2.3.3点到直线的距离公式-2.3.4两平行线间的距离公式-【帮课堂】2022-2023学年高二数学《考点·题型·技巧》精讲与精练（学案+练习）（含解析）
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| 名称 | 2.3.3点到直线的距离公式-2.3.4两平行线间的距离公式-【帮课堂】2022-2023学年高二数学《考点·题型·技巧》精讲与精练（学案+练习）（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-20 18:13:25 | ||
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文档简介
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2．3.3 点到直线的距离公式
2．3.4 两条平行直线间的距离
【考点梳理】
考点 点到直线的距离、两条平行线间的距离
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长
图示
公式(或求法) 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝
思考1 点P (x0，y0)到直线x＝a和直线y＝b的距离怎样计算？
答案 P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|a－x0|；
P(x0，y0)到y＝b的距离d＝|b－y0|.
思考2 两直线都与坐标轴平行，可以利用公式求距离吗？
答案 可以. 应用公式时要把直线方程都化为一般式方程．
【题型归纳】
题型一：求点到直线的距离
1．在平面直角坐标系中，原点到直线的距离等于（ ）
A．1 B． C． D．3
2．已知点，点Q是直线l：上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．3
3．已知斜率为的直线过直线与交点，则原点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
题型二：已知点到直线距离求参数
4．若点到直线：的距离为3，则（ ）
A．3 B．2 C． D．1
5．若点到直线的距离是，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．0或 D．或1
6．若点到直线的距离等于1，则（ ）
A．2 B． C．2或 D．1或
题型三：求到两点距离相等的直线方程
7．直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是( )
A． B．
C．或 D．或
8．“”是“两点到直线的距离相等”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知，，直线.若点到直线的距离等于点到直线的距离，则（ ）
A．或6 B． C．0 D．0或
题型四：求平行线间的距离
10．直线：与：之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
11．两条平行直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（ ）
A．或11 B．或10
C．或12 D．或11
【双基达标】
13．点P(-1，-1)到直线的距离为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
14．已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
16．已知直线：与直线关于直线：对称，直线与直线：垂直，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
17．已知点，，动点P在直线上，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
18．已知的边所在直线的方程是，边所在直线的方程是，边所在直线的方程是.若夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
19．已知点和直线，则点P到直线l的距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．点到直线和直线的距离相等，则点P的坐标应满足的是（ ）．
A．或 B．或
C． D．
21．已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为（ ）
A．－6或 B．－或1 C．－或 D．0或
22．直线，为直线上动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
23．在直角坐标平面内，与点距离为2，且与点距离为3的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
24．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则三角形PQR周长等于（ ）
A． B． C． D．
25．在平面直角坐标系中，已知点满足，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
26．直线关于原点对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
27．若直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
28．点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为（ ）
A． B．
C． D．0
29．已知点P，Q分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为．
A． B． C． D．
30．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【高分突破】
一、单选题
31．两平行直线和间的距离是（ ）
A． B． C． D．
32．已知直线，则直线之间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
33．若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数（ ）
A． B． C． D．
34．直线关于对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
35．直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（ ）
A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9
36．若直线与直线之间的距离不大于，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．或
37．在平面直角坐标系中，若双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为
A． B． C． D．
二、多选题
38．已知点P是直线上的动点，定点，则下列说法正确的是（ ）
A．线段PQ的长度的最小值为
B．当PQ最短时，直线PQ的方程是
C．当PQ最短时P的坐标为
D．线段PQ的长度可能是
39．已知点到直线的距离相等，则实数m的值可以是（ ）
A． B． C． D．
40．若两条平行直线：与：之间的距离是，则的可能值为（ ）
A． B． C． D．
41．(多选)若点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为1，则a的值为（ ）
A．0 B．
C．5 D．－
三、填空题
42．已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为____________
43．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.
44．点到直线的距离为__________．
45．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离为，则l1的方程为________．
46．点到直线的距离为______.
47．已知点，到经过点的直线l的距离相等，则l的方程为__________．
四、解答题
48．一条光线从点P（6，4）射出，与x轴相交于点（2，0），经x轴反射后与y轴交于点H.
(1)求反射光线QH所在直线的方程；
(2)求P点关于直线QH的对称点P'的坐标.
49．求点到直线的距离．
50．若过点P的两直线，斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”.
（1）若直线，是一组“共轭线对”，当两直线夹角最小时，求两直线倾斜角；
（2）若点，，分别是直线，，上的点（A，B，C，P，Q，R均不重合），且直线，是一组“共轭线对”，直线，是一组“共轭线对”，直线，是一组“共轭线对”，求点P的坐标；
（3）若直线，是一组“共轭线对”，其中点，当两直线旋转时，求原点到两直线距离之积的取值范围.
51．已知的三个顶点分别为，，．
（1）若过的直线将分割为面积相等的两部分，求b的值；
（2）一束光线从点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射到x轴上的F点，最后再经x轴反射，反射光线所在直线为l，证明直线l经过一定点，并求出此定点的坐标．
52．已知点.
（1）求过点且与原点的距离为2的直线的方程.
（2）是否存在过点且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.
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试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
直接由点到直线的距离公式求解即可.
【详解】
原点到直线的距离为.
故选：B.
2．B
【解析】
【分析】
由点到直线的距离公式即可求解.
【详解】
解：由题意，的最小值为点到直线l：的距离，
故选：B.
3．A
【解析】
【分析】
求出两直线的交点，利用点斜式得到直线方程，进而利用点到直线距离公式得到答案.
