【核心素养目标】27.2.3 相似三角形应用举例 学案
文档属性
| 名称 | 【核心素养目标】27.2.3 相似三角形应用举例 学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-20 15:57:08 | ||
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文档简介
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27.2.3 相似三角形应用举例 导学案
课题 27.2.3 相似三角形应用举例 单元 第27单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 进一步巩固相似三角形的知识。掌握和综合运用两个三角形相似解决实际问题。综合运用判定三角形相似的条件和三角形相似的性质解决问题，增强用数学的意识，加深对判定三角形相似的条件和三角形相似的性质的理解．
核心素养分析 培养学生把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型进一步了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力．
学习目标 1.进一步巩固相似三角形的知识；能够运用三角形相似的知识解决不能直接测量的物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽)问题、2.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型进一步了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力．
重点 运用相似三角形解决实际问题．
难点 在实际问题中建立数学模型．
教学过程
课前预学 引入思考给我一个支点我可以撬起整个地球!——阿基米德你知道其中的原理吗？试一试解决：如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高____________m。 我们知道数学源于生活又应用于生活，那么今天我们就一起来探索相似三角形在生活中的奥秘吧！ 了解平行投影自无穷远处发的光相互平行地向前行进，称平行光。自然界中最标准的平行光是太阳光。在平行光线的照射下,物体所产生的影子叫平行投影.在阳光下，物体的高度与影长有有什么关系 （教师展示PPT在同时刻和不同时刻的高度与影长）同一时刻物体的高度与影长成正比，同一物体在不同的时刻影长不相等。
新知讲解 提炼概念测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解。 在同一时刻，太阳光下不同物体的高度之比与其影长之比相等．典例精讲 例1 (测量金字塔高度的问题)根据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形来测量金字塔的高度．如图，木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度．总结：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决。 物高 ：杆高 = 物影 ：杆影或 物高：物影=杆高：杆影 例2 (测量河宽的问题)如图，为了估算河的宽度，我们可在河对岸选定一个目标点P，在近岸处取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与岸垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直于PS的直线b交于点R，测得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m．求河的宽度PQ.例3 已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8m和CD＝12m，两树底部的距离BD＝5m．一个人估计自己眼睛距地面1.6m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？设观察者眼晴的位置（视点）为F，观察者的水平视线为FG，∠CFK是观察点C的仰角，∠AFH是观察点A的仰角，区域Ⅰ和区域Ⅱ都在观察者看不到的区域（盲区）之内.如果观察者继续再往前走，那么就看不到C点了.利用相似相似三角形测高测量不能到达顶部且有遮挡物的物体的高度，可以从人眼所在的部位向物体作垂线，根据人、物体都与地面垂直构造相似三角形数学模型，利用相似三角形对应边的比相等解决问题．
课堂练习 巩固训练 1. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( ) A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D . 2.2 m2. 如图，要测量旗杆 AB 的高度， 可在地面上竖一根竹竿 DE，测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地面上的影长即 可，则下面能用来求AB长的等式是( ) 3. 如图，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝ 20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平面镜的距离 SA 为 .4.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米，EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米，到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度.5.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米 拓展: 已知教学楼高为12米，在距教学楼9米的北面有一建筑物乙，此时教学楼会影响乙的采光吗？答案引入思考利用太阳光测量物体的高度需要注意：（1）由于太阳相对于地面的位置在不停地改变，影长也随着太阳位置的变化而发生变化，因此要在同一时刻测量影长．（2）被测物体的底部必须在可以到达的地方，否则，测不到被测物体的影长，从而计算不出物体的高． 提炼概念 典例精讲 例1解法一：∵BA∥DE，∴∠BAO＝∠EDF.又∵∠AOB＝∠DFE＝90°，∴△ABO∽△DEF，∴＝，∴BO＝＝＝134.答：此金字塔的高度为134 m.问：你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？(如用身高等)解法二：用镜面反射．(如图，点A是个小镜子，根据光的反射定律：由入射角等于反射角构造相似三角形，解法略)例2分析：设河宽PQ长为x m，由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到相似三角形，因此有＝，即＝.再解x的方程可求出河宽．解法一：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，∴△PQR∽△PST，∴＝，即＝，即＝，∴PQ×90＝(PQ＋45) ×60，解得PQ＝90，因此河的宽度PQ为90 m.问：你还可以用什么方法来测量河的宽度？解法二：如图，构造相似三角形．(解法略)例3 解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条 直线上．由题意可知，AB⊥l，CD⊥l,∴ AB∥CD，△AEH∽△CEK.∴，即解得 EH＝8（m）.由此可知，如果观察者继续前进，即她与左边树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它．巩固训练 1.A2.C3.124.解：由题意可得：△DEF∽△DCA，∴∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，∴ 解得：AC = 10，AB = AC + BC = 10 + 1.5 = 11.5 （m）.答：旗杆的高度为 11.5 m.5.
