1-［1-(1-0.5×4)］2=_________.
-13
-10
-5
典例精析
【例1】计算：
思路点拨：按先算乘方，再算乘除，最后算加法即可求解.
1. 对于计算-24＋18×(-3)÷(-2)，下列运算步骤错误的是( )
举一反三
C
典例精析
【例2】计算：
思路点拨：先算乘方与括号内的运算，再算乘除，最后算加减即可.
举一反三
2. 计算：
【例3】现规定一种新运算△，满足x△y=x2-y，例如3△2=32-2=7.
（1）求4△(-3)的值；
（2）求(-1△2)△(-2)的值.
典例精析
解:（1）因为x△y=x2-y，
所以4△(-3)=42-(-3)=16+3=19.
（2）因为x△y=x2-y，所以(-1)△2=(-1)2-2=-1.
所以(-1△2)△(-2)
=(-1)△(-2)=(-1)2-(-2)=1+2=3.
思路点拨：利用题中的新定义列出算式计算即可求出值.
3. 规定一种新的运算a*b=ab+a+b+1，求[2*(-3)]*4的值.
举一反三
解：根据题意,得2*(-3)=-6+2-3+1=-6.
则[2*(-3)]*4=(-6)*4=-24-6+4+1=-25.
典例精析
【例4】（1）计算下面两组算式：
①（3×5）2与32×52；
②［（-2)×3］2与（-2）2×32；
解：①（3×5）2＝225；32×52＝9×25＝225.
②［（-2)×3］2＝36；（-2）2×32＝4×9＝36.
（2）根据以上计算结果猜想：（ab）3等于什么？（直接写出结果）
猜想（ab）3＝a3b3.
（3）猜想与验证：当n为正整数时，（ab）n等于什么？请你利用乘方的意义说明理由.
当n为正整数时，（ab）n＝anbn.
理由如下：当n为正整数时，
即当n为正整数时，（ab）n＝anbn.
(ab)n
anbn
（4）利用上述结论，求（-4）2020×0.252021的值.
思路点拨：（1）根据题意计算出结果即可.
（2）根据（1）的计算结果写出猜想即可.
（3）当n为正整数时，写出猜想的结果，然后根据乘方的意义说明理由即可.
（4）利用（3）的结论计算出值即可.
（-4）2020×0.252021
=（-4）2020×0.252020×0.25
=（-4×0.25）2020×0.25
＝0.25.
4. 你能比较20202021和20212020的大小吗？
（1）通过计算，比较下列各数的大小：12与21,23与32, 34与43,45与54,56与65；
解：12＝1，21＝2，因为1＜2，所以12＜21；23＝8，32＝9，因为8＜9，所以23＜32；
34＝81，43＝64，因为81＞64，所以34＞43；
45＝1024，54＝625，因为1024＞625，所以45＞54；56＝15625，65＝7776，因为15625＞7776，
所以56＞65.
（2）根据(1)的结果归纳，可以猜想出nn+1和（n+1）n(其中n为正整数)的大小关系是_________________________________
_____________________________；
（3）根据上面的猜想得到的结论，试比较两数大小:
20202021_________20212020．
当n＞2时， nn+1＞（n+1）n
当n≤2时， nn+1＜（n+1）n；
＞
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第一章 有 理 数
第1课时 正数和负数（一）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 理解正数和负数的概念.
2. 会判断一个数是正数还是负数.
3. 理解0所表示的意义.
我们知道，像3，1.8%，3.5这样大于0的数叫做_________.
知识重点
知识点一 正数的概念
正数
1. 在-4，-2，0，1，3，4这六个数中，正数有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
对点范例
C
像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做_________.
知识重点
知识点二 负数的概念
负数
对点范例
2. 在数+6，-21，54，0， ，-3.14，0.01，-200中，属于正数的是_____________________，属于负数的是_____________________．
+6，54， ，0.01
__
22
7
-21，-3.14，-200
0既不是_________，也不是_________，但_________是正数和负数的分界数.
知识重点
知识点三 0的意义
正数
负数
0
3. 若零上8℃记作+8℃，则零下5℃记作_________.
对点范例
-5℃
典例精析
【例1】在12，0，1，-9这四个数中，属于负数的是( )
A.12 B.0 C.1 D.-9
思路点拨：根据负数的定义，在正数前面加符号“-”（负）的数是负数判断即可.
D
举一反三
1. 有以下四组数:①-3，2.3， ；② ，0， ；③ ，0.3，7；④ ， ，2，三个数都不是负数的组是( )
A.①② B.②④
C.③④ D.②③④
D
【例2】下列说法正确的是( )
A. 不是正数的数一定是负数
B. 0既是正数又是负数
C. 不是负数的数一定是正数
D. 0既不是正数，也不是负数
思路点拨：根据正数和负数的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案.
典例精析
D
2. 在-1，0，1，2这四个数中，既不是正数，也不是负数的是( )
A．-1 B. 0
C. 1 D. 2
举一反三
B
【例3】指出下列各数中哪些数是正数，哪些数是负数.
思路点拨：根据正数、负数的概念即可判断.
典例精析
20%.
正数：+20， ，20%；
负数：-6.1，-5，- .
__
7
2
__
3
2
3. 把下列各数分别填在相应的大括号里:
-13.5，2，0，0.128，-2.236，3.14，+27，-15%，-1，26．
正数集合: {_____________________________…}；
负数集合: {_____________________________…}.