【详解】
联立，，解得，
又直线斜率为，
∴直线的方程为，即，
∴原点到直线的距离为.
故选：A
4．B
【解析】
【分析】
利用距离公式可求的值.
【详解】
由题设可得，结合可得，
故选：B.
5．D
【解析】
利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】
由题意可得，
解得.
故选：D
6．C
【解析】
【分析】
根据点到直线距离公式列式即可求出.
【详解】
点到直线的距离等于1，
，解得.
故选：C.
7．C
【解析】
【分析】
由题可知l斜率存在，可设l为：，根据点到直线距离公式列出方程求出斜率k即可.
【详解】
显然直线l的斜率存在，故设直线l为：，即，
则或或，
∴l方程为：，
.
故选：C.
8．A
【解析】
【分析】
两点到直线距离相等分两种情况，或过的中点，结合斜率和中点公式即可求解，再由命题的充分、必要条件判断即可.
【详解】
“两点到直线的距离相等”“或过的中点”.
当时，由得，；
当过的中点时，由的中点为得，.
所以“两点到直线的距离相等”“”，
故选：A.
9．D
【解析】
利用点到直线的距离公式列方程，解方程求得的值.
【详解】
由题可知，解得或.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.
10．B
【解析】
【分析】
先判断与平行，再由平行线间的距离公式求解即可.
【详解】
由可得，即与平行，故与之间的距离为.
故选：B.
11．C
【解析】
【分析】
根据两直线平行求出，再利用两平行直线之间的距离公式可求出结果.
【详解】
因为直线与直线平行,
所以,解得,
将化为,
所以两平行直线与之间的距离为.
故选：C
12．A
【解析】
【分析】
利用平行线间距离公式进行求解即可.
【详解】
因为两条平行线与之间的距离是2，
所以，或，
故选：A
13．B
【解析】
【分析】
由点到直线距离公式求解.
【详解】
由点到直线的距离公式可得，
，
故选：B
14．A
【解析】
根据直线方程得到定点A的坐标，设其关于的对称点坐标，列出方程组，解之即可.
【详解】
直线即，故，
设点关于的对称点坐标为．
则解得．
点关于的对称点坐标为．
故选：A．
15．C
【解析】
首先求得直线与直线的交点的坐标，利用到直线的距离相等列方程，解方程求得点的坐标.利用到直线的距离以及的长，求得三角形的面积.
【详解】
直线的方程为，即.
由解得.
设，直线的方程分别为 ，即
，.根据角平分线的性质可知，到直线的距离相等，所以
，
，由于，所以上式可化为，两边平方并化简得
，解得（），所以.
所以到直线的距离为，而，所以.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查直线方程的求法，考查直线与直线交点坐标，考查点到直线距离公式、两点间的距离公式，考查角平分线的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
16．B
【解析】
【分析】
利用直线与直线：垂直，求得的斜率，然后求得与的交点坐标，在直线上取点，求出该点关于的对称点，利用斜率公式求得的值.
【详解】
解：直线与直线：垂直，则，即，
∵直线：与直线关于直线：对称，
∵由得得交点坐标，
在直线上取点，设该点关于对称的点为，则，得，故，解得，
故选：B.
17．C
【解析】
【分析】
求得关于直线的对称点，利用两点间的距离公式求得的最小值.
【详解】
关于直线的对称点的坐标为，
则，
则的最小值是.
故选：C
18．B
【解析】
【分析】
画出示意图，根据题意判断，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A，B，进而求出答案.
【详解】
联立直线方程，易得.如图所示，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A，B，又两平行直线的斜率为1，直线的斜率为，所以线段的长度就是过A，B两点的平行直线间的距离，易得，故两条平行直线间的距离的最小值是.
故选：B.
19．A
【解析】
【分析】
先求得直线的定点，进而求得点P到直线l的最大距离，然后检验点是否可能在直线上即可
【详解】
可化为：
设直线的定点为，点P到直线l的距离为，则有：
可得：为直线的定点
则有：，此时为点P到直线l的最大距离
若在直线上，则有：，即
可得：不可能在直线上，则有：
综上可得：
故选：A
20．A
【解析】
【分析】
利用点到直线的距离求解.
【详解】
解：因为点到直线和直线的距离相等，
所以，
化简得：或，
故选：A
21．A
【解析】
【分析】
利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】
解析：，
即|3m＋5|＝|7－m|，解得m＝－6或．
故选：A
22．C
【解析】
【分析】
根据题意，所求最值即为到直线距离的平方，即可求解.
【详解】
解：由题意得：表示到的距离的平方,而为直线上动点,所以的最小值，即为到直线距离的平方，即，
故选：C
23．C
【解析】
【分析】
根据直线是否存在斜率，分类讨论，利用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】
当直线不存在斜率时，设为，由题意可知：且，
没有实数使得两个式子同时成立；
当直线存在斜率时，设直线方程为：，
点到该直线的距离为2，所以有，
点到该直线的距离为3，所以有，
由得：或，
当时，代入中，得，
该方程的判别式，该方程有两个不相等的实数根，
当时，代入中，得，
该方程的判别式，该方程有两个相等的实数根，
所以这样的直线共有三条，
故选：C.
【点睛】
关键点睛：本题的关键是解方程组.
