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单元复习课
本章知识梳理
目录
01
课标要求
02
知识导航
1. 能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.
2. 经历估计方程解的过程.
3. 掌握等式的基本性质.
4. 能解一元一次方程.
5. 能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.
课 标 要 求
一元一 次方程 方程 含有未知数的等式是方程
一元一次方程 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程
方程的解 使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解
解方程 求出方程的解，叫做解方程
等式的性质 等式的性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，即如果a=b，那么ａ±ｃ＝ｂ±ｃ
等式的性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即如果a=b，那么ａｃ＝ｂｃ；如果a=b （c≠0），那么
解一元一 次方程的 步骤 去分母 方程两边都乘以各分母的最小公倍数，使方程不再含有分母
去括号 用乘法分配律去括号
移项 一般地，我们把含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边. 注意移项时要变号
合并同类项 把含有未知数的项和常数项分别合并在一起
系数化成1 方程两边都除以未知数x的系数
列一元一 次方程解 应用题 审 弄清题意，分清已知量和未知量，明确各数量间的关系
设 设未知数
列 根据题目中的数量关系、相等关系、倍数关系等列方程
解 解所列方程，求出未知数的值以及题目中所要求的相关数量的值
验 检验所求的解是否符合题意，是否符合实际意义专题1解一元一次方程
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第三章 一元一次方程
第27课时 解一元一次方程(一)——
合并同类项与移项(一)
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 运用合并同类项解形如ax+bx+cx＝p的方程.
2. 经历运用方程解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型.
把形如ax=b的方程，利用等式的性质，两边同时_______，从而把方程转化为x=c的形式(其中a，b，c是常数).
知识重点
知识点一
未知数系数化为1
除以a
对点范例
1. 若（-4）·x= 则x=( )
B
即把方程两边的__________分别合并，从而把方程转化为_______的形式，然后再转化为x=c的形式(其中a，b,c是常数).
知识重点
知识点二
合并同类项
同类项
ax=b
对点范例
2. 解方程-7x+4x＝9的步骤：
（1）_________________________________；
（2）_________________________________.
合并同类项，得-3x＝9
系数化为1，得x＝-3
典型例题
解：系数化为1，得x＝2.
解：系数化为1，得x＝
【例1】解下列方程：
（1）-3.4x＝-6.8； （2） x=
思路点拨：（1）方程两边都除以-3.4，化x的系数为1可得出答案；（2）方程两边都除以 化x的系数为1可得出答案.
举一反三
解：系数化为1，得x＝-3.
1. 解下列方程：
（1）-2x＝6； （2） x=-3.
解：系数化为1，得x=
典型例题
【例2】下列各式合并同类项不正确的是( )
A. -3x+x=(-3+1)x
B. x-0.1x=0
C. -0.1x-0.9x=-x
D. -x-2x-5x=(-2-5)x
思路点拨：根据合并同类项的法则，系数相加作为系数，字母和字母的指数不变，即可判断.
D
举一反三
2. 下列变形错误的是( )
A. 由3x－2x＝1，得x＝1
B. 由2x－3x＝8，得－x＝8
C. 由5x－2x＋3x＝12，得x＝－2
D. 由－7y＋y＝6，得－6y＝6
C
典型例题
【例3】解下列方程：
(1)3x＋2x＋x=24； (2)-3x+6x=18.
思路点拨：先合并同类项，再系数化为1即可.
解：合并同类项，得6x=24.
系数化为1，得x=4.
解：合并同类项，得3x=18.
系数化为1，得x=6.
举一反三
3. 解下列方程:
(1)5x-6x= (2)13x-15x+x=-3.
解：合并同类项，得-x=
系数化为1，得x=
解：合并同类项，得-x=-3.
系数化为1，得x=3.
典型例题
【例4】在一卷公元前1600年左右遗留下来的古埃及草卷中，记载着一些数学问题，其中一个问题翻译后意思是：啊哈，它的全部，它的 其和等于19，你能求出问题中的“它”吗？
解：设问题中的“它”为x.
由题意，得x+ x＝19.
解得x＝
答：问题中的“它”为
思路点拨：等量关系：所求未知数+未知数的 =19，把相关数值代入求解即可.
举一反三
4. 《孙子算经》是我国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”非常有趣. 原题是今有妇人河上荡杯，津吏问曰：“杯何以多？”妇人曰：“有客.”津吏曰：“客几何？“妇人曰”：“两人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五.” 不知客几何？
大意是：一个妇女在河边洗碗，河官问：“洗多少碗？有多少客？”妇女答：“洗65只碗，客人2人共用一个饭碗，3人共用一个汤碗，4人共用一个肉碗. ”求共有多少客人用餐.
解：设共有x位客人用餐.
根据题意，得 ＝65.
解得x＝60.
答：共有60位客人用餐.
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第三章 一元一次方程
第30课时 解一元一次方程(二)——
去括号与去分母(二)
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 掌握含有常数分母一元一次方程的解法，能够熟练地解含有分数系数的方程.
2. 归纳一元一次方程解法的一般步骤，体会解方程中化归和程序化的思想方法.
方程中有分母时，方程两边同时乘上各_______的最小公倍数，化分数为_______.
知识重点
知识点一
运用等式的性质去分母
分母
整数
对点范例
1. 将方程 =1去分母，结果正确的是( )
A. 2x-3（1-x）＝1
B. 2x-3（1-x）＝6
C. 2x-3（x-1）＝6
D. 2x-3（x+1）＝6
B
对于含有常数分母的一元一次方程，通过_______、_______、_______、合并同类项、系数化为1等步骤，就可以使一元一次方程向着x=a的形式转化.
知识重点
知识点二
解含有常数分母的一元一次方程的一般步骤
去分母
去括号
移项
对点范例
2. 解方程：2-
去分母，得_______________________________.
去括号，得___________________________.
移项，得___________________________.
合并同类项，得___________________.
系数化为1，得___________.
12-2（2x+1）＝3（1+x）
12-4x-2＝3+3x
-4x-3x＝3+2-12
-7x＝-7
x＝1
典型例题
【例1】有下列变形：
①将方程 =2去分母，得x-12=10；
②方程 x= 两边同时除以 得x=1；
③将方程6x-4=x+4移项，得7x=0；
④方程2- 两边同时乘6，得12-x-5=3(x+3).
变形错误的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
B
思路点拨：运用等式的性质判断即可.
举一反三
1. 将一元一次方程 =1去分母后，得( )
A． 2x-x-2＝4
B． 2x-x+2＝1
C． 2x-（x-2）＝4
D． 2x-（x-2）＝1
C
典型例题
【例2】 解方程：
（1）1- x＝3- x；
解：去分母，得6-3x＝18-x.