举一反三
2，0.128，3.14，+27，26，
-13.5，-2.236，-15%，-1，
典例精析
9
-10
11
【例4】（1）按规律填空：1，-2，3，-4，5，-6，7，-8，_______，_______，_______，…；
（2）观察下面一列数：-1，2，-3，4，-5，6，-7，…将这列数排成下列形式：
思路点拨：找出数的规律和正、负号的变化规律即可解决.
按照上述规律排下去，那么第9行最后一个数是_________.
-81
举一反三
11
13
-64
__
1
5
-
4. （1）按规律填空：
①3，5，7，9，_______，_______；
②1，-4，9，-16，25，-36，49，_______；
（2）观察下面一列数，根据规律写出横线上的数，
第2021个数是_________.
_______ _______
，
，
…；
__
1
6
____
1
2021
-
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第一章 有 理 数
专题二 数轴、有理数的大小比较、
科学记数法、近似数
一、数轴
1. 如图D1-2-1，数轴上A,B两点表示的数互为相反数，则点B表示的数是( )
A. -6 B. 6
C. 0 D. 无法确定
B
2．如图D1-2-2，点A所表示的数的绝对值是( )
A． 3 B． -3
C． D．
A
2．若有理数a，b在数轴上的位置如图D1-2-3所示，则下列各式中一定成立的是( )
A
A.-a＞b B.a+b＞0
C.a-b＞a+b D.-︱a+b︱＞a+b
C
4．如图D1-2-4，数轴的单位长度为1，有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是( )
A．-2 B．0 C．1 D．4
5．在数轴上，点A，B的位置如图D1-2-5所示，点C是点B关于点A的对称点，则点C表示的数为_________．
-6
6. 把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”把各数连接起来.
解：如答图D1-2-1.
答图D1-2-1
7. 如图D1-2-6是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出下列各数所代表的点，将对应字母标在数轴上方的相应位置.
点A： ；点B：0.25；点C： ；点D：300%.
略
二、有理数的大小比较
8. 下列四个数中，最大的是( )
A.0 B.1 C.︱-2︱ D.-5
C
9. 在有理数1，-1.3，-2.5，-︱-1.2︱中，最小的是( )
A. 1 B. -1.3 C. -2.5 D. -︱-1.2︱
C
10. 如图D1-2-7，数a在原点的左边，则a，-a，0的大小关系正确的是( )
B
A. -a＜0＜a B. a＜0＜-a
C. -a＜a＜0 D. a＜-a＜0
11. 下列说法正确的是( )
A. 若两个数的绝对值相等，则这两个数必相等
B. 若两个数不相等，则这两个数的绝对值一定不相等
C. 若两个数相等，则这两个数的绝对值相等
D. 两个数比较大小，绝对值大的数大
C
三、科学记数法
12. 袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，他带领的团队经过多年艰苦努力，目前为止我国杂交水稻种植面积达2.4亿亩，每年增加的粮食可以养活80 000 000人，将80 000 000这个数用科学计数法可表示为8×10n，则n的值是( )
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
B
13. 中国华为麒麟985处理器是采用7nm制程工艺的手机芯片，相当于在指甲盖大小的尺寸上塞进了120亿个晶体管，将120亿用科学记数法表示为( )
A. 1.2×109 B. 12×109
C. 1.2×1010 D. 1.2×1011
14. 数字6100000用科学记数法表示是___________.
C
6.1×106
四、近似数
15. 用四舍五入法将130 542精确到千位，其结果为_______________.
131000
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第一章 有 理 数
第2课时 正数和负数（二）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 进一步理解正数、负数的概念.
2. 会用正数和负数表示具有相反意义的量.
3. 进一步体验正数和负数在生产生活中的广泛应用.
_________和_________可以用来表示具有相反意义的量.
知识重点
知识点一 用正数和负数表示具有相反意义的量
正数
负数
1. 如果收入15元记作+15元，那么支出30元记作_________元.
2. 如果电梯上升3层记作+3层，那么-6层表示_________.
对点范例
-30
下降6层
典例精析
【例1】用正数和负数表示下列具有相反意义的量.
（1）温度上升3℃和温度下降5℃；
（2）盈利5万元和亏损3万元；
（3）上升4m和下降6m.
思路点拨：在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.
解:（1）温度上升3℃记作+3℃，温度下降5℃记作-5℃.
（2）盈利5万元记作+5万元，亏损3万元记作-3万元.
（3）上升4m记作+4m，下降6m记作-6m.
举一反三
1. 用正数和负数表示下列具有相反意义的量.
（1）水位升高2 m和水位下降2 m；
（2）向东走10 m和向西走15 m；
（3）增长9%和下降2.24%.
解：（1）水位升高2m时水位变化记作+2m，水位下降2m时水位
变化记作-2m.
（2）向东走10m记作+10m，向西走15m记作-15m.
（3）增长9%记作+9%，下降2.24%记作-2.24%.
【例2】规定：(→2)表示向右移动2个单位长度，记作+2，则(←3)表示向左移动3个单位长度，记作（ ）
A.+3 B.-3
C. D.
思路点拨：根据相反意义的量可以用正、负数来表示，由题意，向右为正，则向左为负 ，据此解答即可.
