2.4.1圆的标准方程【帮课堂】2022-2023学年高二数学《考点·题型·技巧》精讲与精练（学案+练习）（含解析）
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| 名称 | 2.4.1圆的标准方程【帮课堂】2022-2023学年高二数学《考点·题型·技巧》精讲与精练（学案+练习）（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-20 18:15:20 | ||
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文档简介
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2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
【考点梳理】
考点一 圆的标准方程
(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.
(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.
考点二 点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内 |CM|【题型归纳】
题型一：由圆心（或半径）求圆的方程
1．圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．圆：关于直线对称的圆的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
题型二：求过已知三点的圆的标准方程
4．经过三个点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则外接圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆过点，，且圆心在轴上，则圆的方程是（ ）
A． B． C． D．
题型三： 由标准方程确定圆心和半径
7．已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
8．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A． B．9 C．4 D．8
9．若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
【双基达标】
10．过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
11．圆心为，半径为的圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知M、N分别是圆和圆上的两个动点，点P在直线上，则的最小值是（ ）
A． B．10 C． D．12
13．过点A（1，1），B（-3，5），且圆心在直线上的圆的半径是（ ）
A．2 B．3 C． D．10
14．已知圆过点，，则圆心到原点距离的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
15．圆心为，半径为3的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
16．以直线经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
17．已知定直线l的方程为，点Q是直线l上的动点，过点Q作圆的一条切线，是切点，C是圆心，若面积的最小值为，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
18．经过点且圆心是两直线与的交点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
19．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：x2＋y2＝1上的动点M和定点A，B(1，1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
20．函数的图象是（ ）
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半圆弧
21．圆的圆心关于原点的对称点为（ ）
A． B． C． D．
22．若两定点，，动点M满足，则动点M的轨迹围成区域的面积为（ ）．
A． B． C． D．
23．圆关于直线l：对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
24．已知点，点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
25．圆心为且和轴相切的圆的方程是
A． B．
C． D．
26．已知直线与圆相交于两点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
27．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
28．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为
A． B．
C． D．
29．下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为，半径为5
B．圆的圆心为，半径为
C．圆的圆心为，半径为
D．圆的圆心为，半径为
30．已知圆，则其圆心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
31．在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
32．圆上一点到原点的距离的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
33．已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ）
A． B．6
C． D．
二、多选题
34．实数，满足，则下列关于的判断正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
35．设有一组圆：，下列命题正确的是（ ）
A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上
B．所有圆均不经过点
C．经过点的圆有且只有一个
D．所有圆的面积均为
36．圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
37．以直线与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为
A． B．
C． D．
三、填空题
38．已知集合，则中元素的个数为_____.
39．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是_________
40．已知点、，以线段为直径的圆的标准方程是___________.
41．如图，已知圆是圆上两个动点，点，则矩形的顶点的轨迹方程是___________．
42．已知圆的圆心坐标是，若直线与圆相切于点，则圆的标准方程为___________.
43．已知△的三个顶点分别是点A（4，0），，，则△的外接圆的方程为______．
四、解答题
44．设圆的方程为
（1）求该圆的圆心坐标及半径.
（2）若此圆的一条弦AB的中点为，求直线AB的方程.
45．求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心在x轴上，半径为5，且过点；
(2)经过点、，且以线段AB为直径；
(3)圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切于点；
(4)圆心在直线x-2y-3=0上，且过点，．
46．直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在轴上.
（1）求边所在直线的方程；
（2）圆是三角形的外接圆，求圆的方程.
47．已知圆过点，，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）将圆向上平移1个单位长度后得到圆，求圆的标准方程．
48．已知以点C为圆心的圆经过点A(-1，0)和B(3，4)，且圆心C在直线上
（1）求圆C的方程；
（2）设点Q(-1，)(m>0)在圆C上，求△QAB的面积.
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试卷第1页，共3页
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参考答案
1．B
【解析】
【分析】
直接写出标准方程，即可得到答案.
【详解】
圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程为.
故选：B
2．C
【解析】
【分析】
设动圆圆心，利用动圆M经过坐标原点，可得，利用基本不等式可得，从而得到要求的最大值.
【详解】
设动圆圆心，半径为1，动圆M经过坐标原点，可得,即，
，当且仅当时取等号，即，
则圆心M的横纵坐标之和的最大值为
故选：C
3．A
【解析】
【分析】
根据两圆心的中点在直线上，过两圆心的直线与已知直线垂直列方程组可得所求圆心坐标，然后可得.
【详解】
解：表示以为圆心，以1为半径的圆．
设关于直线对称的点为，则有，解得：，，
所以：关于直线对称的圆的方程为．
故选：A．
4．C
【解析】
【分析】
根据三点在坐标系的位置，确定出是直角三角形，其中是斜边，则有过三点的圆的半径为的一半，圆心坐标为的中点，进而根据圆的标准方程求解.
【详解】
由已知得，分别在原点、轴、轴上，
，
经过三点圆的半径为，
圆心坐标为的中点，即，
圆的标准方程为.
故选：C.
5．D
【解析】
【分析】
求得外接圆的方程即可进行选择.