移项、合并同类项，得-2x＝12.
系数化为1，得x＝-6.
解：去分母，得3（3y-1）-12＝2（5y-7）.
去括号，得9y-3-12=10y-14.
移项、合并同类项，得-y＝1.
系数化为1，得y＝-1.
（2）
思路点拨：对方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可.
举一反三
2. 解下列方程：
（1）
解：去分母，得3（5-3x）＝2（3-5x）.
去括号，得15-9x＝6-10x.
移项、合并同类项，得x＝-9.
（2） =1.
解：去分母，得3（y+2）-2（2y-1）＝12.
去括号，得3y+6-4y+2＝12.
移项、合并同类项，得-y＝4.
系数化为1，得y＝-4.
典型例题
【例3】m为何值时， +1与 互为相反数？
解：根据题意，得 +1+ =0.
去分母，得m+3+2m-7＝0.
移项，得m+2m＝7-3.
合并同类项，得3m＝4.
系数化为1，得m=
思路点拨：先根据相反数的性质列出关于m的方程，再依次去分母、移项、合并同类项、系数化为1即可.
举一反三
3. 当x为何值时，式子 与1- 的值相等.
解：根据题意，得
去分母，得3（1-x）＝6-2（x+1）.
去括号，得3-3x＝6-2x-2.
移项、合并同类项，得-x＝1.
系数化为1，得x＝-1.
典型例题
【例4】已知式子 与式子 的值相等,这个值是多少？
解:因为式子 与式子 的值相等，
所以可得方程
去分母，得a+4=2(a+3)-3(a-2).
去括号，得a+4=2a+6-3a+6.
移项、合并同类项，得2a=8.
系数化为1，得a=4.
当a=4时, 所以这个值是
思路点拨：根据题意列出方程，对方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可.
举一反三
4. 某同学在解方程 -1的过程中，去分母时，等号右边的-1没有乘3，因而求得的解为x=2，请你求出a的值，并正确地解方程.
解：按错误的方法去分母，得2x-1=x+a-1.
把x=2代入上式，得4-1=2+a-1.
解得a=2.
则原方程为 -1.
去分母，得2x-1=x+2-3.
移项、合并同类项,得x=0.
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第三章 一元一次方程
专题3 一元一次方程的应用
1.一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双球鞋，则可列方程为( )
A. 10%x=330
B. (1-10%)x=330
C. (1-10%)2x=330
D. (1+10%)x=330
D
2. 某商店在某一时间以每件200元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损20%，那么商店在这次交易中( )
A. 亏了10元
B. 亏了20元
C. 盈利20元
D. 不盈不亏
A
3.为配合荆州市“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠. 小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元. 若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款( )
A. 140元 B. 150元 C. 160元 D. 200元
B
4. 某车间有51个工人生产A和B两种零件，每3个A零件与2个B零件配成一套.已知每名工人每天能加工A零件3个或B零件4个.为使每天生产的两种零件配套，则应分配( )名工人生产A零件.
A.17 B.27 C.24 D.34
D
5. 某百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为1 000元的商品，共节省280元，则用贵宾卡又享受了_______折优惠.
九
6.小明的妈妈今年44岁，比小明年龄的3倍还大2岁.设小明今年x岁，则可列出方程为__________.
7. 一张试卷上有25道选择题：对一道题得4分，错一道得-1分，不做得-1分，某同学做完全部25题得70分，那么他做对_______题.
3x+2=44
19
8. 学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元，店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润．
（1）求每套课桌椅的成本；
（2）求商店获得的利润．
解： （1）设每套课桌椅的成本为x元.
根据题意， 得
60×100-60x＝72×（100-3）-72x.
解得x＝82．
答： 每套课桌椅的成本为82元．
（2） 60×（100-82）＝1 080（元）．
答： 商店获得的利润为1 080元．
9.某车间加工机轴和轴承，已知一名工人平均每天可以加工15根机轴或10个轴承，1根机轴和2个轴承配成一套.现在该车间共有80名工人，则应该分配多少名工人加工机轴，才能使每天加工的机轴和轴承配套？
解：设x名工人加工机轴，则(80-x)名工人加工轴承.
根据题意，得2×15x=10(80-x).
解得x=20.
答：应该分配20名工人加工机轴，才能使每天加工的机轴和轴承配套.
10.“绿水青山就是金山银山”，海南省委、省政府高度重视环境生态保护，截至2017年底，全省建立国家级、省级和市县级自然保护区共49个，其中国家级自然保护区10个，省级比市县级多5个．省级和市县级自然保护区各有多少个？
解：设市县级自然保护区有x个， 则省级自然保护区有（x+5）个.
根据题意，得10+x+x+5＝49.
解得x＝17.
则x+5＝22．
答：省级自然保护区有22个，市县级自然保护区有17个．
11. 完成一项工作，一个工人需要16天才能完成. 开始先安排几个工人做1天后，又增加1人和他们一起做2天，结果完成了这项工作的一半，假设每个工人的工作效率相同.
（1）开始安排了多少个工人？
（2）如果要求再用2天做完剩余的全部工作，还需要再增加多少个工人一起做？
解：（1）设开始安排了x个工人.
根据题意，得
解得x＝2.
答：开始安排了2个工人.
（2）设再增加y个工人.
根据题意，得
解得y＝1.
答：还需要再增加1个工人一起做.
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第三章 一元一次方程
第28课时 解一元一次方程(一)——
合并同类项与移项(二)
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 理解移项的法则.
2. 会解形如ax+b＝cx+d的方程，体会等式变形中的化归
思想.
3. 掌握移项、合并同类项解一元一次方程的步骤.
把等式一边的某项_______后移到另一边，叫做移项.
知识重点
知识点一
移项的法则
变号
1. 解方程2x-4＝3x+5，移项正确的是( )
A. 2x+3x＝5-4 B. 2x+3x＝5+4
C. 2x-3x＝5-4 D. 2x-3x＝5+4
对点范例
D
解一元一次方程进行移项时，一般将含未知数的项移到等号的_______边，而将常数项移到等号的_______边，移项一定要_______.
知识重点
知识点二
解一元一次方程——移项
左
右
变号
对点范例
2. 判断下列移项是“正确”还是“错误”，并填在横线上：
(1)由1-2x＝5,得2x＝5-1；_______
(2)由x-3＝2x＋1,得-2x-x＝1＋3._______
错误
错误
典型例题
【例1】下列用移项的方法解方程，正确的是( )
A. 由3x-5＝2x+6，得3x-6＝2x-5
B. 由3x-5＝2x+6，得3x-5+6＝2x
C. 由3x-5＝2x+6，得3x+2x＝6+5
D. 由3x-5＝2x+6，得3x-2x＝6+5
思路点拨：根据移项法则，分别判断得出即可.