24．A
【解析】
【分析】
建立如图所求的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点坐标，关于轴对称性坐标，由反射性质四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即得．
【详解】
建立如图所求的直角坐标系，得，直线方程为，的重心为，
设，关于直线的对称为，
则，解得，则，
易知关于轴的对称点为，根据光线反射原理知四点共线，
∴直线的方程为，即，又直线过，
∴，解得或（舍去），，
∴，，
．
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线方程的应用，解题关键是利用对称性，把的三边转化为到同一条直线上，利用直线方程求得点位置，然后得路程的最小值．
25．C
【解析】
【分析】
根据直线过定点确定出对于给定的一点，取最大值时且，然后根据点为正方形上任意一点求解出，由此可知.
【详解】
直线过定点，
对于任意确定的点，
当时，此时，
当不垂直时，过点作，此时，如图所示：
因为，所以，所以，
由上可知：当确定时，即为，且此时；
又因为在如图所示的正方形上运动，所以，
当取最大值时，点与重合，此时，
所以，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键在于利用图像分析取最大值时与直线的位置关系，通过位置关系的分析可将问题转化为点到点的距离问题，根据图像可直观求解.
26．A
【解析】
由直线上任意两点，求出其关于原点对称的点，再求出斜率，进而得出所求方程.
【详解】
点在直线上，则在所求直线上
所求直线的斜率，则所求直线方程为
故选：A
27．C
【解析】
【分析】
根据两条直线平行可得，求出，再利用两平行线之间的距离即可求解.
【详解】
直线与直线平行，
则，且，
求得，两直线即为直线与直线，
它们之间的距离为，
故选：C．
28．B
【解析】
【分析】
直接运用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】
点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为，
故选：B
29．B
【解析】
【分析】
设，则四边形为平行四边形，故而就是的最小值，又的最小值就是.
【详解】
因为，故，
，故，所以，
又，所以，故四边形为平行四边形，
，
因为，当且仅当三点共线时等号成立，
的最小值为，选B.
【点睛】
本题考查坐标平面中线段和的最值，注意利用几何性质把问题转化为一个动点（在直线上）与两个定点之间的连线段的和的最值，这类问题属于中档题.
30．C
【解析】
【分析】
由点到直线的距离表示出，利用辅助角公式和绝对值的三角不等式化简得，即可求出的最大值.
【详解】
由题意，点到直线的距离为，
则，
其中，，
所以当且仅当，时，取得最大值，
即.
故选：C
【点睛】
本题主要考查点到直线的距离公式、三角函数性质、辅助角公式和绝对值的三角不等式的应用，考查学生的转化和计算能力，属于中档题.
31．A
【解析】
【分析】
先把直线化简得，然后利用两平行线间的距离公式求解即可
【详解】
由，得．
故两平行直线间的距离，
故选：A
32．A
【解析】
【分析】
由题意结合平行线的距离公式求解其距离即可.
【详解】
由两平行直线间的距离公式可得其距离为：.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式；求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式，且x，y的系数对应相同.
33．B
【解析】
由两直线平行求得，并确定两直线不重合，然后求出两平行线的距离即可得．
【详解】
∵，∴，解得或，
时，两直线方程为，即，，符合，
当时，两直线方程，即，，不符合，
故选：B.
【点睛】
易错点睛：本题考查两直线平行，考查平行间距离公式，解题时一是由平行的条件之一求出参数值后要检验两直线是平行的（不重合），二是求出平行线间的距离，确定满足题意，否则易出错．
34．A
【解析】
【分析】
利用点关于直线对称点的求法可求得直线上一点关于直线的对称点，代入直线中即可得到对称直线方程.
【详解】
设直线上一点关于直线对称点的坐标为，
则，整理可得：，，
即直线关于对称的直线方程为：.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：本题考查直线关于对称轴的对称直线的求解，解决思路是将直线上一点坐标，利用其关于对称轴的对称点坐标表示出来，代入原直线即可，核心依然是求解点关于直线的对称点的求解. 求解点关于直线的对称点的基本方法如下：
①与连线与直线垂直，即；
②中点在直线上，即；
③与到直线的距离相等，即；
上述三个等量关系中任选两个构成方程组，即可求得对称点坐标.
35．C
【解析】
【分析】
设直线上的点关于点的对称点的坐标为，求出，，再代入直线中即可得到对称直线的方程.
【详解】
设直线上的点关于点的对称点的坐标为，
所以，，所以，，
将其代入直线中，得到，化简得，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的知识要点：直线的方程和中点坐标公式，属于基础题.
36．B
【解析】
【分析】
利用平行线之间的距离列出不等式求解即可.
【详解】
直线化为，
则两直线之间的距离，即，
解得.
所以实数的取值范围为.
故选：B.
37．B
【解析】
利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可.
【详解】
双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为
可得： 可得 ，即
所以双曲线的离心率为： .
故选:B.
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，焦点坐标，渐近线方程，还运用双曲线中焦点到渐近线的距离为以及点到直线的距离公式：.
38．AC
【解析】
【分析】
当PQ垂直直线时，PQ最短，即可判断A、D，设出P坐标，根据最短使PQ与直线垂直求解P坐标，即可判断C，由两点式求出直线方程，即可判断B．
【详解】
解：当PQ垂直直线时，PQ最短，
Q到直线的距离为，故A正确；
故PQ的长度范围为，，故D错误；
设，则，解得，
故P为，故C正确；
此时直线PQ的方程是，即，故B错误，
故选：AC．
39．AC
【解析】
【分析】
根据点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】
因为点到直线的距离相等，
所以有，
化简得：，解得，或，
故选：AC
40．AB
【解析】
【分析】
由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，相加即可得到答案.
【详解】
由题意，，，所以，所以：，即，
由两平行直线间的距离公式得，解得或，
所以或.