【详解】
设外接圆的方程为
则有，解之得
则外接圆的方程为
故选：D
6．B
【解析】
【分析】
根据圆心在轴上，设出圆的方程，把点，的坐标代入圆的方程即可求出答案.
【详解】
因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为，
因为点，在圆上，所以，解得，
所以圆的方程是.
故选：B.
7．A
【解析】
【分析】
先求得圆心，根据直线过圆心，可得，代入所求，根据二次函数的性质，即可得答案.
【详解】
由题意得圆心为（1,1），因为直线过圆心，
所以，即，
所以，
所以当时，的最小值为.
故选：A
8．B
【解析】
【分析】
由题可得，然后利用基本不等式即得.
【详解】
圆的圆心为，依题意，点在直线上，
因此，即，
∴，
当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为9.
故选：B.
9．A
【解析】
【分析】
若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】
由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
10．B
【解析】
【分析】
先根据圆与，轴都相切，求出圆心，然后利用点到直线的距离公式求出结果．
【详解】
设圆心为，由已知得，
解得，，或，，
所以圆心为或．
当圆心为时，圆心到直线的距离；
当圆心为时，圆心到直线的距离．
故选：B．
11．B
【解析】
【分析】
直接根据圆心和半径写出结果.
【详解】
由题意可得所求圆的标准方程是.
故选：B
12．C
【解析】
【分析】
计算圆心关于直线的对称点为，计算，得到最值.
【详解】
圆的圆心为，圆的圆心为，
关于直线的对称点为，，
故的最小值是.
故选：C.
【点睛】
本题考查了点关于直线对称，与圆相关的距离的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化能力.
13．C
【解析】
【分析】
用待定系数法设出圆的标准方程，由题意构建关系的方程组，求解即可得到答案
【详解】
设圆的标准方程为，
因为圆过点A（1，1），B（-3，5），且圆心在直线上，
则有，解得，
所以圆的半径是
故选：C
14．B
【解析】
【分析】
由题意可知圆心在线段的垂直平分线上，将所求的最值转化为原点到该直线的距离，即可得解.
【详解】
由圆过点，，可知圆心在线段的垂直平分线上
又，则
又的中点为，则直线的方程为
圆心到原点距离的最小值即为原点到直线的距离为
故选：B
15．D
【解析】
【分析】
根据圆心和半径可直接得到圆的方程.
【详解】
因为圆心为，半径为3，故圆的方程为：.
故选：D.
【点睛】
本题考查圆的标准方程，一般根据圆心坐标和半径可直接写出圆的标准方程，本题属于基础题.
16．A
【解析】
【分析】
先由直线的方程求得直线恒过的定点，再由圆的圆心和半径得出圆的方程得选项.
【详解】
解：因为直线方程为，即，所以直线过定点，
所以圆方程为，即，
故选：A.
17．B
【解析】
【分析】
由题意可得直线l的方程为，再求出圆C的圆心坐标与半径，由面积的最小值为求得，再由点到直线的距离公式求解k，可得直线l的方程，进一步求得直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值．
【详解】
解：由题意可得直线l的方程为，
圆C的圆心，半径为1，
如图：
，
又，当取最小值时，取最小值，
此时，可得，，
则，解得，
则直线l的方程为，
则直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为．
故选：B．
18．B
【解析】
【分析】
求出圆心坐标和半径后，直接写出圆的标准方程.
【详解】
由得，
即所求圆的圆心坐标为.
由该圆过点，得其半径为1，
故圆的方程为.
故选：B.
【点睛】
本题考查了圆的标准方程，属于基础题.
19．C
【解析】
【分析】
讨论点M在x轴上与不在x轴上两种情况，若点M不在x轴上，构造点K(－2，0)，可以根据三角形的相似性得到，进而得到2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|，最后根据三点共线求出答案.
【详解】
①当点M在x轴上时，点M的坐标为(－1，0)或(1，0)．
若点M的坐标为(－1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋；
若点M的坐标为(1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋．
②当点M不在x轴上时，取点K(－2，0)，如图，
连接OM，MK，因为|OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，
所以．
因为∠MOK＝∠AOM，
所以△MOK∽△AOM，则，
所以|MK|＝2|MA|，则2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|．
易知|MB|＋|MK|≥|BK|，
所以|MB|＋|MK|的最小值为|BK|．
因为B(1，1)，K(－2，0)，
所以(2|MA|＋|MB|)min
＝|BK|＝．
又<1＋<4，所以2|MA|＋|MB|的最小值为．
故选：C
20．D
【解析】
【分析】
将函数化为，即可得出结论.
【详解】
解：可化为，所以的图象是半圆弧．
故选：D.
21．C
【解析】
【分析】
根据圆的标准方程求出圆心，进而结合点对称即可求出结果.
【详解】
圆的圆心为，关于原点对称的点为，
故选：C.
22．D
【解析】
【分析】
根据给定条件求出动点M的轨迹方程，再确定轨迹即可计算作答.
【详解】
设，依题意，，化简整理得：，
因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
所以动点M的轨迹围成区域的面积为.