D
举一反三
1. 将方程2x-1＝3x+4移项后得________________.
2x-3x＝4+1
典型例题
解：移项，得4x-3x=-3-2.
合并同类项，得x=-5.
【例2】解下列方程：
(1)4x＋2=3x-3； (2)4y= y＋16.
思路点拨：各方程先移项，再合并同类项，然后系数化成1，即可求出解.
解：移项，得4y- y=16.
合并同类项，得- y=16.
系数化为1，得y=-6.
举一反三
2. 解方程：
（1）2x+3＝4x-5; （2）9x-17＝4x-2.
解：移项，得2x-4x＝-5-3.
合并同类项，得-2x＝-8.
系数化为1，得x＝4.
解:移项，得9x-4x＝-2+17.
合并同类项，得5x＝15.
系数化为1，得x＝3.
典型例题
【例3】新定义一种运算“☆”，规定a☆b＝ab+a-b. 若2☆x＝x☆2，求x的值.
思路点拨：根据题意，可得关于x的一元一次方程，据此求出x的值为多少即可.
解：因为a☆b＝ab+a-b，2☆x＝x☆2，
所以2x+2-x＝2x+x-2.
整理，得-2x＝-4.
解得x＝2.
故x的值为2.
3. 小王在解关于x的方程2a-2x=15时，误将-2x看作+2x，得方程的解x=3，求原方程的解．
举一反三
解：根据题意,得2a+2×3=15.
移项，得2a=9.
系数化为1，得a=
所以原方程为9-2x=15.
移项，得-2x=6.
系数化为1，得x=-3．
典型例题
【例4】m为何值时，关于x的方程4x-2m=3x-1的解是方程x=2x-3m的解的2倍？
解：解方程4x-2m=3x-1，
得x=2m-1.
解方程x=2x-3m，
得x=3m.
因为方程4x-2m=3x-1的解是方程x=2x-3m的解的2倍,所以2m-1=2×3m.
解得m=
思路点拨：将两个方程的解都用含m的式子表示出来，利用两个方程的解的倍数关系列出一个一元一次方程即可解答.
举一反三
4. 关于x的方程x-2m=-3x+4与2-m=x的解互为相反数.
（1）求m的值;
（2）求这两个方程的解.
解：（1）第一个方程的解为x=0.5m+1,第二个方程的解为x=2-m.
由题意，得0.5m+1+2-m=0.
解得m=6.
（2）因为m=6，所以第一个方程的解为x=4，第二个方程的解为x=-4.
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第三章 一元一次方程
第29课时 解一元一次方程(二)——
去括号与去分母(一)
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 掌握含有括号的一元一次方程的解法.
2. 掌握解一元一次方程的一般步骤，并体会解方程中的化归思想.
一元一次方程中含有括号时一般先_______，再移项、合并同类项，最后化系数为1.
知识重点
知识点一
含有括号的一元一次方程的解法
去括号
1. 填空：将方程2（x-1）=3去括号，得_______．
对点范例
2x-2=3
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内的各项的符号与原来的符号_______；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号_______.
知识重点
知识点二
去括号法则
相同
相反
对点范例
2. 解方程4-(x+3)=-3(x-2)时，去括号正确的是( )
A.4-x+3=-3x+6
B.4-x-3=-3x+6
C.4-x+3=-3x-6
D.4-x-3=-3x-6
B
典型例题
【例1】将3(x-1)-2(x-3)＝5(1-x)去括号，得( )
A.3x-1-2x-3＝5-x
B.3x-1-2x＋3＝5-x
C.3x-3-2x-6＝5-5x
D.3x-3-2x＋6＝5-5x
D
举一反三
1. 将方程2(x-1)-3(x-4)=5去括号，得( )
A. 2x-1-3x-12=5
B. 2x-2-3x-12=5
C. 2x-2-3x+12=5
D. 2x-1-3x+12=5
C
典型例题
【例2】如果5(x-2)与2(3-x)互为相反数,那么x的值是( )
D
举一反三
2. 图3-29-1表示小明解方程3（x-1）=5+x的流程，其中，步骤①的依据是( )
A. 等式性质1 B. 等式性质2
C. 乘法结合律 D. 乘法分配律
D
典型例题
【例3】解下列方程：
（1）5（x+2）＝2（5x-1）；
解：去括号，得5x+10＝10x-2.
移项、合并同类项，得-5x＝-12.
系数化为1，得x＝
（2）（x+1）-2（x-1）＝1-3x；
（3）2（x-2）-（4x-1）＝3（1-x）.
思路点拨：对各方程去括号，移项、合并同类项，把x系数化为1，即可求出解.
解：去括号，得x+1-2x+2＝1-3x.
移项、合并同类项，得2x＝-2.
系数化为1，得x＝-1.
解：去括号，得2x-4-4x+1＝3-3x.
移项、合并同类项，得x＝6.
3. 解下列方程：
（1）5（x-5）+2x＝-4；
举一反三
解：去括号，得5x-25+2x＝-4.
移项，得5x+2x＝-4+25.
合并同类项，得7x＝21.
系数化为1，得x＝3.
（2）3（x-1）-2（2x+3）＝0；
解：去括号，得3x-3-4x-6＝0.
移项，得3x-4x＝3+6.
合并同类项，得-x＝9.
系数化为1，得x＝-9.
（3）6（1-x）-5（x-2）＝2（2x+3）.
解：去括号，得6-6x-5x+10＝4x+6.
移项、合并同类项，得-15x＝-10.
系数化为1，得x=
典型例题
【例4】对于有理数a，b，c，d，规定一种运算 =ad-bc，如 =1×（-2）-0×2＝-2，那么当
=25时，x的值为多少？
思路点拨：利用题中的新定义运算的等式列出方程，然后解方程，即可求出x的值.
解：根据题意,得2×5-(-4)×(3-x)＝25.
去括号，得10+12-4x＝25.
移项、合并同类项，得-4x＝3.
系数化为1，得x=
举一反三
4. 若新规定这样一种运算法则：a※b＝a2+2ab，例如3※（-2）＝32+2×3×（-2）＝-3．
（1）试求（-2）※3的值；
（2）若（-2）※（1-3x)＝-22+x，求x的值．
解：（1）（-2）※3＝（-2）2+2×（-2)×3
＝4-12
＝-8.