故选：AB
【点睛】
本题考查两直线的位置关系以及平行直线间的距离公式，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
41．AB
【解析】
【分析】
利用点到直线距离公式求解即可.
【详解】
点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为
故，解得或
故选：AB
42．
【解析】
【分析】
由题知所求式子为与两点间距离的平方，根据已知等式可知直线上的点到直线上点的距离的平方，利用点到直线的距离公式即求.
【详解】
∵实数a，b，c，d满足，
∴，，
∴点在直线上，点在直线上，
∴的几何意义就是直线上的点到直线上点的距离的平方，
故所求最小值为.
故答案为：.
43．
【解析】
先确定两直线恒过定点P(2，2)，再结合图像四边形的面积S＝，整理判断二次函数何时取最小值即可.
【详解】
由题意知，直线l1，l2恒过定点P(2，2)，如图所示，
直线l1与y轴的交点为，直线l2与x轴的交点为，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝，当a＝时，面积最小.
故答案为：.
【点睛】
本题解题关键是找出定点，数形结合，将四边形分成两个三角形求面积的表达式，再求最值.
44．
【解析】
【分析】
由点到直线距离公式，直接计算，即可得出结果.
【详解】
由点到直线距离公式，可得：
点到直线的距离为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查求点到直线的距离，熟记公式即可，属于基础题型.
45．x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
【解析】
【分析】
根据两直线平行时，直线方程的特点，结合平行线距离公式进行求解即可.
【详解】
设l1的方程为x＋y＋C＝0(C≠－1)，由题意得＝，得C＝1或C＝－3，故所求的直线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
故答案为：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
46．
【解析】
【分析】
根据点到直线距离公式，直接求解，即可得出结果.
【详解】
点到直线的距离为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查求点到直线的距离，熟记公式即可，属于基础题型.
47．或．
【解析】
当直线平行于直线或过线段的中点时，满足题意，然后分别利用平行直线的条件和直线方程的点斜式，线段的中点公式求出直线的方程.
【详解】
解：根据题意，当直线l平行于直线AB或过线段AB的中点时，满足题意，
若直线l平行于直线AB，则其斜率，
此时直线l的方程为，即，
若直线l经过AB的中点时，点，，
则AB中点的坐标为，
当直线l经过线段AB的中点时，l的方程是，
综合可得：直线l的方程为：或，
故答案为：或．
【点睛】
本题表面考查点到直线的距离公式，实际上考查直线的平行和中点公式，直线方程的求法，关键在于转化为直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，然后求解.
48．(1)y＝﹣x+2
(2)（﹣2，﹣4）
【解析】
【分析】
（1）直接利用点关于线的对称，求出对称的点的坐标，再利用反射定理，求出直线的方程．
（2）根据点关于线对称的性质列出方程组，通过解方程组求得点P'的坐标．
(1)
如图所示，作点P（6，4）关于轴的对称点的坐标P（6，﹣4），
则反射光线所在的直线过点P′和Q，
所以kP′Q1，
所以直线P′Q的直线方程为y＝﹣（x﹣2）．
所以反射光线QH所在的直线方程为y＝﹣x+2．
(2)
假设P'（x0，y0），
由点关于线对称的性质可得：．
可得x0＝﹣2，y0＝﹣4．
所以P'（﹣2，﹣4）．
49．
【解析】
【分析】
直接利用距离公式计算可得；
【详解】
解：点到直线的距离
50．（1）；（2）或；（3）
【解析】
（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，
不妨设，利用两角差的正切公式计算，利用基本不等式求得最值；
（2）设直线，，的斜率分别为，可得，可解出的值，进一步求得直线和直线的方程，联立得点P的坐标；
（3）设，，设原点到两直线距离分别为，求出，然后变形利用基本不等式求解．
【详解】
解：（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，
不妨设，
则，当且仅当时等号成立，
此时，，
即两直线倾斜角分别为；
（2）设直线，，的斜率分别为，
则，解得或，
当时，
直线的方程为，直线的方程为，
联立得，
当时，
直线的方程为，直线的方程为，
联立得，
故所求为或；
（3）设，
设原点到两直线距离分别为，
则
，
由于，当且仅当时等号成立，
故，，
即原点到两直线距离之积的取值范围为．
【点睛】
方法点睛： “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．
51．（1）；（2）证明见解析，．
【解析】
【分析】
（1）结合图形分析可得直线的斜率大于直线PA的斜率，由此可得直线只能与BC、AB相交，设其与BC的交点为Q点，与x轴的交点为R，根据题设条件得到比例关系，列方程求b；
（2）设，结合光线反射的性质求出直线ED的斜率，由此可得直线l的方程，进而可得定点坐标.
【详解】
（1）直线BC的方程为：，
直线只能与BC、AB相交，其与BC的交点为Q点，
由得，，
直线与x轴交点为，，
由，即，
化简得：，又，
，解得：，
而，．
（2）设，直线AC的方程为：，直线BC的方程为：，
设关于直线AC的对称点为，
则，解得，
同理可得关于直线BC的对称点为，
则在直线ED上，所以直线ED的斜率为，
的斜率为，l方程为，即，
过定点．
52．（1） 或；（2） 不存在这样的直线；理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）分存在与不存在两种情况讨论，点斜式表示直线方程，利用点到直线距离公式即得解；
（2）过点且与原点的距离最大的直线为过点且与垂直的直线，分析即得解
【详解】
（1）①当直线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意．
②当直线的斜率存在时，设斜率为，
则直线方程为，即．
根据题意，得，解得，
所以直线方程为．
故所求直线方程为或．
（2）不存在．理由如下：
过点且与原点的距离最大的直线为过点且与垂直的直线，
，
而，故不存在这样的直线．
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2．3.3 点到直线的距离公式
2．3.4 两条平行直线间的距离
【考点梳理】
考点 点到直线的距离、两条平行线间的距离
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长
图示
公式(或求法) 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝
思考1 点P (x0，y0)到直线x＝a和直线y＝b的距离怎样计算？
答案 P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|a－x0|；
P(x0，y0)到y＝b的距离d＝|b－y0|.