课堂小结 本节课学习了什么内容？一、相似三角形的应用主要有如下两个方面1.测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的高度)；2.测距(不能直接测量的两点间的距离)．二、测高的方法测量不能到达顶部的物体的高度,构造相似三角形求解．三、测距的方法测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解．
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27.2.3 相似三角形应用举例 导学案
课题 27.2.3 相似三角形应用举例 单元 第27单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 进一步巩固相似三角形的知识。掌握和综合运用两个三角形相似解决实际问题。综合运用判定三角形相似的条件和三角形相似的性质解决问题，增强用数学的意识，加深对判定三角形相似的条件和三角形相似的性质的理解．
核心素养分析 培养学生把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型进一步了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力．
学习目标 1.进一步巩固相似三角形的知识；能够运用三角形相似的知识解决不能直接测量的物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽)问题、2.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型进一步了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力．
重点 运用相似三角形解决实际问题．
难点 在实际问题中建立数学模型．
教学过程
课前预学 引入思考给我一个支点我可以撬起整个地球!——阿基米德你知道其中的原理吗？试一试解决：如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高____________m。 我们知道数学源于生活又应用于生活，那么今天我们就一起来探索相似三角形在生活中的奥秘吧！ 了解平行投影自无穷远处发的光相互平行地向前行进，称平行光。自然界中最标准的平行光是太阳光。在平行光线的照射下,物体所产生的影子叫平行投影.在阳光下，物体的高度与影长有有什么关系 （教师展示PPT在同时刻和不同时刻的高度与影长）同一时刻物体的高度与影长成正比，同一物体在不同的时刻影长不相等。
新知讲解 提炼概念测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解。 在同一时刻，太阳光下不同物体的高度之比与其影长之比相等．典例精讲 例1 (测量金字塔高度的问题)根据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形来测量金字塔的高度．如图，木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度．总结：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决。 物高 ：杆高 = 物影 ：杆影或 物高：物影=杆高：杆影 例2 (测量河宽的问题)如图，为了估算河的宽度，我们可在河对岸选定一个目标点P，在近岸处取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与岸垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直于PS的直线b交于点R，测得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m．求河的宽度PQ.例3 已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8m和CD＝12m，两树底部的距离BD＝5m．一个人估计自己眼睛距地面1.6m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？设观察者眼晴的位置（视点）为F，观察者的水平视线为FG，∠CFK是观察点C的仰角，∠AFH是观察点A的仰角，区域Ⅰ和区域Ⅱ都在观察者看不到的区域（盲区）之内.如果观察者继续再往前走，那么就看不到C点了.利用相似相似三角形测高测量不能到达顶部且有遮挡物的物体的高度，可以从人眼所在的部位向物体作垂线，根据人、物体都与地面垂直构造相似三角形数学模型，利用相似三角形对应边的比相等解决问题．
课堂练习 巩固训练 1. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( ) A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D . 2.2 m2. 如图，要测量旗杆 AB 的高度， 可在地面上竖一根竹竿 DE，测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地面上的影长即 可，则下面能用来求AB长的等式是( ) 3. 如图，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝ 20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平面镜的距离 SA 为 .4.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米，EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米，到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度.5.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米 拓展: 已知教学楼高为12米，在距教学楼9米的北面有一建筑物乙，此时教学楼会影响乙的采光吗？答案引入思考利用太阳光测量物体的高度需要注意：（1）由于太阳相对于地面的位置在不停地改变，影长也随着太阳位置的变化而发生变化，因此要在同一时刻测量影长．（2）被测物体的底部必须在可以到达的地方，否则，测不到被测物体的影长，从而计算不出物体的高． 提炼概念 典例精讲 例1解法一：∵BA∥DE，∴∠BAO＝∠EDF.又∵∠AOB＝∠DFE＝90°，∴△ABO∽△DEF，∴＝，∴BO＝＝＝134.答：此金字塔的高度为134 m.问：你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？(如用身高等)解法二：用镜面反射．(如图，点A是个小镜子，根据光的反射定律：由入射角等于反射角构造相似三角形，解法略)例2分析：设河宽PQ长为x m，由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到相似三角形，因此有＝，即＝.再解x的方程可求出河宽．解法一：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，∴△PQR∽△PST，∴＝，即＝，即＝，∴PQ×90＝(PQ＋45) ×60，解得PQ＝90，因此河的宽度PQ为90 m.问：你还可以用什么方法来测量河的宽度？解法二：如图，构造相似三角形．(解法略)例3 解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条 直线上．由题意可知，AB⊥l，CD⊥l,∴ AB∥CD，△AEH∽△CEK.∴，即解得 EH＝8（m）.由此可知，如果观察者继续前进，即她与左边树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它．巩固训练 1.A2.C3.124.解：由题意可得：△DEF∽△DCA，∴∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，∴ 解得：AC = 10，AB = AC + BC = 10 + 1.5 = 11.5 （m）.答：旗杆的高度为 11.5 m.5.
课堂小结 本节课学习了什么内容？一、相似三角形的应用主要有如下两个方面1.测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的高度)；2.测距(不能直接测量的两点间的距离)．二、测高的方法测量不能到达顶部的物体的高度,构造相似三角形求解．三、测距的方法测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解．
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