（2）因为（-2）※（1-3x)＝-22+x，
所以（-2）2+2×（-2)×（1-3x)＝-22+x，
即4-4（1-3x)＝-22+x.
去括号，得4-4+12x=-22+x.
移项、合并同类项，得11x=-22.
系数化为1，得x＝-2．
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第三章 一元一次方程
第34课时 实际问题与一元一次方程(三)
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 学会建立方程模型解决“电话计费问题”.
2. 学会通过分析计算与比较解决“方案选择问题”.
3. 体会分类思想和方程思想，增强应用意识和应用能力.
电话计费问题与出租车计费问题类似，出租车的起步价是乘坐出租车的最低收费标准，起步价还包含了一部分的行驶路程数.
知识重点
知识点一
电话计费问题
1. 某人用充值50元的IC卡从A地向B地打长途电话，按通话时间收费，3 min内收费2.4元，以后每超过1 min加收1元.若此人通话30 min，则IC卡上所余的钱为___________.
对点范例
20.6元
解决生活中的方案选择问题，可先运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况，再用_______试探法选择方案，即取小于 （或大于） 解的值，分别代入两种方案中计算，比较两种方法的优劣后得出结论.
知识重点
知识点二
方案选择问题
特殊值
对点范例
2. 购买手机的“全球通”卡，使用须付基本月使用费（每月须交的固定费用）58元，本地主叫限定时间为150 min，超过的部分按0.5元/min计费；购买“神州行”卡，使用时不收基本月使用费，但在本地主叫时每分钟话费0.30元.若某用户每月手机费预算为100元，则在这两种手机卡中，购买“_______”卡可以使通话时间更长.
神州行
典型例题
【例1】某市向北京打长途电话，通话3 min以内话费为3.6元，超出3 min部分按每分钟1.2元收费.若某人付了6元话费，则最多通话多少分钟（不足1 min按1 min计）？
解：设最多通话x min.
由题意，得3.6+（x-3)×1.2＝6.
解得x＝5.
答：最多通话5 min.
思路点拨：通话3 min以内话费为3.6元，由于付了6元，那么时间一定超过了3 min. 等量关系为3.6+超过3 min的付费＝6. 根据等量关系列出方程解答.
举一反三
1. 某市的出租车收费标准如下：2 km内起步价为7元，超过2 km以后按每千米1.4元计价. 若某人坐出租车行驶x km，应付给司机21元，则x的值是多少？
解：因为21＞7，
所以x＞2.
根据题意，得7+1.4（x-2）＝21.
解得x＝12.
答：x的值是12.
典型例题
【例2】中国移动公司为了方便学生上网查资料，提供了两种上网优惠计费方式：
A． 计时制：0.08元/min；B． 包月制：40元/月．（只限一台电脑上网）
另外，不管哪种收费方式，上网都得加收通讯费0.03元/min．
（1）设小明某月上网的时间为x min，请分别用含x的式子表示出两种付费方式下小明应支付的费用；
（2）一个月的上网时间为多少分钟时，两种方式付费一样多？
（3）如果一个月上网10 h，选择哪种方式更优惠？
解：（1）计时制需花费0.08x+0.03x＝0.11x（元），
包月制需花费（0.03x+40）元.
（2）由题意，得0.11x＝0.03x+40.
解得x＝500．
答:一个月的上网时间为500 min时，两种方式付费一样多．
（3）10 h＝600 min.
若选择计时制，需花费0.11×600＝66（元）.
若选择包月制，需花费0.03×600+40＝58（元）．
因为66＞58，
所以选择包月制更优惠．
答：如果一个月上网10 h,选择包月制更优惠.
思路点拨：解题的关键是根据题意弄清计费规则，并据此列出关于x的方程. （1）根据第一种方式为计时制，每分钟0.08，第二种方式为包月制，每月40元，两种方式都要加收每分钟通讯费0.03元/min可分别用x表示出收费情况；（2）根据两种付费方式，得出等式求解即可；（3）根据一个月
只上网10 h，分别求出两种付费方式所需的钱数，即可得出答案.
举一反三
2.当涂大青山有较为丰富的毛竹资源，某企业已收购毛竹110 t.根据市场信息，将毛竹直接销售，每吨可获利100元；如果对毛竹进行粗加工，每天可加工8 t，每吨可获利1 000元；如果进行精加工，每天可加工1.5 t，每吨可获利5 000元.由于受条件限制，在同一天中只能采用一种方式加工，并且必须在一个月(30天)内将这批毛竹全部加工完.为此该企业研究了两种方案.
(1)方案一：将收购毛竹全部粗加工后销售，则可获利_____________元；
方案二：30天的时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利______________元.
(2)是否存在第三种方案，将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并且恰好在30天内完成？若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由.
110 000
231 500
解：设粗加工x天，则精加工(30-x)天.
依题意，得8x+1.5(30-x)=110.
解得x=10.
则30-x=20.
所以存在第三种方案.
销售后所获利润为1 000×10×8+5 000×20×1.5=230 000(元).
答：存在第三种方案，其售后所获利润为230 000元.
典型例题
【例3】甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价25元，乒乓球每盒定价5元．现两家商店搞促销活动，甲店的优惠办法是：每买一副乒乓球拍赠一盒乒乓球；乙店的优惠办法是：按定价的9折出售．某班需购买乒乓球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）．
（1）当购买乒乓球盒数为多少盒时，两家商店收费一样多呢？
（2）当购买乒乓球盒数为10盒时，到哪家商店购买比较合算？
解：（1）设购买乒乓球的盒数为x盒时，两家商店收费一
样多.
由题意，得25×4+5（x-4）=0.9（25×4+5x）.
解得x=20.
答：当购买乒乓球盒数为20盒时，两家商店收费一样多.
（2）当x=10时，
到甲店需付25×4+5×（10-4）=130（元）；
到乙店需付0.9×（25×4+5×10）=135（元）.
因为130＜135，所以到甲店购买比较合算.
答：当购买乒乓球盒数为10盒时，到甲店购买比较合算.
思路点拨：解题的关键是根据题意弄清优惠规则，并据此列出关于x的方程. （1）两店收费相等时，结合甲店的优惠办法和乙店的优惠办法，列出方程求解；（2）当买兵乓球盒数为10盒时，分别求出两种优惠办法的总收费，即可得出答案.
3.某公司要把一批物品运往外地，现有两种运输方式可供选择：
方式一：使用快递公司运输，装卸费400元，另外每千米再加收4元；
方式二：使用火车运输，装卸费820元，另外每千米再加收2元.