故选：D
23．A
【解析】
【分析】
首先求出圆的圆心坐标与半径，再设圆心关于直线对称的点的坐标为，即可得到方程组，求出、，即可得到圆心坐标，从而求出对称圆的方程；
【详解】
解：圆的圆心为，半径，设圆心关于直线对称的点的坐标为，
则，解得，即圆关于直线对称的圆的圆心为，半径，
所以对称圆的方程为；
故选：A
24．D
【解析】
【分析】
由题意可得的最大值是，从而可求得答案
【详解】
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
因为点，点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，
所以的最大值是
．
故选：D
25．A
【解析】
【分析】
由题意先求出圆的半径，再根据圆心坐标，求得它的标准方程．
【详解】
解：圆心为且和轴相切的圆，它的半径为1，
故它的的方程是，
故选：．
【点睛】
本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.
26．D
【解析】
【分析】
由圆的平面几何性质可知，过圆心与垂直的直线即为所求，根据垂直关系求出AB中垂线斜率即可求解.
【详解】
因为直线AB：的斜率为，可知垂直平分线的斜率为，
又圆的圆心为，
所以弦AB的垂直平分线方程为，化简得，
故选：D
27．C
【解析】
根据题中条件，得到圆的半径，进而可得圆的方程.
【详解】
以点为圆心且与轴相切的圆的半径为，
故圆的标准方程是.
故选：C.
28．B
【解析】
【分析】
由题意利用中点公式求得圆心，可得半径，从而求出圆的标准方程．
【详解】
解：点，，则以线段为直径的圆的圆心坐标为 1，，
半径为，
故它的方程为，即．
而选项即：即，即，故错误；
而选项即：即，即，故正确；
而选项即：即，即，故错误；
而选项即：即，即，故错误；
故选：．
29．C
【解析】
【分析】
根据圆的标准方程求出圆心与半径即可判断.
【详解】
圆的圆心为，半径为，A错误；
圆的圆心为，半径为，B错误；
易知C正确；
圆的圆心为，半径为，D错误.
故选：C
30．C
【解析】
【分析】
根据圆的标准方程，直接求圆心坐标.
【详解】
圆，则其圆心的坐标为.
故选：C
31．B
【解析】
【分析】
先求得A，两点坐标，根据得到，再结合可得到C轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案.
【详解】
由得 ，
故 由得，
由得，设 ，则 ，
即，即点C轨迹为一动圆，
设该动圆圆心为 ，则，
整理得 ，代入到中，
得： ，即C轨迹的圆心在圆上，
故点（1,1）与该圆上的点的连线的距离加上圆的半径即为点到点的距离的最大值，最大值为 ，
故选：B
32．C
【解析】
求得圆的圆心和半径，由此求得圆上一点到原点的距离的最大值.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
圆心到原点的距离为，
所以圆上一点到原点的距离的最大值为.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查点和圆的位置关系，属于基础题.
33．D
【解析】
【分析】
配方，由半径的最小值得参数值，然后求出圆心到原点距离，再加半径可得.
【详解】
根据题意，圆，
变形可得．
其圆心为，半径为，则，
当圆的面积最小时，必有，此时．
圆的方程为，
圆心到原点为距离，
则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为．
故选：D．
34．CD
【解析】
【分析】
由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，则为圆上的点与定点的斜率的值，由点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系可得选项．
【详解】
由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，
则为圆上的点与定点的斜率的值，
设过点的直线为，即，
则圆心到到直线的距离，即，整理可得，解得，
所以，即的最大值为，最小值为.
故选：CD.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系和由几何意义求最值的问题，属于中档题．
35．ABD
【解析】
【分析】
A选项，圆心坐标为，故在直线上；B选项，代入得到一元二次方程，由根的判别式判断；C选项，代入得到一元二次方程，由根的判别式进行求解；D选项，由半径为2求出面积为4.
【详解】
A选项，圆心为，一定在直线上，A正确；
B选项，将代入得：，其中，方程无解，即所有圆均不经过点，B正确；
C选项，将代入得：，其中，故经过点的圆有两个，故C错误；
所有圆的半径为2，面积为4.
故选：ABD
36．AD
【解析】
【分析】
由题意知圆心在直线，设圆心坐标为，由圆过点即可求解.
【详解】
圆上的点关于直线的对称点仍在这个圆上，
圆心在直线上，
设圆心坐标为，
则由，解得或，
所求圆的方程为或.
故选：AD
37．AD
【解析】
【分析】
先求出直线与坐标轴的交点，然后求出两交点距离即圆的半径，然后分别以为圆心写出圆的标准方程.
【详解】
解：令，则；令，则.所以设直线与两坐标轴的交点分别为.,
以为圆心，过点的圆的方程为：.以为圆心，过点的圆的方程为：.
故选：AD.
【点睛】
本题考查圆的标准方程，属于基础题.
38．9
【解析】
【分析】
根据列举法，写出集合中元素，即可得出结果.
【详解】
将满足的整数全部列举出来，即
，共有9个.
故答案为：9.
【点睛】
本题主要考查判断集合中元素个数，属于基础题型.