思考2 两直线都与坐标轴平行，可以利用公式求距离吗？
答案 可以. 应用公式时要把直线方程都化为一般式方程．
【题型归纳】
题型一：求点到直线的距离
1．在平面直角坐标系中，原点到直线的距离等于（ ）
A．1 B． C． D．3
2．已知点，点Q是直线l：上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．3
3．已知斜率为的直线过直线与交点，则原点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
题型二：已知点到直线距离求参数
4．若点到直线：的距离为3，则（ ）
A．3 B．2 C． D．1
5．若点到直线的距离是，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．0或 D．或1
6．若点到直线的距离等于1，则（ ）
A．2 B． C．2或 D．1或
题型三：求到两点距离相等的直线方程
7．直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是( )
A． B．
C．或 D．或
8．“”是“两点到直线的距离相等”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知，，直线.若点到直线的距离等于点到直线的距离，则（ ）
A．或6 B． C．0 D．0或
题型四：求平行线间的距离
10．直线：与：之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
11．两条平行直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（ ）
A．或11 B．或10
C．或12 D．或11
【双基达标】
13．点P(-1，-1)到直线的距离为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
14．已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
16．已知直线：与直线关于直线：对称，直线与直线：垂直，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
17．已知点，，动点P在直线上，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
18．已知的边所在直线的方程是，边所在直线的方程是，边所在直线的方程是.若夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
19．已知点和直线，则点P到直线l的距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．点到直线和直线的距离相等，则点P的坐标应满足的是（ ）．
A．或 B．或
C． D．
21．已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为（ ）
A．－6或 B．－或1 C．－或 D．0或
22．直线，为直线上动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
23．在直角坐标平面内，与点距离为2，且与点距离为3的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
24．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则三角形PQR周长等于（ ）
A． B． C． D．
25．在平面直角坐标系中，已知点满足，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
26．直线关于原点对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
27．若直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
28．点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为（ ）
A． B．
C． D．0
29．已知点P，Q分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为．
A． B． C． D．
30．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【高分突破】
一、单选题
31．两平行直线和间的距离是（ ）
A． B． C． D．
32．已知直线，则直线之间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
33．若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数（ ）
A． B． C． D．
34．直线关于对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
35．直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（ ）
A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9
36．若直线与直线之间的距离不大于，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．或
37．在平面直角坐标系中，若双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为
A． B． C． D．
二、多选题
38．已知点P是直线上的动点，定点，则下列说法正确的是（ ）
A．线段PQ的长度的最小值为
B．当PQ最短时，直线PQ的方程是
C．当PQ最短时P的坐标为
D．线段PQ的长度可能是
39．已知点到直线的距离相等，则实数m的值可以是（ ）
A． B． C． D．
40．若两条平行直线：与：之间的距离是，则的可能值为（ ）
A． B． C． D．
41．(多选)若点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为1，则a的值为（ ）
A．0 B．
C．5 D．－
三、填空题
42．已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为____________
43．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.
44．点到直线的距离为__________．
45．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离为，则l1的方程为________．
46．点到直线的距离为______.
47．已知点，到经过点的直线l的距离相等，则l的方程为__________．
四、解答题
48．一条光线从点P（6，4）射出，与x轴相交于点（2，0），经x轴反射后与y轴交于点H.
(1)求反射光线QH所在直线的方程；
(2)求P点关于直线QH的对称点P'的坐标.
49．求点到直线的距离．
50．若过点P的两直线，斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”.
（1）若直线，是一组“共轭线对”，当两直线夹角最小时，求两直线倾斜角；
（2）若点，，分别是直线，，上的点（A，B，C，P，Q，R均不重合），且直线，是一组“共轭线对”，直线，是一组“共轭线对”，直线，是一组“共轭线对”，求点P的坐标；
（3）若直线，是一组“共轭线对”，其中点，当两直线旋转时，求原点到两直线距离之积的取值范围.
51．已知的三个顶点分别为，，．
（1）若过的直线将分割为面积相等的两部分，求b的值；
（2）一束光线从点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射到x轴上的F点，最后再经x轴反射，反射光线所在直线为l，证明直线l经过一定点，并求出此定点的坐标．
52．已知点.
（1）求过点且与原点的距离为2的直线的方程.
（2）是否存在过点且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.
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试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
直接由点到直线的距离公式求解即可.
【详解】
原点到直线的距离为.
故选：B.
2．B
【解析】
【分析】
由点到直线的距离公式即可求解.
【详解】
解：由题意，的最小值为点到直线l：的距离，
故选：B.
3．A
【解析】
【分析】
求出两直线的交点，利用点斜式得到直线方程，进而利用点到直线距离公式得到答案.
【详解】
联立，，解得，
又直线斜率为，
∴直线的方程为，即，
∴原点到直线的距离为.
故选：A
4．B
【解析】
【分析】
利用距离公式可求的值.
【详解】
由题设可得，结合可得，
故选：B.
