冀教版数学八年级上册同步课件：13.4 三角形的尺规作图（23张PPT）

(共23张PPT)
第十三章 全等三角形
13.4 三角形的尺规作图
知识回顾
复习：1.如何用圆规和直尺作一条线段等于已知线段？
已知：线段AB．
求作：线段CD，使CD＝AB．
作法：（1）画射线CE；
（2）以C为圆心，AB长为半径画弧，交CE于点D.
线段CD即为所求.
已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB．
作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；
（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′；
（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．
2.如何用圆规和直尺作一个角等于已知角？
问题导入
刚才回顾的用圆规和直尺作一个角等于已知角的作图中，即 ∠A'O'B'＝∠AOB，为什么？
证明：在△OCD和△O'C'D'中，
∴△OCD≌△O'C'D'（SSS）
∴∠A'O'B'＝∠AOB（全等三角形的对应角相等）
显然，圆规和直尺作一个角等于已知角的数学原理是全等三角形的判定，那么圆规和直尺能不能作一个已知三角形全等呢？（当然能！）这节课的任务就是三角形的尺规作图。
获取新知
尺规作图
只用直尺（没有刻度）和圆规也可以画出一些图形，这种画图方法被称为尺规作图.
知识点
概念学习：尺规作图
1
例1 下列作图属于尺规作图的是（　　）
A．用量角器画出∠AOB的平分线OC
B．借助直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α
C．画线段AB＝3cm
D．用三角尺过点P作AB的垂线
B
例题讲解
解析：根据尺规作图的定义分析即可.
变式练习1 如图，用尺规作出∠OBF＝∠AOB，作图痕迹 是(　　)
A．以点B为圆心，OD为半径的弧
B．以点B为圆心，DC为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DC为半径的弧
D
例1 如图，已知线段a，b，c.
求作：△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b.
解析：由作一条线段等于已知线段，能够作出边AB，即A，B两点确定，而BC=a，AC=b，故以点A为圆心，b为半径画弧长，以点B为圆心，a为半径画弧，两弧的交点就是点C.
例题讲解
知识点
用尺规作三角形
2
作法：
第一步：作线段AB等于c；
第二步：以点A为圆心，以b为半径画弧长；
第三步：以点B为圆心，以a为半径画弧，两弧交于点C；
第四步：连接AC，BC，△ABC即为所求.
c
B
A
c
B
A
b
c
B
A
b
a
操作：你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？
SSS:三边对应相等的两个三角形全等.
做一做 已知：两边及其夹角，线段a，c，∠α．
求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
解析：先利用“SSS”作∠ABC＝∠α，再分别截取BA＝c，BC＝a，从而得到△ABC，并且利用“SAS”可判断△ABC是唯一的．
操作：你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？
SAS:两边及夹角对应相等的两个三角形全等.
总结
由三角形全等判定可以知道，每一种判定两个三角形全等的条件（_____，_____，_____，_____），都只能作出唯一的三角形.
SSS
SAS
ASA
AAS
例题讲解
例2 如图，已知线段a，b，c，
求作：△ABC，使AB＝a，AC＝b，且BC边上中线AD＝c．
温馨提示：在作较复杂的三角形时，先画草图，从中找出一个较容易作出的三角形，然后以它为基础作所求作的三角形.
作法：
（4）连接AC，△ABC即为所求.
（1）以a，b，2c为三边作△ABC，使得AB=a，BE=b，AE=2c；
（2）取AE的中点D；
（3）连接BD，并延长BD到点C，使DC=BD；
总结
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
1.利用尺规不能唯一作出的三角形是（ ）
A、已知三边 B、已知两边及夹角
C、已知两角及夹边 D、已知两边及其中一边的对角
D
随堂演练
2.下列条件能作一个唯一三角形的是_________（填序号）.
①∠A=65°，∠B=45°，∠C=90°；
②∠A=60°，∠B=60°，∠C=60°；
③AB=4cm，BC=3cm，AC=5cm；
④AB=2cm，BC=5cm，AC=3cm；
③
4
3.如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出　　个．
解析：能画4个，分别是：
以D为圆心，AB为半径画圆；以E为圆心，AC为半径画圆．两圆相交于两点（DE上下各一个），分别于D，E连接后，可得到两个三角形．
以D为圆心，AC为半径画圆；以E为圆心，AB为半径画圆．两圆相交于两点（DE上下各一个），分别于D，E连接后，可得到两个三角形．
因此最多能画出4个.
4. 尺规作图：已知线段a，
求作:△ABC，使AB＝BC＝CA＝a．（要求保留作图痕迹）
解析：先作AB＝a，再分别以点A、B为圆心，a为半径画弧，两弧相交于点C，然后连接AC、BC即可得到△ABC．
解：如图，△ABC即为所求．
5.下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程．
已知：线段m，n及∠O．
求作：△ABC，使得线段m，n及∠O分别是它的两边和一角．
作法：如图，①以点O为圆心，m长为半径画弧，
分别交∠O的两边于点M，N；
②画一条射线AP，以点A为圆心，m长为半径画弧，交AP于点B；
③以点B为圆心，MN长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D；
④画射线AD；
⑤以点A为圆心，n长为半径画弧，交AD于点C；
⑥连接BC，则△ABC即为所求作的三角形．
请回答：
（1）步骤③得到两条线段相等，即　　＝　　；
（2）∠A＝∠O的作图依据是：　 　；
（3）小红说小明的作图不全面，原因是：　 　．
BD
MN
三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等
小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论
6.已知：△ABC，
求作：△DEF，使△DEF≌△ABC（尺规作图，保留作图痕迹）．
作法：
（1）画线段EF＝BC；
（2）分别以E、F为圆心，线段AB，AC为半径画弧，两弧交于点D；
（3）连接线段DE、DF．∴△DEF就是所求作的三角形．
作法不唯一，可以根据SSS来作，也可以根据SAS、ASA.
课堂小结
④已知两角和其中一角的对边作三角形
①已知三边作三角形
三角形的尺规作图
转化
②已知两边及其夹角作三角形
③已知两角及其夹边作三角形