39．或
【解析】
【分析】
设，依题意可确定的外心为，可得出一个关系式，求出重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出另一个关系式，解方程组，即可得出结论.
【详解】
设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为
与直线的交点为，
∴①
由，，重心为，
代入欧拉线方程，得②
由 ①②可得或 .
故答案为：或.
【点睛】
本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形的外心与重心，考查逻辑思维能力和计算能力，属于较难题.
40．
【解析】
【分析】
求出的中点坐标即为圆心，求出线段长度的一半即为半径，即可得圆的标准方程.
【详解】
因为点、，
所以线段的中点坐标为，
因为，所以以线段为直径的圆的半径为，
所以以线段AB为直径的圆的标准方程是.
故答案为：.
41．
【解析】
设点，连接交于，可写出的坐标，再在直角中，，利用勾股定理列方程可得x, y的关系式，即顶点的轨迹方程.
【详解】
设点，如图连接交于，
由矩形可知为的中点，，
连接，在直角中，，则
即，整理得，
所以顶点的轨迹方程是
故答案为：
【点睛】
关键点睛：本题考查求轨迹方程，解题的关键是求谁设谁，设点，然后再利用图像的几何关系找到x, y的关系式，即求得轨迹方程，考查学生的直观想象能力与运算求解能力，属于中档题.
42．
【解析】
【分析】
由题意画出图形，利用圆心与切点的连线与切线垂直求得m，再求半径，即可写出圆的方程．
【详解】
解：如图所示，
由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得.
所以圆心为，半径为.
所以圆的标准方程为.
故答案为：.
43．
【解析】
【分析】
令外接圆圆心，而中点为、中点为，由求x、y，进而求半径，即可写出△的外接圆的方程.
【详解】
令△的外接圆圆心，又A（4，0），，
∴中点为，则，则，
中点为，则，则，
∴圆心，又外接圆的半径，
∴△的外接圆的方程为.
故答案为：.
44．（1）；；（2）
【解析】
【分析】
（1）将圆的方程转化为标准形式，可得结果.
（2）根据弦的中垂线过圆心，可得中垂线的斜率，然后根据垂直关系，可得直线的斜率，最后根据点斜式可得结果.
【详解】
（1）由圆的方程为
则
所以可知圆心，半径
（2）由弦的中垂线为,则
所以可得，
故直线AB的方程为：
即
【点睛】
本题考查圆的方程以及直线方程，难点在于对圆的几何性质的认识，属基础题.
45．(1)或
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
利用待定系数法分别求出（1）、（2）、（3）、（4）的圆的标准方程.
(1)
设圆的标准方程为．
因为点在圆上，所以，解得a=-2或a=6，
所以所求圆的标准方程为或．
(2)
设圆的标准方程为，由题意得，；
又因为点在圆上，所以．
所以所求圆的标准方程为．
(3)
设圆心为．
因为圆与直线y=1-x相切于点，所以，
解得a=1．所以所求圆的圆心为，半径．
所以所求圆的方程为．
(4)
设点C为圆心，因为点C在直线上，故可设点C的坐标为．
又该圆经过A、B两点，所以．
所以，解得a=-2，
所以圆心坐标为，半径．
故所求圆的标准方程为．
46．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）计算出直线的斜率，利用可得出直线的斜率，然后利用点斜式可得出边所在直线的方程；
（2）求出点的坐标，计算出线段的中点坐标作为圆的圆心坐标，计算出作为圆的半径，由此可得出圆的标准方程.
【详解】
（1）直线的斜率为，
由题意可知，则直线的斜率为.
因此，边所在直线的方程为，即；
（2）直线的方程为，由于点在轴上，则点.
由于是以为直角的直角三角形，则该三角形的外接圆圆心为线段的中点，
则，所以，圆的半径为.
因此，圆的标准方程为.
【点睛】
本题考查直线方程的求解，同时也考查了三角形外接圆的方程，一般利用圆的一般方程求解，也可以确定圆心坐标，利用标准方程求解，考查计算能力，属于中等题.
47．（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）先求线段的垂直平分线，再联立直线求解即可；
（2）分析向上平移1个单位长度后的圆心和半径即可
【详解】
（1）因为直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的斜率为1．
又易知线段的中点坐标为，
所以直线的方程为，即．
因为圆心在直线上，所以圆心是直线与直线的交点．
由，解得．
所以圆心为，半径．
所以圆的标准方程是．
（2）由（1），知圆的圆心坐标为，
将点向上平移1个单位长度后得到点，
故圆的圆心坐标为，半径为，
故圆的标准方程为．
48．（1）；（2）.
【解析】
（1）求出的垂直平分线和直线的交点可得圆心坐标，再利用两点间距离求半径，即可得答案；
（2）求出点，再利用点到直线距离公式求高，代入面积公式即可得答案；
【详解】
（1）依题意知所求圆的圆心为的垂直平分线和直线的交点．
的中点为，直线的斜率为1，
的垂直平分线的方程为，即．
由，得，即圆心．
半径．
故所求圆的标准方程为．
（2）点在圆上，
或(舍去)，，
，直线的方程为：，
点到直线的距离为4，
的面积．
【点睛】
利用圆的几何意义求圆的方程时，注意只要圆过两点A,B，其圆心必在线段的中垂线上.