5．D
【解析】
利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】
由题意可得，
解得.
故选：D
6．C
【解析】
【分析】
根据点到直线距离公式列式即可求出.
【详解】
点到直线的距离等于1，
，解得.
故选：C.
7．C
【解析】
【分析】
由题可知l斜率存在，可设l为：，根据点到直线距离公式列出方程求出斜率k即可.
【详解】
显然直线l的斜率存在，故设直线l为：，即，
则或或，
∴l方程为：，
.
故选：C.
8．A
【解析】
【分析】
两点到直线距离相等分两种情况，或过的中点，结合斜率和中点公式即可求解，再由命题的充分、必要条件判断即可.
【详解】
“两点到直线的距离相等”“或过的中点”.
当时，由得，；
当过的中点时，由的中点为得，.
所以“两点到直线的距离相等”“”，
故选：A.
9．D
【解析】
利用点到直线的距离公式列方程，解方程求得的值.
【详解】
由题可知，解得或.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.
10．B
【解析】
【分析】
先判断与平行，再由平行线间的距离公式求解即可.
【详解】
由可得，即与平行，故与之间的距离为.
故选：B.
11．C
【解析】
【分析】
根据两直线平行求出，再利用两平行直线之间的距离公式可求出结果.
【详解】
因为直线与直线平行,
所以,解得,
将化为,
所以两平行直线与之间的距离为.
故选：C
12．A
【解析】
【分析】
利用平行线间距离公式进行求解即可.
【详解】
因为两条平行线与之间的距离是2，
所以，或，
故选：A
13．B
【解析】
【分析】
由点到直线距离公式求解.
【详解】
由点到直线的距离公式可得，
，
故选：B
14．A
【解析】
根据直线方程得到定点A的坐标，设其关于的对称点坐标，列出方程组，解之即可.
【详解】
直线即，故，
设点关于的对称点坐标为．
则解得．
点关于的对称点坐标为．
故选：A．
15．C
【解析】
首先求得直线与直线的交点的坐标，利用到直线的距离相等列方程，解方程求得点的坐标.利用到直线的距离以及的长，求得三角形的面积.
【详解】
直线的方程为，即.
由解得.
设，直线的方程分别为 ，即
，.根据角平分线的性质可知，到直线的距离相等，所以
，
，由于，所以上式可化为，两边平方并化简得
，解得（），所以.
所以到直线的距离为，而，所以.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查直线方程的求法，考查直线与直线交点坐标，考查点到直线距离公式、两点间的距离公式，考查角平分线的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
16．B
【解析】
【分析】
利用直线与直线：垂直，求得的斜率，然后求得与的交点坐标，在直线上取点，求出该点关于的对称点，利用斜率公式求得的值.
【详解】
解：直线与直线：垂直，则，即，
∵直线：与直线关于直线：对称，
∵由得得交点坐标，
在直线上取点，设该点关于对称的点为，则，得，故，解得，
故选：B.
17．C
【解析】
【分析】
求得关于直线的对称点，利用两点间的距离公式求得的最小值.
【详解】
关于直线的对称点的坐标为，
则，
则的最小值是.
故选：C
18．B
【解析】
【分析】
画出示意图，根据题意判断，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A，B，进而求出答案.
【详解】
联立直线方程，易得.如图所示，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A，B，又两平行直线的斜率为1，直线的斜率为，所以线段的长度就是过A，B两点的平行直线间的距离，易得，故两条平行直线间的距离的最小值是.
故选：B.
19．A
【解析】
【分析】
先求得直线的定点，进而求得点P到直线l的最大距离，然后检验点是否可能在直线上即可
【详解】
可化为：
设直线的定点为，点P到直线l的距离为，则有：
可得：为直线的定点
则有：，此时为点P到直线l的最大距离
若在直线上，则有：，即
可得：不可能在直线上，则有：
综上可得：
故选：A
20．A
【解析】
【分析】
利用点到直线的距离求解.
【详解】
解：因为点到直线和直线的距离相等，
所以，
化简得：或，
故选：A
21．A
【解析】
【分析】
利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】
解析：，
即|3m＋5|＝|7－m|，解得m＝－6或．
故选：A
22．C
【解析】
【分析】
根据题意，所求最值即为到直线距离的平方，即可求解.
【详解】
解：由题意得：表示到的距离的平方,而为直线上动点,所以的最小值，即为到直线距离的平方，即，
故选：C
23．C
【解析】
【分析】
根据直线是否存在斜率，分类讨论，利用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】
当直线不存在斜率时，设为，由题意可知：且，
没有实数使得两个式子同时成立；
当直线存在斜率时，设直线方程为：，
点到该直线的距离为2，所以有，
点到该直线的距离为3，所以有，
由得：或，
当时，代入中，得，
该方程的判别式，该方程有两个不相等的实数根，
当时，代入中，得，
该方程的判别式，该方程有两个相等的实数根，
所以这样的直线共有三条，
故选：C.
【点睛】
关键点睛：本题的关键是解方程组.
24．A
【解析】
【分析】
建立如图所求的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点坐标，关于轴对称性坐标，由反射性质四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即得．
【详解】
建立如图所求的直角坐标系，得，直线方程为，的重心为，
设，关于直线的对称为，
则，解得，则，
易知关于轴的对称点为，根据光线反射原理知四点共线，
∴直线的方程为，即，又直线过，
∴，解得或（舍去），，
∴，，
．
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线方程的应用，解题关键是利用对称性，把的三边转化为到同一条直线上，利用直线方程求得点位置，然后得路程的最小值．
25．C
【解析】
【分析】
根据直线过定点确定出对于给定的一点，取最大值时且，然后根据点为正方形上任意一点求解出，由此可知.