典例精析
B
2.小明在农业银行存入500元，记作+500元，那么-300元所表示的意思是_____________．
举一反三
取出300元
【例3】如下表是今年某水库一周内的水位变化情况（“+”表示水位比前一天上升，“-”表示水位比前一天下降），该水库的警戒水位是34 m（上周星期日的水位刚好达到警戒水位）.
典例精析
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化/m +0.22 +0.81 -0.36 +0.03 +0.29 -0.35 -0.01
（1）本周哪一天水库的水位最高？哪一天水库的水位最低？分别是多少？
解：星期一水位：34+0.22＝34.22（m）；
星期二水位：34.22+0.81＝35.03（m）；
星期三水位：35.03-0.36＝34.67（m）；
星期四水位：34.67+0.03＝34.7（m）；
星期五水位：34.7+0.29＝34.99（m）；
星期六水位：34.99-0.35＝34.64（m）；
星期日水位：34.64-0.01＝34.63（m）.
答：星期二的水位最高，是35.03 m；星期一的水位最低，是34.22 m.
（2）与上周星期日相比，本周星期日水库的水位是上升了还是下降了？变化了多少米？
解：本周星期日与上周星期日相比，水位上升了34.63-34＝0.63（m）.
答：与上周星期日相比，本周星期日水库的水位上升了，上升了0.63 m.
思路点拨：根据正数和负数的概念，理解数据变化情况是得出正确答案的前提. （1）求出每一天的水位值，即可得出答案；（2）求出本周星期日的水位值，然后进行判断即可.
3. 2020年，全球受到新冠疫情的严重影响，我国在这场没有硝烟的战场上取得了阶段性胜利. 为做好防护工作，某校七年级6个班计划各采购400只应急口罩. 若某班采购到450只，就记作+50；采购到380只，就记作-20. 各班的采购情况如下：
举一反三
班级 1班 2班 3班 4班 5班 6班
差值/只 +50 -100 +100 +50 +20 -30
（1）采购量最多的班比采购量最少的班多多少只？
解：1班采购量：400+50＝450（只）；
2班采购量：400-100＝300（只）；
3班采购量：400+100＝500（只）；
4班采购量：400+50＝450（只）；
5班采购量：400+20＝420（只）；
6班采购量：400-30＝370（只）.
500-300＝200（只）.
答：采购量最多的班比采购量最少的班多200只.
（2）这6个班共采购应急口罩多少只？
解：450+300+500+450+420+370＝2490（只）.
答：这6个班共采购应急口罩2490只.
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第一章 有 理 数
第18课时 科学计数法
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 理解科学记数法的意义.
2. 学会用科学记数法表示较大的数.
一般地，把一个大于10的数表示成a×10n的形式，其中1≤︱a︱＜10，n是正整数，这种记数方法叫做_____________.
知识重点
知识点一 科学记数法的概念
科学记数法
1. 将27600用科学记数法表示为___________.
对点范例
2.76×104
用科学记数法表示数时要特别注意：
（1）a的取值范围是_____________；
（2）n的值是__________________________.
知识重点
知识点二 会用科学记数法表示较大的数
1≤︱a︱<10
比原数的整数位数少1的数
对点范例
2. 将26000用科学记数法表示为2.6×10n，则n的值为_______.
4
典例精析
【例1】把下列各数用科学记数法表示：
（1）6960000=_______________；
（2）5.7亿=_______________；
（3）-10000=_______________；
（4）-12030000=_______________.
思路点拨：把一个数M记成a×10n（1≤︱a︱＜10，n为正整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法. 小数点向左移动多少位n就是多少.
6.96×106
5.7×108
-1×104
-1.203×107
举一反三
1. 用科学记数法表示下列各数：
（1）100； （2）1550；
（3）4.6万； （4）-2340000．
解：100＝1×102.
解:1550＝1.55×103.
解:4.6万＝4.6×104.
解:-2340000＝-2.34×106．
【例2】将下列用科学记数法表示的数还原：
（1）5.42×104=____________；
（2）-5.513×105=____________；
（3）1.6×107=____________.
思路点拨：把一个记成a×10n（1≤︱a︱＜10，n为正整数）的形式的数还原成一般形式，n是多少小数点就向右移动多少位.
典例精析
54200
-551300
16000000
2. 将下列用科学记数法表示的数还原：
（1）2.45×105=_____________；
（2）-8.73×106=_____________；
（3）3.7×109=_____________.
举一反三
245000
-8730000
3700000000
【例3】新冠病毒肆虐全球，截止至2020年9月14日，全球约有29200000人感染新冠病毒，将29200000用科学记数法可表示为( )
A. 292×105 B. 29.2×106
C. 2.92×107 D. 0.292×108
思路点拨：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤︱a︱＜10，n为正整数. 确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同.
典例精析
C
3. 小红同学在“百度”搜索输入“2020年中国好声音”节目后，搜索到相关结果约为229300000个，这个数用科记数法表示为( )
A. 2.293×107 B. 2.293×106
C. 0.229 3×105 D. 2.293×108
举一反三
D
典例精析
【例4】卫星绕地球的运动速度（第一宇宙速度）每秒为7.9×103 m，一天大约是8.6×104 s，求卫星绕地球运行一天后所经过的路程（用科学记数法表示）.
思路点拨：用科学记数法表示较大的数，先要读懂题目信息，正确列出算式，然后灵活运用乘法运算法则求出答案.
解：卫星绕地球运行一天后所经过的路程为7.9×103×8.6×104＝7.9×8.6×107＝6.794×108（m）.