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2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
【考点梳理】
考点一 圆的标准方程
(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.
(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.
考点二 点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内 |CM|
题型一：由圆心（或半径）求圆的方程
1．圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．圆：关于直线对称的圆的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
题型二：求过已知三点的圆的标准方程
4．经过三个点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则外接圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆过点，，且圆心在轴上，则圆的方程是（ ）
A． B． C． D．
题型三： 由标准方程确定圆心和半径
7．已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
8．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A． B．9 C．4 D．8
9．若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
【双基达标】
10．过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
11．圆心为，半径为的圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知M、N分别是圆和圆上的两个动点，点P在直线上，则的最小值是（ ）
A． B．10 C． D．12
13．过点A（1，1），B（-3，5），且圆心在直线上的圆的半径是（ ）
A．2 B．3 C． D．10
14．已知圆过点，，则圆心到原点距离的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
15．圆心为，半径为3的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
16．以直线经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
17．已知定直线l的方程为，点Q是直线l上的动点，过点Q作圆的一条切线，是切点，C是圆心，若面积的最小值为，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
18．经过点且圆心是两直线与的交点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
19．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：x2＋y2＝1上的动点M和定点A，B(1，1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
20．函数的图象是（ ）
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半圆弧
21．圆的圆心关于原点的对称点为（ ）
A． B． C． D．
22．若两定点，，动点M满足，则动点M的轨迹围成区域的面积为（ ）．
A． B． C． D．
23．圆关于直线l：对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
24．已知点，点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
25．圆心为且和轴相切的圆的方程是
A． B．
C． D．
26．已知直线与圆相交于两点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
27．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
28．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为
A． B．
C． D．
29．下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为，半径为5
B．圆的圆心为，半径为
C．圆的圆心为，半径为
D．圆的圆心为，半径为
30．已知圆，则其圆心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
31．在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
32．圆上一点到原点的距离的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
33．已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ）
A． B．6
C． D．
二、多选题
34．实数，满足，则下列关于的判断正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
35．设有一组圆：，下列命题正确的是（ ）
A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上
B．所有圆均不经过点
C．经过点的圆有且只有一个
D．所有圆的面积均为
36．圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
37．以直线与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为
A． B．
C． D．
三、填空题
38．已知集合，则中元素的个数为_____.
39．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是_________
40．已知点、，以线段为直径的圆的标准方程是___________.
41．如图，已知圆是圆上两个动点，点，则矩形的顶点的轨迹方程是___________．
42．已知圆的圆心坐标是，若直线与圆相切于点，则圆的标准方程为___________.
43．已知△的三个顶点分别是点A（4，0），，，则△的外接圆的方程为______．
四、解答题
44．设圆的方程为
（1）求该圆的圆心坐标及半径.
（2）若此圆的一条弦AB的中点为，求直线AB的方程.
45．求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心在x轴上，半径为5，且过点；
(2)经过点、，且以线段AB为直径；
(3)圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切于点；
(4)圆心在直线x-2y-3=0上，且过点，．
46．直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在轴上.
（1）求边所在直线的方程；
（2）圆是三角形的外接圆，求圆的方程.
47．已知圆过点，，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）将圆向上平移1个单位长度后得到圆，求圆的标准方程．
48．已知以点C为圆心的圆经过点A(-1，0)和B(3，4)，且圆心C在直线上
（1）求圆C的方程；
（2）设点Q(-1，)(m>0)在圆C上，求△QAB的面积.
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参考答案
1．B
【解析】
【分析】
直接写出标准方程，即可得到答案.
【详解】
圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程为.
故选：B
2．C
【解析】
【分析】
设动圆圆心，利用动圆M经过坐标原点，可得，利用基本不等式可得，从而得到要求的最大值.
【详解】
设动圆圆心，半径为1，动圆M经过坐标原点，可得,即，
，当且仅当时取等号，即，
则圆心M的横纵坐标之和的最大值为
故选：C
3．A
【解析】
【分析】
根据两圆心的中点在直线上，过两圆心的直线与已知直线垂直列方程组可得所求圆心坐标，然后可得.
【详解】
解：表示以为圆心，以1为半径的圆．
设关于直线对称的点为，则有，解得：，，
所以：关于直线对称的圆的方程为．
故选：A．
4．C
【解析】
【分析】
根据三点在坐标系的位置，确定出是直角三角形，其中是斜边，则有过三点的圆的半径为的一半，圆心坐标为的中点，进而根据圆的标准方程求解.
【详解】
由已知得，分别在原点、轴、轴上，
，
经过三点圆的半径为，
圆心坐标为的中点，即，
圆的标准方程为.
故选：C.
5．D
【解析】
【分析】
求得外接圆的方程即可进行选择.
【详解】
设外接圆的方程为
则有，解之得
则外接圆的方程为
故选：D
6．B
【解析】
【分析】
根据圆心在轴上，设出圆的方程，把点，的坐标代入圆的方程即可求出答案.
