27.2.3 相似三角形应用举例 课件（共31张PPT）
文档属性
| 名称 | 27.2.3 相似三角形应用举例 课件（共31张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-20 15:51:23 | ||
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文档简介
(共31张PPT)
27.2.3 相似三角形应用举例
人教版九年级下册
教学目标
教学目标：1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的
高度和宽度.
2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角
形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.
教学重点:能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度
和宽度.
教学难点：进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形
的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.
新知导入
情境引入
如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高 m。
8
给我一个支点我可以撬起整个地球!
阿基米德:
O
B
D
C
A
┏
┛
1m
16m
0.5m
？
新知讲解
合作学习
尝试画出影子
甲
乙
丙
如何运用“三角形的相似知识”来说明“平行光线的照射下，同一时刻物高与影长成比例”？
A
B
C
D
E
F
探究一：利用相似三角形测量高度
据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
例1、如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.
怎样测出
OA 的长？
因此金字塔的高为134m.
解析：太阳光是平行光线，
因此∠BAO= ∠ EDF，
又 ∠ AOB=∠DFE=90°，
∴△ABO∽△DEF
BO：EF=OA：FD
表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
测高方法一：
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
归纳总结：
合作探究
A
F
E
B
O
┐
┐
思考1：还可以有其他测量方法吗？
OB
EF
=
OA
AF
△ABO∽△AEF
OB =
平面镜
测高方法二：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
探究二：利用相似三角形测量宽度
例2、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，
请根据这些数据，计算河宽 PQ.
P
R
Q
S
b
T
a
PQ×90 = (PQ+45)×60.
解得 PQ = 90.
因此，河宽大约为 90 m.
解：∵∠PQR =∠PST =90°，∠P=∠P，
∴△PQR∽△PST.
P
R
Q
S
b
T
a
即 ，
还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？
45m
90m
60m
方法二：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．
此时如果测得 BD＝80 m，DC＝40 m，EC＝45 m，
求两岸间的距离 AB．
E
A
D
C
B
40 m
45 m
80 m
解：∵ ∠ADB＝∠EDC，
∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴ △ABD∽△ECD.
∴ ， 即 ，
解得 AB =90.
因此，两岸间的距离大约
为90 m.
E
A
D
C
B
40 m
45 m
80 m
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.
归纳总结：
测宽方法：
提炼概念
典例精讲
例3、如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了
探究三：利用相似三角形解决视线遮挡问题
分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就根本看不到 C 点了.
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH∽△CEK.
∴ ，
即
解得 EH=8.
归纳概念
测量高度
图中找相似
相似得比例
比例来计算
计算求线段（高度，宽度等）
课堂练习
1. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( )
A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D . 2.2 m
A
2. 如图，要测量旗杆 AB 的高度， 可在地面上竖一根竹竿 DE，测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地面上的影长即
可，则下面能用来求AB长的等式是( )
A． B．
C． D．
C
3. 如图，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝ 20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平面镜的距离 SA 为 .
12 cm
4. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米，EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米，到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度.
A
B
C
D
G
E
F
A
B
C
D
G
E
F
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，
则
解得：AC = 10，
故 AB = AC + BC
= 10 + 1.5 = 11.5 (米).
答：旗杆的高度为 11.5 米.
∴
5.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米
E
D
6.4
1.2
？
1.5
1.4
A
B
c
物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分
解：作DE⊥AB于E得
∴AE=8
∴AB=8+1.4=9.4米
1.2
1.5
甲
拓展: 已知教学楼高为12米，在距教学楼9米的北面有一建筑物乙，此时教学楼会影响乙的采光吗？
乙
9
12
Ａ
Ｂ
Ｃ
12
9.6
D
E
0.6
1.2
1.5
Ａ
Ｂ
12
9.6
D
E
0.6
C
解:∵太阳光是平行光线
∴BC=9.6
∴
∵9.6＞9
∴乙的采光会受影响．
∴DE=0.75
∵EC=9.6-9=0.6
∴
可以计算出甲投在乙墙壁上的影长吗？
课堂总结
一、相似三角形的应用主要有如下两个方面
1.测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的高度)；
2.测距(不能直接测量的两点间的距离)．
二、测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,构造相似三角形求解．
三、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解．
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin
27.2.3 相似三角形应用举例
人教版九年级下册
教学目标
教学目标：1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的
高度和宽度.
