冀教版数学八年级上册同步课件：14.3.1 实数的概念（28张PPT）

(共28张PPT)
第十四章 实数
14.3 实数
第1课时 实数的概念
知识回顾
1.什么叫做有理数？
2.利用计算器把下列分数写成小数的形式，它们有什么特征？
整数和分数统称有理数.
它们都可以化为有限小数或无限循环小数
情景导入
如图是由4条横线，5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1（即每个小正方形的边长为1）.从这些纵横相交得出的20个点(称为格点)中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形.
(1)有面积分别是1,4,9的格点正方形吗？
(2)有面积是2的格点正方形吗？把它画出来.
获取新知
知识点
无理数
1
一起探究 如图(1)所示，在半透明纸上画一个两条直角边都是2 cm的直角三角形ABC，然后剪下这个三角形，再沿斜边上的高CD剪开后，拼成如图(2)所示的正方形.
(1)这个三角形的面积和拼成的正方形的面积是不是相等？面积是多少？
(2)如果设正方形的边长为x cm，那么x与这个正方形的面积有怎样的关系？
(1)
(2)
A
B
C
D
事实上，因为S△ABC＝ ×2×2＝2cm2.如果设正方形的边长为x cm，那么x2 = 2.因为正方形的边长是正数，所以x是2的算术平方根，即x＝
是一个什么样的数呢？
概念学习
是整数吗 -3,-2,-1,0,1,2,3的平方等于2吗 你认为有平方后等于2的整数吗
2. 是分数吗 的平方等于 2吗 你认为有平方后等于2的分数吗
3. 会是有理数吗
事实上， 不是有理数.
借助计算机可以得到
= l. 414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 … . 它是一个无限不循环小数.
我们早就认识的圆周率π，它也是一个无限不循环小数：
π =3. 141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 1 ….
有理数包括整数和分数两部分.
(1)整数可以写成小数的形式，如
－10=－10. 0，－1=－1.0， 0=0.0，50=50.0.
对于任意给定的一个整数，你能将它写成小数的形式吗？
(2)分数可以写成有限小数或无限循环小数，如
=－0.01， ＝－0.6， =3. 5， =0.187 5,
=－0.333 33…＝－0.3， =0. 666 66…=0.6，
观察与思考
.
.
有理数总可以写成有限小数或无限循环小数.
＝318 18 …=0.318.
任意给定一个分数，你能将它写成有限小数或无限循环小数的形式吗？(可以借助计算器计算）
(3)有理数是不是总可以写成有限小数或无限循环小数的形式呢？
事实上，有理数总可以写成有限小数或无限循环小数的形式，而 ，π是无限不循环小数.
.
.
结 论
我们把无限不循环小数叫做无理数.
其实，无理数有很多，像
＝1.732 05…， ＝2.236 06…， ＝2.449 48…，
＝1.259 92…， ＝1.442 24…， ＝2.154 43…，
1. 212 212 221 …(每两个1之间依次多一个2)
等，都是无限不循环小数，它们都是无理数.
无理数包括正无理数和负无理数.如 等，都
是正无理数； 等，都是负无理数.
一般地，如果a是一个正无理数，那么－a是一个负无理数.
例题讲解
解析：∵3.141 59是有限小数，∴3.141 59是有理数； ∵－ ＝－2，∴－ 是有理数；∵ ＝5，∴ 是有理数；∵－ 是分数，∴－ 是有理数；∵0.232 232 223…(每两个3之间依次多一个2)，
－π都是无限不循环小数，∴0.232 232 223…(每两个3之间依次多一个2)，－π是无理数.共2个无理数.
例1 下列各数：3.141 59，－ ，0.232 232 223…(每两个3之间依次多一个2)，－π， ，－ 中，无理数有(　　)
A．1个　 　B．2个　　　C．3个　　D．4个
B
(1)判断一个数是不是无理数，一是看它是不是无限小数；二是看它是不是不循环小数，满足“无限”和“不循环”这两个条件，才是无理数.
归纳
(2)初中阶段所学的无理数主要包含以下几种:
①特殊意义的数:如圆周率π及含π的一些数，如2-π等；②开方开不尽的数，如 ， ， 等；③特殊结构的数，如1.01001000100001……（每两个1之间依次多一个0）等.
变式练习1在下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？
●
解：有理数：
无理数：
整数
0
整数
分数
π的倍数
无限不循环小数
不能开方的数
1.01001000100001...