答：卫星绕地球运行一天后所经过的路程为6.794×108 m.
举一反三
4. 向月球发射无线电波，电波从地面达到月球再返回地面，共需2.57 s，已知无线电波的速度为3×105 km/s，求月球和地球之间的距离.
解：无线电波从地面达到月球所需时间为t=2.57× =1.285 s，
月球和地球之间的距离为s＝vt＝3×105×1.285＝3.855×105(km).
答：月球和地球之间的距离为3.855×105 km.
典例精析
【例4】我们平常用的数是十进制，如1234＝1×103+2×102+3×101+
4×1，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9. 在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如：二进制中，101＝1×22+0×21+1等于十进制的数5；10111＝1×24+0×23+1×
22+1×21+1等于十进制的数23. 那么二进制中的1011 101等于十进制中的哪个数？
思路点拨：认真观察已知给出的两个式子：101＝1×22+0×21+1等于十进制的数5；10111＝1×24+0×23+1×22+1×21+1等于十进制的数23，得出二进制数化十进制数的方法，再计算1011101等于十进制中的哪个数即可.
解： 1011101
＝1×26+0×25+1×24+1×23+1×22+0×21+1
＝64+0+16+8+4+0+1
＝93.
答：二进制中的1011101等于十进制中的数93.
举一反三
5. 我们常用的数是十进制，如3245＝3×103+2×102+4×101+
5×100，十进制数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9. 而在电子计算机中用的是二进制，只要2个数码：0和1，如二进制110＝1×22+1×21+0×20，相当于十进制数中的6，110101＝1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20，相当于十进制数中的53. 那么二进制中的101011等于十进制中的哪个数？（提示：非零有理数的零次幂都为1）
解： 101011
＝1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20
＝32+0+8+0+2+1
＝43.
答：二进制中的101011等于十进制中的数43.
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第一章 有 理 数
第1课时 正数和负数（一）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 理解加减法统一成加法的意义.
2. 能熟练地进行有理数加减法的混合运算.
根据“减去一个数，等于加上这个数的相反数”，有理数的加减运算可以统一为_________运算.
知识重点
知识点一 有理数的加减法统一成加法
加法
1. 把下面加减混合运算的式子改成只含加法的式子，再进行计算.
10+（+8）-（-6）-（+4）
＝_________________________
＝_________.
对点范例
10+（+8）+（+6）+（-4）
20
将加减混合运算统一成加法后，写成省略_________和_________的和的形式.
知识重点
知识点二 省略加号和括号的和的形式
加号
括号
对点范例
2. 算式9+2-4-6正确的读法是__________________
________________________.
负6的和或正9加2减4减6
正9、正2、负4、
典例精析
【例1】化简下列各数：
（1）-(+7)=_________；
（2）-(-8)=_________；
（3）+(-0.5)=_________；
（4）-︱-4︱=_________.
思路点拨：根据相反数的意义和多重符号的去括号法则进行化简.
-7
8
-0.5
-4
举一反三
1. 化简下列各数：
（1）+(-5)=_________；
（2）-(-9)=_________；
（3）-(+0.7)=_________；
（4）+(+8.2)=_________；
（5）-(-12)=_________；
（6）-︱-6.3︱=_________.
-0.7
8.2
12
-6.3
9
-5
【例2】把下列各式写成省略括号和加号的和的形式，并指出化简后的式子的读法：
(-5)＋(-10)＋(＋3)-(-8)＝_____________，
读作：_________________________，
也可读作：_______________.
思路点拨：先统一成加法，再省略式中的括号和加号.
典例精析
-5-10＋3＋8
负5、负10、正3、正8的和
负5减10加3加8
2. 算式8-7＋3-6正确的读法是( )
A. 8，7，3，6的和
B. 正8、负7、正3、负6的和
C. 8减7加正3减负6
D. 8减7加3减6的和
举一反三
B
【例3】计算：
（1）-20-（-18）+（-14）+13；
思路点拨：根据正数、负数的概念即可判断.
典例精析
解：原式＝-20+18-14+13
＝(-20-14)+(18+13)
＝-34+31
＝-3.
思路点拨：（1）将减法转化为加法，再根据加法法则计算；
（2）将分数化为小数，减法转化为加法，再根据加法法则计算.
解：原式＝0.4-1.5-2.25+2.75
＝0.4-1.5+0.5
＝0.9-1.5
＝-0.6.
（2）25- - -（-2.75）.
3. 计算：
（1）（-16）+12-24-（-18）；
举一反三
解：原式＝-16+12-24+18
＝-16-24+12+18
＝-40+30
＝-10.
解：原式＝- +2- -5
＝-6+2
＝-4.
典例精析
【例4】一口井水，水面比井口低3 m，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了0.5 m后又往下滑了0.1 m；第二次往上爬了0.42 m，却又下滑了0.15 m；第三次往上爬了0.7 m，却又下滑了0.15 m；第四次往上爬了0.75 m，却下滑了0.1 m；第五次往上爬了0.55 m，没有下滑；第六次蜗牛又往上爬了0.48 m，蜗牛有没有爬出井口？
思路点拨：认真审题理清题意是关键，算出蜗牛所爬的高度，与水面和井口的距离相比，即可得到结果.
解：根据题意，得蜗牛往上爬的高度为0.5+（-0.1）+0.42+（-0.15）+0.7+（-0.15）+0.75+（-0.1）+0.55+0.48＝2.90（m）.