(1)若两种运输方式的总费用相等，则运输路程是多少？
(2)若运输路程是800 km，这家公司选用哪一种运输方式比较省钱？
举一反三
解：(1)设运输路程是x km.
根据题意,得400+4x=820+2x.
解得x=210.
答：若两种运输方式的总费用相等，则运输路程是210 km.
(2)若运输路程是800 km，
用方式一运输的总费用是400+4×800=3 600(元);
用方式二运输的总费用是820+2×800=2 420(元).
因为2 420＜3 600，所以用方式二比较省钱.
答：若运输路程是800 km，这家公司选用方式二比较省钱.
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第三章 一元一次方程
专题2 一元一次方程的解与
一元一次方程的解法
一、一元一次方程的解
1. 下列方程中，解为x＝4的方程是( )
A. x-1＝4 B. 4x＝1
C. 4x-1＝3x+3 D. 2（x-1）＝1
2. 若关于x的方程2x-（2a-1）x+3＝0的解是x＝3，则a=( )
A. 1 B. 0 C. 2 D. 3
C
C
3. 小马虎在做作业，不小心将方程2（x-3）-■＝x+1中的一个常数污染了. 怎么办？他翻开书后的答案，发现方程的解是x＝9. 请问这个被污染的常数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 关于y的两个一元一次方程y+3m＝32与y-4＝1的解相同，那么m的值为_______.
5. 若关于x的方程5x-1＝2x+a的解与方程4x+3＝7的解互为相反数，则a＝_______.
B
9
-4
6.规定一种运算“*”，a*b＝ a- b，则一元一次方程x*2＝
1*x的解为_______．
x=
7. 已知关于x的方程3x+2a-1＝0的解与方程x-2a＝0的解互为相反数，求a的值.
解：解x-2a＝0，得x＝2a.
因为方程3x+2a-1＝0的解与方程x-2a＝0的解互为相反数，
所以3×（-2a）+2a-1＝0.
解得a=-
二、一元一次方程的解法
8. 方程8-4x＝64+4x的解为( )
A. x＝7 B. x=
C. x= D. x＝-7
D
9.解方程 的步骤如下：
解：2(x-1)-(x+2)=3(4-x) ①
2x-2-x+2=12-3x②
4x=12③
x=3④
则上述解方程过程中开始出错的步骤是( )
A. ① B. ② C. ③ D.④
B
10.若方程x+5＝7-2(x-2)的解也是关于x的方程6x+3k＝14的解，
则k＝_______.
11. (1)解方程：5x+2＝7x-8；
(2)式子3x-1与-4x+6的值互为相反数，求x的值.
解：(1)移项，得5x-7x＝-8-2.
合并同类项，得-2x＝-10.
系数化为1，得x＝5.
(2)根据题意，得3x-1-4x+6＝0.
移项、合并同类项，得-x＝-5.
系数化为1，得x＝5.
12.已知x＝-2是关于x的方程a（x+3）＝ a+x的解， 求 a-
+3（4-a）的值．
解： 把x＝-2代入方程a（x+3）＝ a+x， 得
a＝ a-2.
解得a＝-4.
a- +3(4-a)
= a- a+1+12-3a
=-4a+13.
当a=-4时，原式=(-4)×(-4)+13=29.
13.解下列方程：
(1)x+ =6-
解：去分母，得6x+4(x-3)=36-(x-7).
去括号，得6x+4x-12=36-x+7.
移项、合并同类项，得11x=55.
系数化为1，得x=5.
(2)
解:方程整理,得8x-3-(25x-15)=
去括号,得8x-3-25x+15=
移项、合并同类项，得-17x=
系数化为1，得x=
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第三章 一元一次方程
第25课时 一元一次方程
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 了解方程及一元一次方程的概念.
2. 通过列方程的过程，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义，由算式到方程是数学的一大进步，从而体会数学的方程模型思想.
3. 了解解方程及方程的解的概念.
4. 体验用观察估算的方法寻求方程的解的过程，通过具体数值的计算和比较，渗透从特殊到一般，从具体到抽象的数学方法.
含有__________的等式叫做方程，例如4x-1=7就是方程，其中__________是已知数，_______是未知数.
知识重点
知识点一
方程的概念
未知数
4，-1,7
x
1. 已知式子：①3-4＝-1；②2x-5y；③1+2x＝0；④6x+4y＝2；⑤3x2-2x+1＝0.其中是方程的有_______.
对点范例
③④⑤
只含有_______个未知数(元)，未知数的次数都是_______， 等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程.
知识重点
知识点二
一元一次方程的概念
一
1
对点范例
2. 下列方程是一元一次方程的是( )
A.-3x＋2y＝1 B.3x-2＝0
C. ＋3＝1 D.x2-x-2＝0
B
使方程中等号左右两边相等的_______的值叫做方程的解.
知识重点
知识点三：
方程的解的概念
未知数
对点范例
3. 下列方程中，解是x＝4的是( )
A. 3x+1＝11 B. -2x-4＝0
C. 3x-8＝4 D. 4x＝1
C
典型例题
【例1】下列各式中，是方程的有( )
①2x-1＝5；②4+8＝12；③5y+8；④2x+3y＝0；⑤2x2+x＝1；⑥2x2-5x-1.
A. ①②④⑤ B. ①②⑤
C. ①④⑤ D. 6个都是
思路点拨：根据方程的定义对各小题进行逐一分析即可.
C
举一反三
1. 下列式子是方程的有( )
①3a+4;②5a+6＝7;③3+2＝5;④4x-1＞y;⑤2a2-3a2＝0.
A. ①② B. ②③
C. ②⑤ D. ④⑤
C
典型例题
【例2】 下列各式哪些是一元一次方程？
① 3-1=2； ② 3x-5=10；
③ x=0； ④ 4y-5=1；
⑤ x2-2x+1=0； ⑥ x+y=2.
解:②③④是一元一次方程.
思路点拨：一元一次方程是指只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程就叫做一元一次方程，据此逐项分析再解答.
举一反三
2. 下列方程中，哪些是一元一次方程？哪些不是？
①5+4x=11；②2x+y=5；③x2-5x+6=0；④ =3；
⑤ =1.
解： ①⑤是一元一次方程, ②③④不是一元一次方程.
典型例题
【例3】如果关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1，那么a+m的值为( )
A.9 B.8 C.5 D.4
思路点拨：根据一元一次方程的定义，得到a-2=1①,根据一元一次方程的解的定义，得到2+m=4②,分别解方程①,②得到a和m的值，最后计算a+m即可.
C
3. 检验下列x的值是不是方程5x-2＝7+2x的解，并写出检验
过程.
