冀教版八年级数学上册 17.5 反证法 同步练习（含解析）

八年级数学上册（冀教版）
17.5反证法-同步练习
时间：60分钟
一、单选题
1．用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设（　　）
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
2．用反证法证明“中，若，则”，第一步应假设
A． B． C． D．
3．用反证法证明“若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b”时，应假设( )
A．a 不垂直于 c B．a垂直于b C．a、b 都不垂直于 c D．a 与 b 相交
4．如图，在中，，，求证：.当用反证法证明时，第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
5．用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设(　　)
A．有一个内角小于 B．每一个内角都大于
C．有一个内角小于或等于 D．每一个内角都小于
6．用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应假设（　　）
A．四边形中所有角都是锐角
B．四边形中至多有一个角是钝角或直角
C．四边形中没有一个角是锐角
D．四边形中所有角都是钝角或直角
7．对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是( )
A．∠α＝60°，∠α的补角∠β＝120°，∠β＞∠α
B．∠α＝90°，∠α的补角∠β＝90°，∠β＝∠α
C．∠α＝100°，∠α的补角∠β＝80°，∠β＜∠α
D．两个角互为邻补角
8．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于60°
B．三角形中有一个内角大于60°
C．三角形中每个内角都大于60°
D．三角形中没有一个内角小于60°
二、填空题
9．用反证法证明“若，则”时，应假设__________．
10．用反证法证明：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.第一步应假设：______．
11．要证明命题“若a2>b2，则a>b”是假命题可以举的反例是________.
12． 用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”，第一步应假设_____．
13．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设___________
14．如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠1、∠2是同位角，如果∠1≠∠2，那么AB与CD不平行．用反证法证明这个命题时，应先假设：________.
15．如图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．
证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点______”矛盾，所以假设不成立，则________．
三、解答题
16．用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．
17．求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不相等．
18．如图，已知：直线与相交于O，于F，于H．求证：和必相交．
19．甲、乙、丙、丁四个小朋友正在教室里玩耍，忽听“砰”的一声，讲台上的花盆被打破了．甲说：“是乙不小心闯的祸．”乙说“是丙闯的祸．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正不是我闯的祸”．如果刚才四个小朋友中只有一个人说了实话，那么这个小朋友是谁？谁闯了祸？
20．用反证法证明：如图所示，已知，那么．
21．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角.
已知：在△ABC中，AB=AC．求证：∠B，∠C必为锐角.
参考答案
1．B
【解析】解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，
第一步应先假设每一个内角都小于，
故选．
2．D
【解析】解：∠A与60°的大小关系有∠A＞60°，∠A=60°，∠A＜60°三种情况，
因而∠A＞60°的反面是∠A≤60°．
因此用反证法证明“∠A＞60°”时，应先假设∠A≤60°．
故选：D
3．D
【解析】解：用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，
应假设：a不平行b或a与b相交．
故选择：D．
4．B
【解析】用反证法证明时，第一步应假设命题的结论不成立，即：．
故选B．
5．D
【解析】解：用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设：每一个内角都小于90°．
故选：D．
6．A
【解析】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中每个角都是锐角．
故选：A．
7．C
【解析】解：举反例应该是证明原命题不正确，即要举出不符合叙述的情况；
A、∠α的补角∠β＞∠α，符合假命题的结论，故A错误；
B、∠α的补角∠β=∠α，符合假命题的结论，故B错误；
C、∠α的补角∠β＜∠α，与假命题结论相反，故C正确；
D、由于无法说明两角具体的大小关系，故D错误．
故选C．
8．C
【解析】解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，
第一步先假设三角形中每个内角都大于60°，
故选：C.
9．
【解析】解：a，b的等价关系有两种情况，因而的反面是．因此用反证法证明“”时，应先假设．
故答案为：．
10．这两条直线不平行
【解析】证明：已知两条直线都和第三条直线平行；
假设这两条直线不平行，则两条直线有交点，
因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
因此，两条直线有交点时，它们不可能同时与第三条直线平行
因此假设与结论矛盾．故假设不成立，
即如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
故答案为：这两条直线不平行．
11．a=-2，b=1（答案不唯一）
【解析】∵当a=-2，b=1时，（-2）2＞12，但是-2＜1，
∴a=-2，b=1是假命题的反例．
故答案为a=-2，b=1（答案不唯一）．
12．三角形的三个内角都小于60°
【解析】第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于60°．
故答案为三角形的三个内角都小于60°．
13．一个三角形中有两个角是直角.
【解析】用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设一个三角形中有两个角是直角.
故答案为一个三角形中有两个角是直角.
14．AB∥CD
【解析】利用假设法来进行证明时，首先假设结论成立，即应先假设AB∥CD．
故答案为：AB∥CD．
15．两 有且只有一条直线 原命题成立
【解析】假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有两条直线，这与“过两点有且只有一条直线”矛盾，所以假设不成立，则原命题成立．
16．见解析
【解析】证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，则大于或等于90°.根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或等于180°，则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立．所以等腰三角形的底角是锐角．
17．见解析
【解析】证明：假设它们所对的边相等，则根据等腰三角形的性质定理，“等边对等角”知它们所对的角也相等，这就与题设两个角不等相矛盾，因此假设不成立，故原结论成立．
18．见解析．
【解析】证明：若与平行，则它们的垂线也平行，
即与平行，与直线与相交于O矛盾，
所以与不平行即相交．
19．丙说了实话；是丁闯了祸.
【解析】本题可分三种情况进行讨论：
①若甲真，则乙假，丙真，丁真；这种情况下，三人说了实话，显然与条件不符；
②若甲假，乙真，则丙假，丁真；这种情况下，两人说了实话，显然与条件不符；
③若甲假，乙假，则丙真，丁假；这种情况下，只有丙说了实话，符合题目给出的条件．
由于丁说了假话，因此闯祸的人一定是丁．
20．见解析．
【解析】证明：假设a不平行于b，即a与b相交．设a，b相交于点A，如图，
∵，
∴过直线外一点A有两条直线与直线c垂直，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，故假设不成立，
∴原命题正确．
21．见解析.
【解析】假设结论不成立，则∠B，∠C为直角或钝角，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
当∠B=∠C为直角时，∠B+∠C=180°，这与三角形的三个内角和等于180°相矛盾；
当∠B=∠C为钝角时，∠B+∠C＞180°，这与三角形的三个内角和等于180°相矛盾.
综上所述，假设不成立，
∴∠B，∠C必为锐角.