因为2.90＜3，所以蜗牛没有爬出井口.
答：蜗牛没有爬出井口.
举一反三
4. 某天上午红领巾小银行储蓄所办理了6笔储蓄业务：取出9.5元，存入5元，取出8元，存入14元，存入12.5元，取出10.25元，这时储蓄所存款是增加了还是减少了？增加或减少的数额是多少？
根据题意，得
（-9.5）+5+（-8）+14+12.5+（-10.25）
＝-9.5-8-10.25+5+14+12.5
＝-27.75+31.5
＝3.75(元).
答：储蓄所存款增加了，增加了3.75元.
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第一章 有 理 数
第16课时 乘方（一）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义.
2. 能够正确进行有理数的乘方运算.
有理数的乘方：
（1）定义：求n个_________因数的积的运算，叫做乘方；
（2）乘方的结果叫做_________，相同因数的个数叫做_________，相同的因数叫做_________.
知识重点
知识点一 乘方的相关概念
相同
幂
指数
底数
1. 把（-2)×（-2)×（-2)×（-2)×（-2）写成乘方的式子是_________，底数是_________，指数是_________，看成乘方的运算时读作_____________，看成乘方的结果时读作_____________.
对点范例
（-2）5
-2
5
-2的5次方
-2的5次幂
乘方的符号法则：正数的任何次幂都是_________；负数的奇次幂是_________，负数的偶次幂是_________；0的任何正整数次幂都是_________.
知识重点
知识点二 乘方的符号法则
正数
负数
正数
0
对点范例
2. 填空：
（1）43＝_________；
（2）(-2)3＝_________；
（3）(-3)4＝_________；
（4）(-1)1001＝_________；
（5）(-1)2n＝_________；
（6）(-1)2n+1＝_________.
64
-8
81
-1
1
-1
典例精析
【例1】把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么.
（1）(-3.14)×(-3.14)×(-3.14)×(-3.14)；
（2）
思路点拨：根据有理数的乘方概念即可解答.
解:（1）(-3.14)×(-3.14)×(-3.14)×(-3.14)=(-3.14)4，其中底数是-3.14，指数是4.
（2）
举一反三
1. 表示的意义是 ( )
A. （-2）×2×2
B. （-2）+（-2)+(-2)
C. （-2）×3
D. -2×2×2
D
【例2】填空：
（1）若x2=9，则x=_________；
（2）若x3=8，则x=_________.
思路点拨：反用有理数的乘方定义即可解答.
典例精析
3或-3
2
2. 填空：
（1）若x2=16，则x=_________；
（2）若x3=-27，则x=_________.
举一反三
4或-4
-3
典例精析
【例3】关于 与 的说法，正确的是 ( )
A.无论 取任何数， 与 始终都相等
B.当 取整数时， 与 相等
C.当 取偶数时， 与 相等
D.当 取奇数时， 与 相等
思路点拨：根据有理数的乘方的定义及运算法则即可判断.
C
3. 计算：
举一反三
典例精析
【例4】若︱m︱＝7，n2＝36，且n＞m，求m+n的值.
思路点拨：根据条件先确定m和n的值，m+n的值应该是四种情况，但n＞m时，有两种情况符合，分别计算即可. 本题虽然难度不大，但容易出错，要认真计算，尤其是采用分类讨论计算时，要注意n＞m的条件.
解：因为m＝︱7︱，所以m＝±7.
因为n2＝36，所以n＝±6.
因为n＞m，所以m≠7.
所以①当m＝-7，n＝-6时，m+n＝(-7)+(-6)＝-13；
②当m＝-7，n＝6时，m+n＝-7+6＝-1.
所以m+n的值为-13或-1.
举一反三
4. 若x2＝16，︱y︱＝3，且x＜y，求x+y的值.
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第一章 有 理 数
第7课时 绝对值（二）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 会通过代数方法比较两个有理数的大小.
2. 会通过几何方法比较两个有理数的大小.
（1）正数_________0，0_________负数，正数_________负数；
（2）两个负数，绝对值大的_________.
知识重点
知识点一 通过代数方法比较两个有理数的大小
大于
大于
大于
反而小
1. 用“＜”或“＞”填空：
（1）3________0；
（2）-1________0；
（3）0.01________-5；
（4）-3________-1.
对点范例
＞
＜
＞
＜
数学上规定，数轴上的点，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数_________.
知识重点
知识点二 通过几何方法比较两个有理数的大小
大
对点范例
2. 如图1-7-1，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示最大的数的点是________.
点D
典例精析
【例1】比较下列各组数的大小：
思路点拨：（1）两个负数作比较，绝对值大的反而小；
（2）先化简，再作比较.
__
3
4
-
__
2
3
-
解：
＜
__
3
5
+
解：
＞ -︱-0.8︱
-
)
(
举一反三
1. 比较大小： 和-0.7.
解：因为︱ ︱= = , ︱-0.7︱= = ,
而 ＜ ,所以- >-0.7.
__
1
9
-
__
1
9
__
10
90
__
7
10
__
63
90
__
10
90
__
63
90
__
1
9
【例2】绝对值大于2且不大于5的所有负整数是_____________.
思路点拨：根据绝对值的定义结合数轴，可得答案.
典例精析
-5，-4，-3
举一反三
2. 下列大小关系中,错误的是（ ）
A
典例精析
【例3】把下列各数在数轴上用点表示出来，并按从小到大的顺序用“＜”连接起来.