【详解】
因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为，
因为点，在圆上，所以，解得，
所以圆的方程是.
故选：B.
7．A
【解析】
【分析】
先求得圆心，根据直线过圆心，可得，代入所求，根据二次函数的性质，即可得答案.
【详解】
由题意得圆心为（1,1），因为直线过圆心，
所以，即，
所以，
所以当时，的最小值为.
故选：A
8．B
【解析】
【分析】
由题可得，然后利用基本不等式即得.
【详解】
圆的圆心为，依题意，点在直线上，
因此，即，
∴，
当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为9.
故选：B.
9．A
【解析】
【分析】
若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】
由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
10．B
【解析】
【分析】
先根据圆与，轴都相切，求出圆心，然后利用点到直线的距离公式求出结果．
【详解】
设圆心为，由已知得，
解得，，或，，
所以圆心为或．
当圆心为时，圆心到直线的距离；
当圆心为时，圆心到直线的距离．
故选：B．
11．B
【解析】
【分析】
直接根据圆心和半径写出结果.
【详解】
由题意可得所求圆的标准方程是.
故选：B
12．C
【解析】
【分析】
计算圆心关于直线的对称点为，计算，得到最值.
【详解】
圆的圆心为，圆的圆心为，
关于直线的对称点为，，
故的最小值是.
故选：C.
【点睛】
本题考查了点关于直线对称，与圆相关的距离的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化能力.
13．C
【解析】
【分析】
用待定系数法设出圆的标准方程，由题意构建关系的方程组，求解即可得到答案
【详解】
设圆的标准方程为，
因为圆过点A（1，1），B（-3，5），且圆心在直线上，
则有，解得，
所以圆的半径是
故选：C
14．B
【解析】
【分析】
由题意可知圆心在线段的垂直平分线上，将所求的最值转化为原点到该直线的距离，即可得解.
【详解】
由圆过点，，可知圆心在线段的垂直平分线上
又，则
又的中点为，则直线的方程为
圆心到原点距离的最小值即为原点到直线的距离为
故选：B
15．D
【解析】
【分析】
根据圆心和半径可直接得到圆的方程.
【详解】
因为圆心为，半径为3，故圆的方程为：.
故选：D.
【点睛】
本题考查圆的标准方程，一般根据圆心坐标和半径可直接写出圆的标准方程，本题属于基础题.
16．A
【解析】
【分析】
先由直线的方程求得直线恒过的定点，再由圆的圆心和半径得出圆的方程得选项.
【详解】
解：因为直线方程为，即，所以直线过定点，
所以圆方程为，即，
故选：A.
17．B
【解析】
【分析】
由题意可得直线l的方程为，再求出圆C的圆心坐标与半径，由面积的最小值为求得，再由点到直线的距离公式求解k，可得直线l的方程，进一步求得直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值．
【详解】
解：由题意可得直线l的方程为，
圆C的圆心，半径为1，
如图：
，
又，当取最小值时，取最小值，
此时，可得，，
则，解得，
则直线l的方程为，
则直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为．
故选：B．
18．B
【解析】
【分析】
求出圆心坐标和半径后，直接写出圆的标准方程.
【详解】
由得，
即所求圆的圆心坐标为.
由该圆过点，得其半径为1，
故圆的方程为.
故选：B.
【点睛】
本题考查了圆的标准方程，属于基础题.
19．C
【解析】
【分析】
讨论点M在x轴上与不在x轴上两种情况，若点M不在x轴上，构造点K(－2，0)，可以根据三角形的相似性得到，进而得到2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|，最后根据三点共线求出答案.
【详解】
①当点M在x轴上时，点M的坐标为(－1，0)或(1，0)．
若点M的坐标为(－1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋；
若点M的坐标为(1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋．
②当点M不在x轴上时，取点K(－2，0)，如图，
连接OM，MK，因为|OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，
所以．
因为∠MOK＝∠AOM，
所以△MOK∽△AOM，则，
所以|MK|＝2|MA|，则2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|．
易知|MB|＋|MK|≥|BK|，
所以|MB|＋|MK|的最小值为|BK|．
因为B(1，1)，K(－2，0)，
所以(2|MA|＋|MB|)min
＝|BK|＝．
又<1＋<4，所以2|MA|＋|MB|的最小值为．
故选：C
20．D
【解析】
【分析】
将函数化为，即可得出结论.
【详解】
解：可化为，所以的图象是半圆弧．
故选：D.
21．C
【解析】
【分析】
根据圆的标准方程求出圆心，进而结合点对称即可求出结果.
【详解】
圆的圆心为，关于原点对称的点为，
故选：C.
22．D
【解析】
【分析】
根据给定条件求出动点M的轨迹方程，再确定轨迹即可计算作答.
【详解】
设，依题意，，化简整理得：，
因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
所以动点M的轨迹围成区域的面积为.