【详解】
直线过定点，
对于任意确定的点，
当时，此时，
当不垂直时，过点作，此时，如图所示：
因为，所以，所以，
由上可知：当确定时，即为，且此时；
又因为在如图所示的正方形上运动，所以，
当取最大值时，点与重合，此时，
所以，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键在于利用图像分析取最大值时与直线的位置关系，通过位置关系的分析可将问题转化为点到点的距离问题，根据图像可直观求解.
26．A
【解析】
由直线上任意两点，求出其关于原点对称的点，再求出斜率，进而得出所求方程.
【详解】
点在直线上，则在所求直线上
所求直线的斜率，则所求直线方程为
故选：A
27．C
【解析】
【分析】
根据两条直线平行可得，求出，再利用两平行线之间的距离即可求解.
【详解】
直线与直线平行，
则，且，
求得，两直线即为直线与直线，
它们之间的距离为，
故选：C．
28．B
【解析】
【分析】
直接运用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】
点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为，
故选：B
29．B
【解析】
【分析】
设，则四边形为平行四边形，故而就是的最小值，又的最小值就是.
【详解】
因为，故，
，故，所以，
又，所以，故四边形为平行四边形，
，
因为，当且仅当三点共线时等号成立，
的最小值为，选B.
【点睛】
本题考查坐标平面中线段和的最值，注意利用几何性质把问题转化为一个动点（在直线上）与两个定点之间的连线段的和的最值，这类问题属于中档题.
30．C
【解析】
【分析】
由点到直线的距离表示出，利用辅助角公式和绝对值的三角不等式化简得，即可求出的最大值.
【详解】
由题意，点到直线的距离为，
则，
其中，，
所以当且仅当，时，取得最大值，
即.
故选：C
【点睛】
本题主要考查点到直线的距离公式、三角函数性质、辅助角公式和绝对值的三角不等式的应用，考查学生的转化和计算能力，属于中档题.
31．A
【解析】
【分析】
先把直线化简得，然后利用两平行线间的距离公式求解即可
【详解】
由，得．
故两平行直线间的距离，
故选：A
32．A
【解析】
【分析】
由题意结合平行线的距离公式求解其距离即可.
【详解】
由两平行直线间的距离公式可得其距离为：.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式；求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式，且x，y的系数对应相同.
33．B
【解析】
由两直线平行求得，并确定两直线不重合，然后求出两平行线的距离即可得．
【详解】
∵，∴，解得或，
时，两直线方程为，即，，符合，
当时，两直线方程，即，，不符合，
故选：B.
【点睛】
易错点睛：本题考查两直线平行，考查平行间距离公式，解题时一是由平行的条件之一求出参数值后要检验两直线是平行的（不重合），二是求出平行线间的距离，确定满足题意，否则易出错．
34．A
【解析】
【分析】
利用点关于直线对称点的求法可求得直线上一点关于直线的对称点，代入直线中即可得到对称直线方程.
【详解】
设直线上一点关于直线对称点的坐标为，
则，整理可得：，，
即直线关于对称的直线方程为：.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：本题考查直线关于对称轴的对称直线的求解，解决思路是将直线上一点坐标，利用其关于对称轴的对称点坐标表示出来，代入原直线即可，核心依然是求解点关于直线的对称点的求解. 求解点关于直线的对称点的基本方法如下：
①与连线与直线垂直，即；
②中点在直线上，即；
③与到直线的距离相等，即；
上述三个等量关系中任选两个构成方程组，即可求得对称点坐标.
35．C
【解析】
【分析】
设直线上的点关于点的对称点的坐标为，求出，，再代入直线中即可得到对称直线的方程.
【详解】
设直线上的点关于点的对称点的坐标为，
所以，，所以，，
将其代入直线中，得到，化简得，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的知识要点：直线的方程和中点坐标公式，属于基础题.
36．B
【解析】
【分析】
利用平行线之间的距离列出不等式求解即可.
【详解】
直线化为，
则两直线之间的距离，即，
解得.
所以实数的取值范围为.
故选：B.
37．B
【解析】
利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可.
【详解】
双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为
可得： 可得 ，即
所以双曲线的离心率为： .
故选:B.
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，焦点坐标，渐近线方程，还运用双曲线中焦点到渐近线的距离为以及点到直线的距离公式：.
38．AC
【解析】
【分析】
当PQ垂直直线时，PQ最短，即可判断A、D，设出P坐标，根据最短使PQ与直线垂直求解P坐标，即可判断C，由两点式求出直线方程，即可判断B．
【详解】
解：当PQ垂直直线时，PQ最短，
Q到直线的距离为，故A正确；
故PQ的长度范围为，，故D错误；
设，则，解得，
故P为，故C正确；
此时直线PQ的方程是，即，故B错误，
故选：AC．
39．AC
【解析】
【分析】
根据点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】
因为点到直线的距离相等，
所以有，
化简得：，解得，或，
故选：AC
40．AB
【解析】
【分析】
由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，相加即可得到答案.
【详解】
由题意，，，所以，所以：，即，
由两平行直线间的距离公式得，解得或，
所以或.
故选：AB
【点睛】
本题考查两直线的位置关系以及平行直线间的距离公式，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
41．AB
【解析】
【分析】
利用点到直线距离公式求解即可.