思路点拨：先化简各数，再在数轴上表示出来，即可得出答案.
解：如答图1-7-1.
+（-4）
-︱-2.5︱
0
-（-3）
__
1
2
4
按从小到大的顺序排列为:
+（-4）＜ ＜0＜-（-3）＜ .
-︱-2.5︱
__
1
2
4
3. 将下列各数在数轴上用点表示出来，再将它们用“＜”号连接起来.
举一反三
所以-3＜ ＜-1.5＜1.3＜4.
解：如答图1-7-2.
答图1-7-2
__
5
2
-
-3
__
5
2
-
-1.5
1.3
4
典例精析
【例4】观察与归纳.
（1）比较下列各式的大小（填“＞”“＜”或“＝”）；
①︱-2︱+︱3︱________︱-2︱+︱3︱；
②︱-2︱+︱-3︱________︱-2︱-︱3︱；
③︱-2︱+︱0︱________︱-2︱+︱0︱；
归纳：︱a︱+︱b︱________︱a︱+︱b︱.
＞
＝
＝
≥
思路点拨：解题的关键是根据绝对值的知识分类讨论解决问题，（1）通过计算找出其中的规律即可得出答案；（2）根据（1）中的结论分当m为正数，n为负数时和当m为负数，n为正数时两种情况讨论即可确定答案.
（2）根据（1）中得出的结论，若︱m︱+︱n︱＝9，︱m︱+︱n︱＝1，
求m的值.
解：由（1）的结论可知，因为︱m︱+︱n︱＝9，︱m+n︱＝1，
︱m︱+︱n︱≠︱m+n︱，所以m，n异号.
当m为正数，n为负数时，m-n＝9，则n＝m-9，︱m+m-9︱＝1，m＝5或4；
当m为负数，n为正数时，-m+n＝9，则n＝m+9，︱m+m+9︱＝1，m＝-4或-5.
综上所述，m为±4或±5.
举一反三
4. （1）根据绝对值的意义，利用数轴上两点间的距离比较大小（填“＞”“＜”或“＝”）；
＝
＞
＝
＝
＞
（2）通过（1）分析归纳出当a，b为有理数时︱a︱+︱b︱与︱a-b︱的大小关系；
解：由（1）可知，
当a，b同号时，︱a︱+︱b︱＞︱a-b︱；
当a，b异号时，︱a︱+︱b︱＝︱a-b︱；
当a，b中有一个为0时，︱a︱+︱b︱＝︱a-b︱.
所以︱a︱+︱b︱≥︱a-b︱.
（3）当︱x︱+2＝︱x-2︱时，根据（2）中你得出的结论，求x的取值范围.
解：因为︱x︱+2＝︱x-2︱，由（2）可知x≤0.
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第一章 有 理 数
第10课时 有理数的减法（一）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 理解有理数的减法法则.
2. 会熟练运用有理数的减法法则进行有理数的减法运算.
有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.用字母表示：a-b =_________.
知识重点
知识点一 有理数的减法法则
a+(-b)
1. 在下列括号内填上适当的数.
（1）（-7）-（-3）=（-7）+_________；
（2）（-5）-4=（-5）+_________；
（3）0-（-2.5）＝0+_________；
（4）8-（+2 021）＝8+_________.
对点范例
3
(-4)
2.5
(-2 021)
温差就是较高温度与较低温度的_________.
知识重点
知识点二 会熟练运用有理数的减法解决实际问题
差
对点范例
2. 某天温度最高是15℃，最低是-8℃，则这一天温差是_________.
23℃
典例精析
【例1】计算：
（1）4.8-（-5.6）；
（2）
4.8-（-5.6）
＝4.8+5.6
＝10.4.
（3）
（4）︱-1.8︱-︱-6.2︱.
思路点拨：（1）（2）（3）利用减法法则变形，计算即可得到结果；（4）根据绝对值的定义和减法法则变形，再计算即可.
︱-1.8︱-︱-6.2︱
=1.8-6.2
=-4.4.
1. 计算：
解：原式＝-1.
解：原式＝-4.3+5.7＝1.4.
解：原式＝
解：原式＝
举一反三
（1）16-17；
（2）-4.3-（-5.7）；
解：原式＝-8+20＝12.
【例2】（1）如果某天A地的气温是2 ℃，B地的气温是-4 ℃，A地比B地气温高多少？(列式计算)
（2）如果某天A地的气温是-2 ℃，B地的气温是-4 ℃，A地比B地气温高多少？(列式计算)
典例精析
解：2-(-4)=2+4=6（℃）.
所以A地比B地气温高6 ℃.
解：-2-(-4)=-2+4=2（℃）.
所以A地比B地气温高2℃.
（3）如果某天A地的气温是-2 ℃，B地的气温是4 ℃，A地比B地气温高多少？(列式计算)
思路点拨：根据题意列出算式,再利用减法法则变形，计算即可得到结果.
解：-2-4=-2+(-4)=-6（℃）.
所以A地比B地气温高-6℃.
2. 一天的最高气温与最低气温的差叫做日温差.
（1）如果某天的最高气温是5 ℃，最低气温是3 ℃，那么这天的日温差是多少？(列式计算)
举一反三
解：5-3=5+(-3)=2（℃）.
所以这天的日温差是2 ℃.
（2）如果某天的最高气温是5 ℃，最低气温是-3 ℃，那么这天的日温差是多少？(列式计算)
解：5-(-3)=5+3=8（℃）.
