24.4弧长和扇形面积（1）课件（共28张PPT）

(共27张PPT)
人教版 九年级上册
24.4弧长和扇形面积(1)
弧长和扇形面积公式是与圆有关的计算中的两个常用公式．应用弧长和扇形面积公式可以计算一些与圆有关的图形的周长和面积，也可以解决一些简单的实际问题．学习这两个公式也为圆锥侧面积公式的推导打下了基础．
弧长公式是在圆周长公式的基础上，借助部分与整体之间的联系推导出来的．运用相同的研究方法，可以在圆面积公式的基础上推导出扇形面积公式，进而通过弧长表示扇形面积．
课件说明
学习目标：
　1．理解 1°的圆心角所对的弧长等于圆周长的　　，
　　 所对的扇形面积等于圆面积的　　；能够发现 n°
　　 的圆心角所对的弧长和扇形面积都是 1°的圆心角 　 所对的弧长和扇形面积的 n 倍；能利用弧长表示扇 　 形面积．并能利用公式计算弧长和扇形面积． 2．在弧长和扇形面积公式的推导过程中，发现弧长与 　 圆周长、扇形面积与圆面积都是部分与整体之间的 　 关系，从而将计算弧长和扇形面积的问题转化为求 　 圆周长和圆面积的一部分来解决，体会转化、类比 　 的数学思想．
课件说明
学习重点： 弧长和扇形面积公式的推导及运用．
课件说明
　　我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分．如何计算圆周长？如何计算弧长？
O
C=2πR
R
l =
学习新知
(1)圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？
360°．
(2)在同圆或等圆中，每一个 1°的圆心角所对的
弧长有怎样的关系？
相等．
回答问题
推导弧长计算公式
(3) 1°的圆心角所对的弧长是多少？
圆周长的 ．
(4) n°的圆心角所对的弧长是多少？
是1°的圆心角所对弧长的 n 倍．
(5)怎样计算半径为 R 的圆中，1°的圆心角所对 的弧长？
　　1°的圆心角所对弧长是圆周长的 　，
为　　
　　 ．
(6)怎样计算半径为 R 的圆中，2°的圆心角所对 的弧长？
　　2°是 1°的 2 倍，所以弧长也是 1°的圆心角所对
弧长的 2 倍，为 　　　　　．
2πR
360
=
πR
180
(7)怎样计算半径为 R 的圆中，5°的圆心角所对 的弧长？
　　5°是 1°的 5 倍，所以弧长也是 1°的圆心角所对
弧长的 5 倍，为 　　　　　 ．
(8)怎样计算半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对 的弧长？
　　n°是 1°的 n 倍，所以弧长也是 1°的圆心角所对
弧长的 n 倍，为 　　　．
nπR
180
弧长的大小由哪些量决定？
圆的半径、
n°的圆心角所对 的弧长:
圆心角的度数．
l =
O
　　例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图中所示的管道的展直长度 L(结果取整数)．
A
B
C
D
O
R=900 mm
700 mm
700 mm
100°
例题解析
A
B
C
D
O
R=900 mm
700 mm
700 mm
100°
解：
展直长度 L=
2×700＋ 1570
=2970 (mm).
由弧长公式，得AB的长为
︵
100×900
× π
180
=500π
≈1570(mm)
l =
　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
能否类比刚才我们研究弧长公式的方法推导出扇形面积的计算公式？
A
B
O
n°
πR2
360°~
1°~
πR2
360
n°~
nπR2
360
比较扇形面积公式　　 和弧长公式　　，
你能用弧长表示扇形面积吗？
A
B
O
S扇形=
=
1
2
×
×R
=
1
2
l R
n°
　　例2如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位)．
(1)你能否在图中标出截面半径和水高？　　
O
A
B
C
D
(2)如何求它的面积？
S截面=
S扇形OACB
－S△OAB
∠AOB=？°
AB=？
O
A
B
C
D
∴ S截面=
S扇形OAB
－S△OAB
连接 OA ，OB.
作 OC⊥AB ，垂足为D .
解：
OC交AB于点C.
︵
连接 AC
∵OC=0.6m，
DC=0.3m，
∴OD=OC－DC=0.3m.
∴OD=DC.
∴AC=AO，
∴AB是OC的垂直平分线，
∴AC=AO=OC=0.6m。
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°.
=
∴AD=
∴AB=
AO2－OD2
3 ，
0.3
3 .
0.6
120π×0.62
360
=
－
0.3
1
2
×
3
0.6
≈0.22( m2).
　　2.如图，有一段弯道是圆弧形，道长是12m，弧所对的圆心角是81°这段弧所在圆的半径R是多少米？(结果保留小数点后一位)．
A
B
∵l =
∴R =
180l
n π
∴R =
180×12
× π
81
81°
12m
≈8.5(m)
解：
B
C
A
　　2.如图，正三角形ABC的边长为a，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，以A，B，C三点为圆心， 长为半径作圆.求图中阴影部分的面积.
a
2
D
E
F
S阴影=
－3S扇形BDE
S△OAB
AD
学以致用
B
C
A
a
2
D
E
F
解：
连接 AD.
∵△ ABC是正三角形，
BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD =
AB2－BD2
=
a2－( )2
=
3
2
a
∴S阴影=
－3S扇形BDE
S△OAB
=
BC
AD
1
2
－3
60×( )2
× π
360
×
a
2
=
3
4
a2
－
a2
8
π
=
( －π)
8
a2
3
2
∠B=60°.
巩固新知
1.已知一个扇形的半径为6，且弧长是2π，则此扇形的圆心角为 ( ) .
A. 30° B. 60° C. 90° D.120°
2.扇形的半径为6，且圆心角为90°，则此扇形的弧长是( ) .
A. B. C. D.
2π
3
2
6π
π
3π
B
C
3.如图，⊙O 是△ ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧BC的长等于( ).
︵
A. B. C. D.
π
3
3
3
π
2
3
π
3
3
π
2
A
C
B
O
A
4.扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的面积是( ) .
A. B. C. D.
4π
24π
2π
12π
5.如图，在扇形OAB中， ∠AOB=90°，OA=2，则阴影部分的面积是( ) .
2 B．π
C. 2π D．π－2
O
A
B
C
D
6.已知扇形的弧长为6π，面积为27π，则此扇形的圆心角度数是 .
7.如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为 .
A
B
C
O
120°
6π
　　(1)弧长和扇形面积公式是什么？你是如何得到这两个公式的？如何运用？
　　(2)弧长与圆周长、扇形面积与圆面积之间有什么联系？
小结
今天作业
课本P115页习题 24.4
第1、2、3题
谢谢
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