（1）x＝2；
举一反三
解：将x＝2代入，左边＝8，右边＝11，左边≠右边，
故x＝2不是方程5x-2＝7+2x的解.
（2）x＝3.
解：将x＝3代入，左边＝13，右边＝13，左边＝右边，
故x＝3是方程5x-2＝7+2x的解.
典型例题
【例4】根据下列条件，列出方程：
(1)x的20％与10的差的一半等于-2；
(2)某数与2的差的绝对值加上1等于2；
(3)x的10％与y的差比y的2倍少3；
(4)某数增加5倍比该数的 多9.
解:(1) (20%x-10)=-2.
(2)设该数为x.由题意,得|x-2|+1=2.
(3)10%x-y=2y-3.
(4)设该数为x.由题意,得x+5x= x+9.
思路点拨：根据题目中所描述的数量关系，抓住表示和、差、倍的关键词，列出方程即可.
举一反三
4. 根据下列条件，列出关于x的方程：
（1）12与x的差等于x的2倍；
（2）y的 与1的和等于4；
（3）x的20%与15的差的一半等于-2；
（4）x的3倍比x的一半多15；
（5）某数的3倍与2的差等于16，求这个数.
解：（1）12-x＝2x.
（2） y+1＝4.
（3） （20%x-15）＝-2.
（4）3x- x＝15.
（5）设这个数为x.
根据题意，得3x-2＝16.
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第三章 一元一次方程
第32课时 实际问题与一元一次方程(一)
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 会通过列方程解决“配套问题”“工程问题”和“盈不足问题”.
2. 掌握列方程解决实际问题的一般步骤.
3. 通过列方程解决实际问题的过程，体会建模思想.
列一元一次方程解应用题的基本步骤：
(1)审题；(2)_______________________；(3)设未知数；(4)______________________；(5)解方程；(6)检验，作答.
知识重点
知识点一
列方程解应用题的基本步骤
找出等量关系
列出方程
1. 某服装厂有工人54人，每人每天可加工上衣8件或裤子10条，应怎样分配人数，才能使每天生产的上衣和裤子配套？
解：设x人做上衣，则做裤子的人数为__________人.
根据题意，可列方程为___________________.
对点范例
(54-x)
8x＝10(54-x)
工程问题中，工作量=___________×工作时间.
知识重点
知识点二
工程问题的基本公式
工作效率
对点范例
2. 一项工程，甲单独做5天完成，乙单独做8天完成．若甲先做1天，然后甲、乙合作完成此项工程的 若设甲一共做了x天，则可列方程为( )
B
典型例题
【例1】机械厂加工车间有27名工人，平均每人每天加工小齿轮12个或大齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
解：设需安排x名工人加工大齿轮，安排（27-x）名工人加工小齿轮.
根据题意，得12×（27-x)×2＝10x×3.
解得x＝12.
则27-x＝15.
答：安排12名工人加工大齿轮，安排15名工人加工小齿轮.
思路点拨：关键是能准确理解题意，设需安排x名工人加工大齿轮，安排（27-x）名工人加工小齿轮，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，根据此正确列出方程.
举一反三
1. 包装厂有工人42人，平均每人每天可以生产圆形铁片120片或长方形铁片80片，两张圆形铁片与一张长方形铁片可配套成一个密封桶． 如何安排工人生产圆形和长方形铁片，才能使每天生产的铁片刚好配套？
解：设应安排x名工人生产圆形铁片，则(42-x)名工人生产长方形铁片.
由题意，得120x＝2×80(42-x).
解得x＝24.
则42-x=18.
答：每天应安排24名工人生产圆形铁片，18名工人生产长方形铁片.
典型例题
【例2】 某地为打造风景带，将一段长为3 600 m的河道整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治河道240 m，乙工程队每天整治河道
160 m.
（1）甲、乙两个工程队整治河道的时间分别为多少天？
（2）甲工程队共整治河道_______ m，乙工程队共整治河道_______ m.
1 200
2 400
解：（1）设甲工程队整治河道的时间为x天，则乙工程队整治河道的时间为（20-x）天.
根据题意，得240x+160（20-x）＝3 600.
解得x＝5.
则20-x＝15.
答：甲工程队整治河道的时间为5天，则乙工程队整治河道的时间为15天.
思路点拨：找准等量关系是解题的关键，（1）设甲工程队整治河道的时间为x天，则乙工程队整治河道的时间为（20-x）天，甲工程队的工作量与乙工程队的工作量和为3 600 m，列方程，解方程即可求解；
（2）利用甲，乙两工程队的每天的工作量×时间可分别求解甲、乙工程队的工作量.
举一反三
2.一项工程甲单独做需要40天完成，乙单独做需要60天完成，甲先单独做5天，然后甲、乙两人合作，还要多少天完成这项工程？
解：设还要x天完成这项工程.
由题意，得 =1.
解得x=21.
答：还要21天完成这项工程.
典型例题
【例3】某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空. 诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房. 求该店有客房多少间，房客多少人.
解：设该店有x间客房.
由题意，得7x+7＝9x-9.
解得x＝8.
所以有房客7×8+7＝63(人).
答：该店有客房8间，房客63人.
思路点拨：根据题意设出房间数，进而用两种方法表示出总人数，根据总人数不变列出方程求解即可.
3. 寒假将近，某学校将组织七年级部分同学去亚布力参加“冰雪冬令营”.学校提前给所去学生预订房间，如果在所预订的房间里每间住3人，则有18人无法安排；每间住4人，则空出1张床.
（1）本次参加“冰雪冬令营”的学生总数为多少人？
举一反三
（2）冬令营结束时，学校准备给这些同学每人送一个售价为100元的A或B种纪念品，但实际购买时发现，A，B两种商品的售价都有变动，A种商品打八折出售，B种商品的价钱比原售价提高了20%，若实际购买B种商品费用比购买A种商品费用的2倍多600元，那么此次活动中学校购买A种商品多少个？
解：（1）设本次参加“冰雪冬令营”的学生总数为x人.
根据题意，得
解得x＝75.
答：本次参加“冰雪冬令营”的学生总数为75人.
（2）设此次活动中学校购买A种商品y个，则购买B种商品（75-y）个.
根据题意，得
2（100×0.8y）+600＝100×（1+20%）（75-y）.
解得y＝30.
答：此次活动中学校购买A种商品30个.