【详解】
点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为
故，解得或
故选：AB
42．
【解析】
【分析】
由题知所求式子为与两点间距离的平方，根据已知等式可知直线上的点到直线上点的距离的平方，利用点到直线的距离公式即求.
【详解】
∵实数a，b，c，d满足，
∴，，
∴点在直线上，点在直线上，
∴的几何意义就是直线上的点到直线上点的距离的平方，
故所求最小值为.
故答案为：.
43．
【解析】
先确定两直线恒过定点P(2，2)，再结合图像四边形的面积S＝，整理判断二次函数何时取最小值即可.
【详解】
由题意知，直线l1，l2恒过定点P(2，2)，如图所示，
直线l1与y轴的交点为，直线l2与x轴的交点为，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝，当a＝时，面积最小.
故答案为：.
【点睛】
本题解题关键是找出定点，数形结合，将四边形分成两个三角形求面积的表达式，再求最值.
44．
【解析】
【分析】
由点到直线距离公式，直接计算，即可得出结果.
【详解】
由点到直线距离公式，可得：
点到直线的距离为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查求点到直线的距离，熟记公式即可，属于基础题型.
45．x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
【解析】
【分析】
根据两直线平行时，直线方程的特点，结合平行线距离公式进行求解即可.
【详解】
设l1的方程为x＋y＋C＝0(C≠－1)，由题意得＝，得C＝1或C＝－3，故所求的直线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
故答案为：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
46．
【解析】
【分析】
根据点到直线距离公式，直接求解，即可得出结果.
【详解】
点到直线的距离为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查求点到直线的距离，熟记公式即可，属于基础题型.
47．或．
【解析】
当直线平行于直线或过线段的中点时，满足题意，然后分别利用平行直线的条件和直线方程的点斜式，线段的中点公式求出直线的方程.
【详解】
解：根据题意，当直线l平行于直线AB或过线段AB的中点时，满足题意，
若直线l平行于直线AB，则其斜率，
此时直线l的方程为，即，
若直线l经过AB的中点时，点，，
则AB中点的坐标为，
当直线l经过线段AB的中点时，l的方程是，
综合可得：直线l的方程为：或，
故答案为：或．
【点睛】
本题表面考查点到直线的距离公式，实际上考查直线的平行和中点公式，直线方程的求法，关键在于转化为直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，然后求解.
48．(1)y＝﹣x+2
(2)（﹣2，﹣4）
【解析】
【分析】
（1）直接利用点关于线的对称，求出对称的点的坐标，再利用反射定理，求出直线的方程．
（2）根据点关于线对称的性质列出方程组，通过解方程组求得点P'的坐标．
(1)
如图所示，作点P（6，4）关于轴的对称点的坐标P（6，﹣4），
则反射光线所在的直线过点P′和Q，
所以kP′Q1，
所以直线P′Q的直线方程为y＝﹣（x﹣2）．
所以反射光线QH所在的直线方程为y＝﹣x+2．
(2)
假设P'（x0，y0），
由点关于线对称的性质可得：．
可得x0＝﹣2，y0＝﹣4．
所以P'（﹣2，﹣4）．
49．
【解析】
【分析】
直接利用距离公式计算可得；
【详解】
解：点到直线的距离
50．（1）；（2）或；（3）
【解析】
（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，
不妨设，利用两角差的正切公式计算，利用基本不等式求得最值；
（2）设直线，，的斜率分别为，可得，可解出的值，进一步求得直线和直线的方程，联立得点P的坐标；
（3）设，，设原点到两直线距离分别为，求出，然后变形利用基本不等式求解．
【详解】
解：（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，
不妨设，
则，当且仅当时等号成立，
此时，，
即两直线倾斜角分别为；
（2）设直线，，的斜率分别为，
则，解得或，
当时，
直线的方程为，直线的方程为，
联立得，
当时，
直线的方程为，直线的方程为，
联立得，
故所求为或；
（3）设，
设原点到两直线距离分别为，
则
，
由于，当且仅当时等号成立，
故，，
即原点到两直线距离之积的取值范围为．
【点睛】
方法点睛： “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．
51．（1）；（2）证明见解析，．
【解析】
【分析】
（1）结合图形分析可得直线的斜率大于直线PA的斜率，由此可得直线只能与BC、AB相交，设其与BC的交点为Q点，与x轴的交点为R，根据题设条件得到比例关系，列方程求b；
（2）设，结合光线反射的性质求出直线ED的斜率，由此可得直线l的方程，进而可得定点坐标.
【详解】
（1）直线BC的方程为：，
直线只能与BC、AB相交，其与BC的交点为Q点，
由得，，
直线与x轴交点为，，
由，即，
化简得：，又，
，解得：，
而，．
（2）设，直线AC的方程为：，直线BC的方程为：，
设关于直线AC的对称点为，
则，解得，
同理可得关于直线BC的对称点为，
则在直线ED上，所以直线ED的斜率为，
的斜率为，l方程为，即，
过定点．
52．（1） 或；（2） 不存在这样的直线；理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）分存在与不存在两种情况讨论，点斜式表示直线方程，利用点到直线距离公式即得解；
（2）过点且与原点的距离最大的直线为过点且与垂直的直线，分析即得解
【详解】
（1）①当直线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意．
②当直线的斜率存在时，设斜率为，
则直线方程为，即．
根据题意，得，解得，
所以直线方程为．
故所求直线方程为或．
（2）不存在．理由如下：
过点且与原点的距离最大的直线为过点且与垂直的直线，
，
而，故不存在这样的直线．
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