所以这天的日温差是8 ℃.
【例3】计算：23-17-（-7）.
思路点拨：利用减法法则变形，计算即可得到结果.
典例精析
解：原式＝23-17+7
＝23+7-17
＝30+（-17）
＝13．
3. -20-(-14)-13.
举一反三
解：原式＝-20+14-13
＝-6+(-13）
＝-19.
典例精析
【例4】求出下列每对数在数轴上对应点之间的距离.
你能发现所得的距离与这两数的差有什么关系吗？
思路点拨：找出数的规律和正、负号的变化规律即可解决.
我发现：数轴上两点间的距离等于这两数的差的绝对值.
举一反三
4. 全班同学分成五个组进行游戏，每个组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分，游戏结束时，各组的分数如下：
第一组 第二组 第三组 第四组 第五组
100 150 -400 350 -100
若按成绩从高到低排列.
（1）第一名超出第四名多少分？（2）第四名超出第五名多少分？
解：（1）因为350＞150＞100＞-100＞-400，
所以第一名超出第四名的分数为350-（-100）＝350+100＝450（分）
（2）第四名超出第五名的分数为-100-（-400）＝-100+400＝300（分）
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第一章 有 理 数
第4课时 数轴
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 了解数轴的概念.
2. 会用数轴上的点表示有理数.
3. 体会数形结合思想.
规定了_________、_________、_________的直线叫做数轴.
知识重点
知识点一 数轴的概念
原点
正方向
单位长度
1. 下列绘制的数轴正确的是( )
A.
B.
C.
D.
对点范例
B
所有的_________都可以用数轴上的点表示.
知识重点
知识点二 会用数轴上的点表示有理数
有理数
对点范例
2. 写出如图1-4-1数轴上点A、点B所表示的分数.
A：_________；
B：_________.
__
3
5
__
1
5
2
典例精析
D
思路点拨：根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，判断即可.
【例1】下列数轴表示正确的是（ ）
举一反三
D
1. 下面各图正确表示数轴的是（ ）
典例精析
思路点拨：根据数轴的特点在数轴上表示出各数即可.
【例2】在如图1-4-2的数轴上表示出下列有理数：
·
·
·
·
·
__
1
2
-3
-2
0
__
1
2
3
举一反三
2. 如图1-4-3，写出数轴上点A，B，C，D，E各表示什么数.
解：点A表示-4，点B表示1.5，点C表示0，点D表示-1.5，点E表示4.
【例3】在数轴上与-3的距离等于4的点表示的数是（ ）
A. 1 B. -7
C. -1或7 D. 1或-7
思路点拨：注意考虑两种情况，该点在-3的左侧或该点在-3的右侧.
典例精析
D
3. 在数轴上，点A表示的数是-2，到点A的距离为2个单位长度的点表示的数是（ ）
A. -4 B. 0
C. ±2 D. -4和0
举一反三
D
典例精析
【例4】数轴上点A对应的数-2，先将点A向右平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到新的点对应的数是_________.
思路点拨：由点A对应的数，结合数轴得出最后确定的数即可.
0
举一反三
4. 点A表示数轴上的一个点，将点A向右移动6个单位长度，再向左移动5个单位长度，终点恰好是原点，则点A表示的数是________.
-1
典例精析
8
【例5】小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图1-4-4中的数值，请你判定墨迹盖住部分的整数共有_________个.
思路点拨：理解整数的概念，由数轴确定被污染部分的取值范围，墨迹盖住部分的整数有-5，-4，-3，-2，1，2，3，4，共8个.
举一反三
5. 数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1cm，若在这个数轴上随意画出一条长为2020cm的线段AB，则线段AB盖住的整点个数是（ ）
A. 2018或2019 B. 2019或2020
C. 2020或2021 D. 2021或2022
C
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第一章 有 理 数
第19课时 近似数
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 理解精确度的意义.
2. 要准确地说出精确位及按要求进行四舍五入取近似数.
一个数与_________相近，这个数称为近似数.
知识重点
知识点一 近似数的概念
准确数
1. 用四舍五入法得到近似数3.052万，则它精确到_______位.
对点范例
十
一般地，一个近似数，___________到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
知识重点
知识点二 近似数的精确位
四舍五入
对点范例
2. 某数学课本宽度约为18.2 cm，该近似数18.2精确到( )
A. 千分位 B. 百分位
C. 十分位 D. 个位
C
【例1】用四舍五入法对下列各数按括号中的要求取近似数:
典例精析
（1）2.768(精确到百分位)；
（2）9.403(精确到个位)；
（3）8.965(精确到0.1)；
（4）17289(精确到千位).
解：2.768≈2.77.
解：9.403≈9.
解：8.965≈9.0.
解：17289≈17000.
思路点拨：
（1）精确到百分位，即保留到小数点后面第二位，看小数点后面第三位，利用四舍五入法解答即可；
（2）精确到个位，就看小数点后面第一位，利用四舍五入法解答即可；
（3）精确到0.1，即保留到小数点后面第一位，看小数点后面第二位，利用四舍五入法解答即可；
（4）精确到千位，就看百位，利用四舍五入法解答即可.
1. 用四舍五入法求下列各数的近似数：
（1）95.418(精确到百分位)；
（2）0.86588(精确到千分位)；
（3）2.5671(精确到0.001)；
（4）2.715万(精确到百位).