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第三章 一元一次方程
专题1 解一元一次方程
一、一元一次方程的定义
1. 下列各选项中，不是方程的是( )
A. 2x+5y＝6 B. 3x-2
C. x2＝1 D. 3x+5＝8
2. 若比某数的相反数大2的数是8，设该数为x，则可列方程为( )
A. -x+2＝8 B. -2x＝8
C. -x＝2+8 D. x-2＝8
B
A
3. 下列方程为一元一次方程的是( )
A. -x-3＝4 B. x2+3＝x+2
C. -1＝2 D. 2y-3x＝2
4. 关于x的方程3xm-1-2m＝0是一元一次方程，则m的值为_______.
A
2
5. 若关于x的方程（m-3）x|m|-2-m+3＝0是一元一次方程，则m的值为( )
A. m＝3 B. m＝-3
C. m＝3或-3 D. m＝2或-2
B
二、等式的基本性质
6.下列结论正确的是( )
A. 在等式3a-6=3b+5的两边都除以3，可得a-2=b+5
B. 如果2=-x，那么x=-2
C. 在等式5=0.1x的两边都除以0.1，可得x=0.5
D. 在等式7x=5x+3的两边都减去x-3，可得6x-3=4x+6
B
7. 已知ax＝ay成立，下列变式正确的( )
A. x＝y
B. ax+1＝ay-1
C. ay＝-ax
D. 2-ax＝2-ay
D
8. 下列结论中错误的是( )
A. 若a＝b，则ac-3＝bc-3
B. 若a＝b，则
C. 若x＝3，则x2＝3x
D. 若ax＝bx，则a＝b
D
9. 等式- y=4的两边同时_______，得到y＝-12.
10.若3x=- 则4x=_______.
乘-3
11. 如图D3-1-1，有三个平衡的天平，请问第三个天平“？”处放_______个
5
12. 观察下列顺序排列的等式：
9×0+1＝1；
9×1+2＝11；
9×2+3＝21；
9×3+4＝31.
猜想：第n个等式为_______________________________________（用含有n的等式表示）.
9（n-1）+n＝10（n-1）+1
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第三章 一元一次方程
第33课时 实际问题与一元一次方程(二)
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 掌握“商品中的盈亏问题”的相关概念及数量关系.
2. 掌握解决“积分问题”的一般步骤.
3. 感受方程与生活的密切联系，增强数学的应用意识.
知识重点
知识点一
销售问题中的基本公式
利润=_______－进价；
利润率= ×100%；
售价=原售价×折扣率.
售价
1. 某商品标价1 200元，打8折售出后仍盈利100元，则该商品的进价为_______元.
对点范例
860
球赛积分表问题中，总积分=胜场积分+平场积分+负场积分.
知识重点
知识点二
积分问题的典型规则
对点范例
2. 在足球比赛中，积分规则一般是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.在某次足球比赛的前11场比赛中，某队仅负一场，共积了22分.按比赛规则，则该队共胜_______场．
6
典型例题
【例1】某商场一件商品的标价是2 000元，若按标价的六折销售，仍可获利25%，求这件商品的进价．
思路点拨：解答本题的关键是找到等量关系，设此商品的进价是x元，用两种方式表示出利润，继而可得出方程.
解：设这件商品的进价为x元．
由题意，得2 000×0.6-x=25%x．
解得x=960．
答：这件商品的进价为960元．
举一反三
1. 某商品进价5 000元，按标价九折出售，仍获利400元，求该商品的标价.
解：设该商品的标价为x元.
依题意，得0.9x-5 000＝400.
移项，得0.9x＝5 400.
系数化为1，得x＝6 000.
答：该商品的标价为6 000元．
典型例题
【例2】 某商店在某一天以每个135元的价格卖出两个足球，其中一个盈利25%，另一个亏损25%，卖这两个足球总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
解：设盈利的足球进价为x元.
根据题意，得（1+25%）x＝135.
解得x＝108.
故盈利的足球进价为108元.
设亏损的足球进价为y元.
根据题意，得（1-25%）y＝135.
解得x＝180.
故亏损的足球进价为180元.
所以135×2-（108+180）＝-18（元）.
答：卖出这两个足球亏损了18元.
思路点拨：设盈利的足球进价为x元，亏损的足球进价为y元，根据一个盈利25%，另一个亏损25%，列两个方程，解方程可分别求解两个足球的进价，再利用售价-进价可求解.
举一反三
2. 一商店在某段时间以每件480元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，卖这两件衣服是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
解：设盈利20%的那件衣服的进价为x元.
依题意，得x+20%x＝480.
解得x＝400.
设亏损20%的那件衣服的进价为y元.
y-20%y＝480.
解得y＝600.
（480+480）-（400+600）＝-40（元）.
答：卖这两件衣服亏损了，亏损了40元.
典型例题
【例3】在某足球比赛的前11场中，某队保持连续不败，共积23分. 按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共胜了多少场？
解：设该队共胜了x场.
根据题意，得3x+（11-x）＝23.
解得x＝6.
答：该队共胜了6场.
思路点拨：列一元一次方程解积分问题的关键是抓住胜的场数与平的场数的关系，根据积分总数列出方程. 可设该队共胜了x场，根据11场比赛保持连续不败，那么该队平场的场数为11-x，根据题意列出等量关系式，解方程即可.
3. 甲、乙两足球队开展对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 甲队与乙队一共比了10场，甲队保持了不败纪录，一共得了22分. 甲队胜了多少场？平了多少场？
举一反三
解：设甲队胜了x场，则平了(10-x)场.
根据题意，得3x+(10-x)=22.
解得x=6.
则10-x=10-6=4.
答：甲队胜了6场，平了4场.
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第三章 一元一次方程
第26课时 等式的性质
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 了解等式的概念和等式的两条性质并能运用这两条性质解简单的一元一次方程.
2. 经历等式的两条性质的探究过程，培养观察、归纳的能力.
3. 在运用等式的性质把简单的一元一次方程化成x＝a的形式的过程中，渗透化归的数学思想.
表示两个数或两个式子_______关系的式子叫做等式.两个数或两个式子之间用等号“=”连接起来.
知识重点
知识点一
等式的概念
相等
对点范例
1. 下列各式中是等式的有________(填序号).
①5x+2=3x-1；②-7+5=-2；③8-a；
④x+2y≠0；⑤ (a+b)h；⑥2a+b=b+2a.
①②⑥
等式的性质1：等式两边_______（或_______）同一个_______（或_______），结果仍相等；
等式的性质2：等式两边_______同一个_______，或_______同一个_______的数，结果仍相等.
知识重点
知识点二
等式的性质
加
减
数
式子
乘
数
除以
不为0
对点范例
2. 已知a＝b，根据等式的性质填空.
（1）a+7＝b+_______；
（2）a-c＝_______；
（3）-3a＝_______；
（4） =___________.