故选：D
23．A
【解析】
【分析】
首先求出圆的圆心坐标与半径，再设圆心关于直线对称的点的坐标为，即可得到方程组，求出、，即可得到圆心坐标，从而求出对称圆的方程；
【详解】
解：圆的圆心为，半径，设圆心关于直线对称的点的坐标为，
则，解得，即圆关于直线对称的圆的圆心为，半径，
所以对称圆的方程为；
故选：A
24．D
【解析】
【分析】
由题意可得的最大值是，从而可求得答案
【详解】
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
因为点，点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，
所以的最大值是
．
故选：D
25．A
【解析】
【分析】
由题意先求出圆的半径，再根据圆心坐标，求得它的标准方程．
【详解】
解：圆心为且和轴相切的圆，它的半径为1，
故它的的方程是，
故选：．
【点睛】
本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.
26．D
【解析】
【分析】
由圆的平面几何性质可知，过圆心与垂直的直线即为所求，根据垂直关系求出AB中垂线斜率即可求解.
【详解】
因为直线AB：的斜率为，可知垂直平分线的斜率为，
又圆的圆心为，
所以弦AB的垂直平分线方程为，化简得，
故选：D
27．C
【解析】
根据题中条件，得到圆的半径，进而可得圆的方程.
【详解】
以点为圆心且与轴相切的圆的半径为，
故圆的标准方程是.
故选：C.
28．B
【解析】
【分析】
由题意利用中点公式求得圆心，可得半径，从而求出圆的标准方程．
【详解】
解：点，，则以线段为直径的圆的圆心坐标为 1，，
半径为，
故它的方程为，即．
而选项即：即，即，故错误；
而选项即：即，即，故正确；
而选项即：即，即，故错误；
而选项即：即，即，故错误；
故选：．
29．C
【解析】
【分析】
根据圆的标准方程求出圆心与半径即可判断.
【详解】
圆的圆心为，半径为，A错误；
圆的圆心为，半径为，B错误；
易知C正确；
圆的圆心为，半径为，D错误.
故选：C
30．C
【解析】
【分析】
根据圆的标准方程，直接求圆心坐标.
【详解】
圆，则其圆心的坐标为.
故选：C
31．B
【解析】
【分析】
先求得A，两点坐标，根据得到，再结合可得到C轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案.
【详解】
由得 ，
故 由得，
由得，设 ，则 ，
即，即点C轨迹为一动圆，
设该动圆圆心为 ，则，
整理得 ，代入到中，
得： ，即C轨迹的圆心在圆上，
故点（1,1）与该圆上的点的连线的距离加上圆的半径即为点到点的距离的最大值，最大值为 ，
故选：B
32．C
【解析】
求得圆的圆心和半径，由此求得圆上一点到原点的距离的最大值.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
圆心到原点的距离为，
所以圆上一点到原点的距离的最大值为.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查点和圆的位置关系，属于基础题.
33．D
【解析】
【分析】
配方，由半径的最小值得参数值，然后求出圆心到原点距离，再加半径可得.
【详解】
根据题意，圆，
变形可得．
其圆心为，半径为，则，
当圆的面积最小时，必有，此时．
圆的方程为，
圆心到原点为距离，
则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为．
故选：D．
34．CD
【解析】
【分析】
由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，则为圆上的点与定点的斜率的值，由点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系可得选项．
【详解】
由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，
则为圆上的点与定点的斜率的值，
设过点的直线为，即，
则圆心到到直线的距离，即，整理可得，解得，
所以，即的最大值为，最小值为.
故选：CD.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系和由几何意义求最值的问题，属于中档题．
35．ABD
【解析】
【分析】
A选项，圆心坐标为，故在直线上；B选项，代入得到一元二次方程，由根的判别式判断；C选项，代入得到一元二次方程，由根的判别式进行求解；D选项，由半径为2求出面积为4.
【详解】
A选项，圆心为，一定在直线上，A正确；
B选项，将代入得：，其中，方程无解，即所有圆均不经过点，B正确；
C选项，将代入得：，其中，故经过点的圆有两个，故C错误；
所有圆的半径为2，面积为4.
故选：ABD
36．AD
【解析】
【分析】
由题意知圆心在直线，设圆心坐标为，由圆过点即可求解.
【详解】
圆上的点关于直线的对称点仍在这个圆上，
圆心在直线上，
设圆心坐标为，
则由，解得或，
所求圆的方程为或.
故选：AD
37．AD
【解析】
【分析】
先求出直线与坐标轴的交点，然后求出两交点距离即圆的半径，然后分别以为圆心写出圆的标准方程.
【详解】
解：令，则；令，则.所以设直线与两坐标轴的交点分别为.,
以为圆心，过点的圆的方程为：.以为圆心，过点的圆的方程为：.
故选：AD.
【点睛】
本题考查圆的标准方程，属于基础题.
38．9
【解析】
【分析】
根据列举法，写出集合中元素，即可得出结果.
【详解】
将满足的整数全部列举出来，即
，共有9个.
故答案为：9.
【点睛】
本题主要考查判断集合中元素个数，属于基础题型.
39．或
【解析】
【分析】
设，依题意可确定的外心为，可得出一个关系式，求出重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出另一个关系式，解方程组，即可得出结论.