2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角
形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.
教学重点:能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度
和宽度.
教学难点：进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形
的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.
新知导入
情境引入
如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高 m。
8
给我一个支点我可以撬起整个地球!
阿基米德:
O
B
D
C
A
┏
┛
1m
16m
0.5m
？
新知讲解
合作学习
尝试画出影子
甲
乙
丙
如何运用“三角形的相似知识”来说明“平行光线的照射下，同一时刻物高与影长成比例”？
A
B
C
D
E
F
探究一：利用相似三角形测量高度
据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
例1、如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.
怎样测出
OA 的长？
因此金字塔的高为134m.
解析：太阳光是平行光线，
因此∠BAO= ∠ EDF，
又 ∠ AOB=∠DFE=90°，
∴△ABO∽△DEF
BO：EF=OA：FD
表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
测高方法一：
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
归纳总结：
合作探究
A
F
E
B
O
┐
┐
思考1：还可以有其他测量方法吗？
OB
EF
=
OA
AF
△ABO∽△AEF
OB =
平面镜
测高方法二：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
探究二：利用相似三角形测量宽度
例2、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，
请根据这些数据，计算河宽 PQ.
P
R
Q
S
b
T
a
PQ×90 = (PQ+45)×60.
解得 PQ = 90.
因此，河宽大约为 90 m.
解：∵∠PQR =∠PST =90°，∠P=∠P，
∴△PQR∽△PST.
P
R
Q
S
b
T
a
即 ，
还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？
45m
90m
60m
方法二：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．
此时如果测得 BD＝80 m，DC＝40 m，EC＝45 m，
求两岸间的距离 AB．
E
A
D
C
B
40 m
45 m
80 m
解：∵ ∠ADB＝∠EDC，
∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴ △ABD∽△ECD.
∴ ， 即 ，
解得 AB =90.
因此，两岸间的距离大约
为90 m.
E
A
D
C
B
40 m
45 m
80 m
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.
归纳总结：
测宽方法：
提炼概念
典例精讲
例3、如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了
探究三：利用相似三角形解决视线遮挡问题
分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就根本看不到 C 点了.
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH∽△CEK.
∴ ，
即
解得 EH=8.
归纳概念
测量高度
图中找相似
相似得比例
比例来计算
计算求线段（高度，宽度等）
课堂练习
1. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( )
A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D . 2.2 m
A
2. 如图，要测量旗杆 AB 的高度， 可在地面上竖一根竹竿 DE，测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地面上的影长即
可，则下面能用来求AB长的等式是( )
A． B．
C． D．
C
3. 如图，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝ 20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平面镜的距离 SA 为 .
12 cm
4. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米，EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米，到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度.
A
B
C
D
G
E
F
A
B
C
D
G
E
F
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，
则
解得：AC = 10，
故 AB = AC + BC
= 10 + 1.5 = 11.5 (米).
答：旗杆的高度为 11.5 米.
∴
5.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米
E
D
6.4
1.2
？
1.5
1.4
A
B
c
物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分
解：作DE⊥AB于E得
∴AE=8
∴AB=8+1.4=9.4米
1.2
1.5
甲
拓展: 已知教学楼高为12米，在距教学楼9米的北面有一建筑物乙，此时教学楼会影响乙的采光吗？
乙
9
12
Ａ
Ｂ
Ｃ
12
9.6
D
E
0.6
1.2
1.5
Ａ
Ｂ
12
9.6
D
E
0.6
C
解:∵太阳光是平行光线
∴BC=9.6
∴
∵9.6＞9
∴乙的采光会受影响．
∴DE=0.75
∵EC=9.6-9=0.6
∴
可以计算出甲投在乙墙壁上的影长吗？
课堂总结
一、相似三角形的应用主要有如下两个方面
1.测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的高度)；
2.测距(不能直接测量的两点间的距离)．
二、测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,构造相似三角形求解．
三、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解．
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
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