7
b-c
-3b
方法步骤：
（1）根据_______________，方程两边都加上或减去方程左边的常数项，或都加上或减去方程右边含未知数的项；
（2）合并同类项；
（3）根据________________，方程两边都除以一次项的系数，得到方程的解.
知识重点
知识点三
利用等式的性质解方程
等式的性质1
等式的性质2
对点范例
3. （1）若3x-2＝6，则3x＝6+_______，其根据是_______________；
（2）若-3x＝15，将等式两边除以_______，得x＝-5，根据是___________________.
2
等式的性质1
-3
等式的性质2
典型例题
【例1】下列各式中是等式的有___________（填序号）.
①3-2=1;②2x≠0;③6- x;
④a-b=-(b-a);⑤3x+1=x-2;
⑥x=0.
思路点拨：根据等式的定义对各小题进行逐一分析即可.
①④⑤⑥
举一反三
1. 下列各式中是等式的有_______（填序号）.
①x+1;②x+6= ③5-y= x;④3x≤0;
⑤|a|=1;⑥ab.
②③⑤
典型例题
【例2】用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的.
(1)若3x+5=8，则3x=8-_______；
(2)若-4x= 则x=___________.
解:(1)根据等式的性质1，等式两边同时减5.
(2)根据等式的性质2，等式两边同时除以-4.
5
思路点拨：根据等式的性质，（1）是等式两边同时减5；
（2）是等式两边同时除以-4. 即可解答.
举一反三
2. 根据等式的性质填空，并说明运用了等式的哪条性质.
(1)如果5x-7=8，那么5x=8+______.这运用了______________.
(2)如果7x＝14，那么x＝_______.这运用了______________.
7
等式的性质1
2
等式的性质2
典型例题
解：两边同时加6，得x＝18.
【例3】利用等式的性质解下列方程：
（1）x-6＝12；
（2） x=-12；
解：两边同时除以 得x＝-16.
（3）2- x=6；
（4）4x+8＝-14x.
解：两边同时减2，得 x＝4.
两边同时乘-3，得x＝-12.
解：两边同时加14x，得18x+8＝0，
两边同时减8，得18x＝-8，
两边同时除以18，得x=
思路点拨：（1）两边同时加6即可求解；
（2）两边同时除以 即可求解；
（3）先两边同时减2，然后两边同时乘-3即可求解；
（4）先两边同时加14x，然后两边同时除以18即可求解.
举一反三
3. 用等式的性质解下列方程：
（1）- x＝4;
（2）3＝2x+1;
解：两边同时乘-2,得x=-8.
解：两边同时减2x,得3-2x=1.
两边同时减3,得-2x=-2.
两边同时除以-2，得x＝1.
（3） x+3＝-6;
（4）2x＝5x-6．
解：两边同时减3，得 x＝-9.
两边同时乘3，得x＝-27.
解：两边同时减5x,得2x-5x＝-6.
化简,得-3x＝-6.
两边同时除以-3,得x＝2．
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第三章 一元一次方程
第31课时 解一元一次方程(二)——
去括号与去分母(三)
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 熟练掌握一元一次方程的解法.
2. 体会解方程中化归和程序化的思想方法.
（1）__________；
（2）__________；
（3）__________；
（4）合并同类项；
（5）系数化为1.
知识重点
知识点一
解一元一次方程的一般步骤
去分母
去括号
移项
对点范例
1. 解方程：
解：去分母，得_______________________________.
去括号，得_______________________.
移项，得___________________.
合并同类项，得___________________.
系数化为1，得______________.
3（3x+5）＝6-2（2x-1）
9x+15＝6-4x+2
9x+4x＝6+2-15
13x＝-7
x＝-
典型例题
【例1】方程 =1的解为( )
A. x=1 B. x=-1
C. x=10 D. x=-10
思路点拨：方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得出结果.
B
举一反三
1.四位同学解方程 去分母分别得到下面的四个方程：
①2x-2-x＋2＝12-3x；
②2x-2-x-2＝12-3x；
③2(x-1)-(x＋2)＝3(4-x)；
④2(x-1)-2(x＋2)＝3(4-x).
其中有错误的是( )
A.①② B.①③ C.②④ D.①④
D
典型例题
【例2】若式子 比 的值大4，求x的值.
解：根据题意，得 =4.
去分母，得4(x+3)-3(x-4)=48.
去括号，得4x+12-3x+12＝48.
移项、合并同类项，得x＝24.
思路点拨：根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值.
举一反三
2. 若式子 比 的值小1，求k的值.
解：根据题意，得
去分母，得2(k+1)+6=3(3k+1).
去括号，得2k+2+6＝9k+3.
移项、合并同类项，得-7k＝-5.
系数化为1，得k=
典型例题
【例3】 解方程：
（1）5（x-6）＝-4x-3；
解：去括号，得5x-30＝-4x-3.
移项，得5x+4x＝30-3.
合并同类项，得9x＝27.
系数化为1，得x＝3.
（2）
解：去分母，得2（2x+1）＝6+（1-10x）.
去括号，得4x+2＝6+1-10x.
移项，得4x+10x＝6+1-2.
合并同类项，得14x＝5.
系数化为1，得x=
思路点拨：（1）方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；（2）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可.
3. 解方程：
（1）x-3（x+2）＝6；
举一反三
解：去括号，得x-3x-6＝6.
移项，得x-3x＝6+6.
合并同类项，得-2x＝12.
系数化为1，得x＝-6.
（2）
解：去分母，得4（1-y）＝36-3（y+2）.
去括号，得4-4y＝36-3y-6.
移项，得-4y+3y＝36-6-4.
合并同类项，-y＝26.
系数化为1，得y＝-26.
典型例题
【例4】已知a，b，c，d为有理数，现规定一种新运算：
=ad-bc，若 =1，求x的值.
思路点拨：利用题中的新定义，将已知等式列成方程，解一元一次方程即可求出x的值.
解：根据题中的新定义运算，得
（5x+1）- （6-x）＝1.
去分母，得5（5x+1）-3（6-x）＝15.
去括号，得25x+5-18+3x＝15.
移项、合并同类项，得28x＝28.
系数化为1，得x＝1.
举一反三
4. 现定义一种新运算，对于任意有理数a，b，c，d满足
=ad-bc，若对于含未知数x的式子满足 =3，求未知数x的值.
解：因为 =3，
所以3（-2x+1）-3（2x-1）＝3.
去括号，得-6x+3-6x+3＝3.
移项、合并同类项，得-12x＝-3.
系数化为1，得x＝
谢 谢