解：95.418≈95.42.
解：0.86588≈0.866.
解：2.5671≈2.567.
解：2.715万≈27200
举一反三
【例2】指出下列近似数各精确到哪一位.
思路点拨：确定近似数精确到哪一位，就是看这个数的最后一位是什么位即可.
典例精析
（1）56.3； （2）5.630；
（3）5.63×106； （4）0.017.
解:56.3精确到十分位.
解:5.630精确到千分位.
解:5.63×106精确到万位.
解:0.017精确到千分位.
2. 指出下列近似数各精确到哪一位.
（1）3.14； （2）9.86万；
（3）9.258×104； （4）3.9×103.
举一反三
解：3.14精确到百分位.
解：9.86万精确到百位.
解：9.258×104精确到十位.
解：3.9×103精确到百位.
【例3】车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到2.60 m，一根为2.56 m，另一根为2.62 m，怎么不合格？”
（1）图纸要求精确到2.60 m，原轴的范围是多少？
（2）你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？
思路点拨：小数的位数不同，它们表示的计数单位就不相同，意义也不相同. 根据近似数的精确度说明，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位；
典例精析
解：（1）车工小王把2.60 m看成了2.6 m，近似数2.6 m的要求是精确到0.1 m；而近似数2.60 m的要求是精确到0.01 m，所以轴长约为2.60 m的车工小王加工完原轴的范围是2.595 m≤x＜2.605 m.
（2）由（1）知原轴的范围是2.595 m≤x＜2.605 m，故轴长为2.56 m与2.62 m的产品不合格.
3. 一粒米，许多同学都认为微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整块馒头或整碗米饭倒掉. 针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重11.07 g. 现在请你来计算（可用计算器）：
举一反三
（1）按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（结果精确到千位）
解： 称得500粒大米约重11.07 g，则一粒大米约重11.07÷
500=0.02214（g），0.02214×1×3×365×1 400000000÷1000≈
33941000＝3.3941×107（kg）.
答：一年大约能节约大米3.3941×107 kg.
（2）假如我们把一年节约的大米卖成钱，按2.5元/千克计算，可卖得人民币多少元？（结果保留到千万位）
2.5×3.3941×107≈8×107（元），
答：可卖得人民币8×107元.
（3）对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，在（2）的前提下，卖得的钱大约可供多少名失学儿童上一年学？（精确到个位）
8×107÷500＝160 000（名）
答：卖得的钱大约可供160 000名失学儿童上一年学.
（4）经过以上计算，你有何感想和建议？
一粒米虽然微不足道，但是我们一年节约下来的钱数多得惊人. 所以提倡节约，杜绝浪费，我们要行动起来.
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第一章 有 理 数
第12课时 有理数的乘法（一）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 掌握有理数的乘法法则.
2. 能利用乘法法则正确进行有理数乘法运算.
3. 掌握多个有理数连续相乘的运算法则.
（1）两数相乘，同号得_________，异号得_________，并把_________相乘；
（2）任何数与0相乘，都得_________.
知识重点
知识点一 有理数的乘法法则
正
负
绝对值
0
1. （1）2×（-5）＝_________；
（2）-5×（-3）＝_________；
（3）2 022×0＝_________.
对点范例
-10
15
0
几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是_________；负因数的个数是奇数时，积是_________.
知识重点
知识点二 有理数的乘法法则推广
正数
负数
对点范例
2. 不计算，填空： _________0.
(填“＞”“＝”或“＜”)
＜
乘积是_________的两个数互为倒数，_________没有倒数.
知识重点
知识点三 倒数的概念
1
0
对点范例
-1
2
3. （1）-1的倒数是_________；
（2） 的倒数是_________；
（3）0.5的倒数是_________.
典例精析
【例1】计算:
（1）2×3=_________； （2）(-3)×(-5)=_________；
（3）4×(-6)=_________； （4）(-7)×8=_________；
（5）0×(-2021)=_________； （6） =_________.
思路点拨：根据有理数的乘法法则进行计算即可.
6
15
-24
-56
0
举一反三
1. 计算：
解：原式＝0.
解：原式＝7×1＝7.
解：原式= × = .
解：原式＝-3× =-1.
【例2】计算：
典例精析
思路点拨：（1）首先确定积的符号为负，再把绝对值相乘即可；
（2）首先确定积的符号为正，再把绝对值相乘即可.
-
-
举一反三
2.（1）
（2）（-0.1)×1000×（-0.01）；
（3）2.3×4.1×0×（-7）；
解：原式＝0.1×1000×0.01＝1.
解：原式＝0.
解：原式＝-2× ×3＝-3.
解：原式＝- =- .
典例精析
【例3】写出下列各数的倒数：
（1）-2； （2）-0.2；
______ ______
（3） （4）
______ ______
思路点拨：先把小数变为分数、带分数化为假分数，然后根据倒数的定义求解.
-
-5
-3
举一反三
3. 写出下列各数的倒数：
（1）3； （2）-1； （3）0.3；
______
______
______
______
______
______
-1
4
典例精析
【例4】计算：
思路点拨：原式各括号计算后，根据负因式个数确定出结果的符号，约分即可得到结果.
解：原式=- ×（- ）×(- )×…×(- )×(- )＝-
=- .
举一反三
4. 计算:
解：(- )×(- )×(- )×(- )×(- )×(- )
＝
＝4.
谢 谢