有限小数
3.14
能开方
无限循环小数
1.2
●
温馨提示：
(1)对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类，切忌看到用根号表示的数就认为是无理数．
(2)π是无理数，化简后含π的数也是无理数．
知识点
实数
2
有理数和无理数统称为实数.
概念学习
无理数与有理数的区别：（1）有理数是有限循环小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数；
（2）有理数是正数或者分数，任何一个有理数都可以写成分数的形式，无理数都不能写成整式或分数的形式.
联系：
无理数和有理数属于实数；实数包括无理数和有理数.
例2 把下列各数填入相应的大括号内：
－7，0.32， ，1.414，0， ， ，0.202 002 000 2…
(相邻两个2之间0的个数逐次加1)， ，－ .
有理数：{　　　　　　 　，…}；
无理数：{
　　　　　　　　　 　　　，…}；
实数：{
　　　 }　　　　　 　　　　
－7，0.32， ，1.414，0
， ，0.202 002 000 2…(相邻两个2之间0的个数
逐次加1)， ，－
－7，0.32， ，1.414，0， ， ，0.202 002 000 1…(相邻两个2之间0的个数逐次加1)， ，－ ，…
变式练习2.把下列各实数分别填入相应的集合内：
（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）
有理数集合
无理数集合
随堂演练
1.在实数0，π， ， ， 中，无理数的个数有 (　　)
B
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2. 下列说法：①带根号的数是无理数；②不含根号的数一定是有理数；③无理数是开方开不尽的数；④无限小数是无理数；⑤π是无理数.其中正确的有( 　　)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
D
3.下列各数3.57， ，0.333……， ，2.13131331……（相邻两个1之间3的个数逐次多1）， ， ，其中无理数的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
B
4.有一个数值转换器，原理如下，当输x=81时，输出的y是 （ ）
输入x
取算术平方根
是无理数
输出y
是有理数
A.9 B.3 C. D.±3
C
5.下列说法正确的有_______.
①无理数都是实数；
②实数都是无理数；
③无限小数都是有理数；
④带根号的数都是无理数；
⑤不带根号的数都是有理数.
①
解析:2的平方根及立方根均为无理数,共3个；3的平方根及立方根均为无理数,共3个；4的立方根是无理数,共1个；5的平方根及立方根均为无理数,共3个;6的平方根及立方根均为无理数,共3个;7的平方根及立方根均为无理数,共3个;8的平方根是无理数,共2个;9的立方根是无理数,共1个;10的平方根及立方根均为无理数,共3个.综上,可得无理数共22个.故填22.
6.在0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的平方根及立方根中，无理数有　　　　个.
22
7.把下列各数填入相应的集合内：
有理数集合 { }
无理数集合{ }：
实数集合{ }：
0.13
8.已知实数x,y满足关系式 +|y2-1|=0.
(1)求x,y的值;
(2)判断 是有理数还是无理数.
解:(1)由题意,得x-2=0,y2-1=0,
解得x=2,y=±1.
(2)当x=2,y=1时, = ,是无理数;
当x=2,y=-1时, = =2,是有理数.
9.如图是4×4的网格,每个小正方形的顶点叫做格点,且每个小正方形的边长为1.
(1)求图(a)中正方形ABCD的面积与边长.
(2)依照图(a)的作法,在图(b)的网格中作一个正方形,使它同时满足下列两个要求:
①所作的正方形的顶点必须都在格点上;
②所作的正方形的边长为
.
解:(1)正方形ABCD的面积为4×4-4× ×3×1=10,则正方形ABCD的边长为 .
(2)如图.
小故事：2500年前，当时的数学家毕达哥拉斯认为“宇宙中存在的数都是有理数”，拥护他的人认为毕达哥拉斯是至高无上的，他所说的一切都是真理．但后来有一位年轻学者希伯苏斯发现边长为1的正方形的对角线的长不能用有理数来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，为此希伯苏斯被投入大海．他为真理献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的．后来人们正视了希伯索斯的发现，也就是我们前面谈到的x2＝2中的x不是有理数．
通过这个故事，要向希伯苏斯学习什么？
课堂延伸
我们学习他为追求真理而大无畏的精神．现在所学的知识都是前人总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要敢于质疑，积极探索.
课堂小结
实数
有理数
无限不循环小数叫做无理数.
无理数
正无理数
负无理数