【详解】
设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为
与直线的交点为，
∴①
由，，重心为，
代入欧拉线方程，得②
由 ①②可得或 .
故答案为：或.
【点睛】
本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形的外心与重心，考查逻辑思维能力和计算能力，属于较难题.
40．
【解析】
【分析】
求出的中点坐标即为圆心，求出线段长度的一半即为半径，即可得圆的标准方程.
【详解】
因为点、，
所以线段的中点坐标为，
因为，所以以线段为直径的圆的半径为，
所以以线段AB为直径的圆的标准方程是.
故答案为：.
41．
【解析】
设点，连接交于，可写出的坐标，再在直角中，，利用勾股定理列方程可得x, y的关系式，即顶点的轨迹方程.
【详解】
设点，如图连接交于，
由矩形可知为的中点，，
连接，在直角中，，则
即，整理得，
所以顶点的轨迹方程是
故答案为：
【点睛】
关键点睛：本题考查求轨迹方程，解题的关键是求谁设谁，设点，然后再利用图像的几何关系找到x, y的关系式，即求得轨迹方程，考查学生的直观想象能力与运算求解能力，属于中档题.
42．
【解析】
【分析】
由题意画出图形，利用圆心与切点的连线与切线垂直求得m，再求半径，即可写出圆的方程．
【详解】
解：如图所示，
由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得.
所以圆心为，半径为.
所以圆的标准方程为.
故答案为：.
43．
【解析】
【分析】
令外接圆圆心，而中点为、中点为，由求x、y，进而求半径，即可写出△的外接圆的方程.
【详解】
令△的外接圆圆心，又A（4，0），，
∴中点为，则，则，
中点为，则，则，
∴圆心，又外接圆的半径，
∴△的外接圆的方程为.
故答案为：.
44．（1）；；（2）
【解析】
【分析】
（1）将圆的方程转化为标准形式，可得结果.
（2）根据弦的中垂线过圆心，可得中垂线的斜率，然后根据垂直关系，可得直线的斜率，最后根据点斜式可得结果.
【详解】
（1）由圆的方程为
则
所以可知圆心，半径
（2）由弦的中垂线为,则
所以可得，
故直线AB的方程为：
即
【点睛】
本题考查圆的方程以及直线方程，难点在于对圆的几何性质的认识，属基础题.
45．(1)或
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
利用待定系数法分别求出（1）、（2）、（3）、（4）的圆的标准方程.
(1)
设圆的标准方程为．
因为点在圆上，所以，解得a=-2或a=6，
所以所求圆的标准方程为或．
(2)
设圆的标准方程为，由题意得，；
又因为点在圆上，所以．
所以所求圆的标准方程为．
(3)
设圆心为．
因为圆与直线y=1-x相切于点，所以，
解得a=1．所以所求圆的圆心为，半径．
所以所求圆的方程为．
(4)
设点C为圆心，因为点C在直线上，故可设点C的坐标为．
又该圆经过A、B两点，所以．
所以，解得a=-2，
所以圆心坐标为，半径．
故所求圆的标准方程为．
46．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）计算出直线的斜率，利用可得出直线的斜率，然后利用点斜式可得出边所在直线的方程；
（2）求出点的坐标，计算出线段的中点坐标作为圆的圆心坐标，计算出作为圆的半径，由此可得出圆的标准方程.
【详解】
（1）直线的斜率为，
由题意可知，则直线的斜率为.
因此，边所在直线的方程为，即；
（2）直线的方程为，由于点在轴上，则点.
由于是以为直角的直角三角形，则该三角形的外接圆圆心为线段的中点，
则，所以，圆的半径为.
因此，圆的标准方程为.
【点睛】
本题考查直线方程的求解，同时也考查了三角形外接圆的方程，一般利用圆的一般方程求解，也可以确定圆心坐标，利用标准方程求解，考查计算能力，属于中等题.
47．（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）先求线段的垂直平分线，再联立直线求解即可；
（2）分析向上平移1个单位长度后的圆心和半径即可
【详解】
（1）因为直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的斜率为1．
又易知线段的中点坐标为，
所以直线的方程为，即．
因为圆心在直线上，所以圆心是直线与直线的交点．
由，解得．
所以圆心为，半径．
所以圆的标准方程是．
（2）由（1），知圆的圆心坐标为，
将点向上平移1个单位长度后得到点，
故圆的圆心坐标为，半径为，
故圆的标准方程为．
48．（1）；（2）.
【解析】
（1）求出的垂直平分线和直线的交点可得圆心坐标，再利用两点间距离求半径，即可得答案；
（2）求出点，再利用点到直线距离公式求高，代入面积公式即可得答案；
【详解】
（1）依题意知所求圆的圆心为的垂直平分线和直线的交点．
的中点为，直线的斜率为1，
的垂直平分线的方程为，即．
由，得，即圆心．
半径．
故所求圆的标准方程为．
（2）点在圆上，
或(舍去)，，
，直线的方程为：，
点到直线的距离为4，
的面积．
【点睛】
利用圆的几何意义求圆的方程时，注意只要圆过两点A,B，其圆心必在线段的中垂线上.
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