数学人教A版（2019） 选择性必修第二册4.1 数列的概念（共25张ppt）

(共25张PPT)
第四章
4.1
数列的概念
学习目标
1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念、表示方法（列表、图象、通项公式）以及数列的分类.
2.了解数列是一种特殊函数，并能通过函数思想研究数列的性质.
3.理解数列的通项公式的意义，了解数列的递推公式，了解通项公式和递推公式是给出数列的两种方式，并明确它们的异同.
4.理解数列的前n项和，并能用数列的前n项和求出数列的通项公式.
核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模
新知学习
在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.例如：
记王芳第岁时的身高为，那么.我们发现，中的反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即是排在第1位的数，是排在第2位的数……是排在第17位的数，它们之间不能交换位置.
1.王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高.将这些身高数据（单位：cm）依次排成一列数：
　　　75，87，96，103，110，116，120，128，138，
　　　145，153，158，160，162，163，165，168.　　 　①
所以，①是具有确定顺序的一列数.
2.在两河流域发掘的一块泥版（编号，约产生于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：
5，10，20，40，80，96，112，128，
144，160，176，192，208，224，240.　　　　②
记第i天月亮可见部分的数为，那么.这里，中的反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置，即是排在第1位的数，是排在第2位的数……是排在第15位的数，它们之间不能交换位置.
所以，②也是具有确定顺序的一列数.
3.的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：
，，，，…. ③
思考：你能仿照上面的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗？
记第个数为，那么，，，，….这里，中的反映了的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……的顺序排列时的确定位置，即是排在第1位的数，是排在第2位的数，是排在第3位的数，…，它们之间不能交换位置.
所以③是具有确定顺序的一列数.
归纳： 上述例子的共同特征是什么？
新知讲解
一、数列的定义
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.
数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项，用表示.其中第1项也叫做首项.
上述①是按年龄从小到大的顺序排列的，②是按每月的日期从小到大的顺序排列的，③是按幂指数从小到大的顺序排列的，它们都是从第1项开始的.
数列的一般形式是
简记为
与函数类似，我们可以定义数列的单调性.
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.
特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
数列单调性的符号表示：
为递增数列；
为递减数列；
为常数列.
四、数列的通项公式
如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
例如，数列③的通项公式为.显然，通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.
对通项公式的五点说明：
（1）数列的通项公式实际上是一个以正整数集或它的有限子集为定义域的函数的解析式.
（2）利用一个数列的通项公式能解决以下问题：
①求出该数列的各项；
②判断某个数是否为该数列中的项；
③判断该数列的增减性；
④求该数列的最大项和最小项等.
（3）同“所有函数不一定都有解析式”类似，并不是所有数列都有通项公式，如精确到的近似值构成的数列就没有通项公式.
（4）有些数列的通项公式可以有多个，即不唯一，如数列，…，其通项公式可以写成也可以写成等.
（5）求数列的通项公式时要点明的取值范围，其中可以省略.
例1　根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象.
（1）（2）.
典例剖析
解：（1）当通项公式中的时，数列的前5项依次为
图象如图所示.
例1　根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象.
（1）（2）.
典例剖析
解： （2）当通项公式中的时，数列的前5项依次为
图象如图所示.
例2　根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
（1）1，，，，…；
（2）
解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，
偶数项为负，所以它的一个通项公式为
说明：?常常用来表示正负相间的变化规律.
例3　如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
分析：要判断120是不是数列中的项，就是要回答是否存在正整数，使得也就是判断上述关于的方程是否有正整数解.
解：令，解这个关于的方程，得
（舍去），或
所以，120是数列的项，是第10项.
方法技巧：判断某数是否为数列中的项的方法：
令，解出的值，如果，那么数是数列中的项，此时的便是数列的项的序号；如果，那么数不是数列中的项.
例4　图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式.



（1）　 （2）　 （3） 　（4）
解：在图（1）（2）（3）（4）中，着色三角形的个数依次为
即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.
因此，这个数列的一个通项公式是



（1）　 （2）　 （3） 　（4）
新知讲解
换个角度观察上图中的4个图形.可以发现，，且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形.
于是从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍.
这样，例4中的数列的前4项满足
五、数列的递推公式
由此猜测这个数列满足公式
像这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了.
对递推公式的两点说明：
（1）递推公式也是数列的一种表示方法.有时候并不一定要知道数列的通项公式，只要知道数列的某一项和递推公式，同样也可以知道数列的任一项；
（2）与数列的通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.
解：由题意可知
，

＝，
＝，
＝.
例5　已知数列的首项为，递推公式为（），写出这个数列的前5项.
典例剖析
变式训练：已知数列中，，写出这个数列的前5项.
解：，
，
，
，
.
新知讲解
六、数列的前项和
1.数列的前项和的定义
在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一.我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即
2.数列的前项和公式
如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式.
3.由求通项公式
显然，而
于是我们有
思考: 已知数列的前项和公式为，你能求出的通项公式吗？
因为　
，
，
并且当时，依然成立.
所以的通项公式是.
当时，，
当时，
当时，，故当时不符合上式，
变式训练：已知数列的前项和公式为，你能求出的通项公式吗？
所以的通项公式是
随堂小测
1. 先填空，再写出数列的一个通项公式.
（1）1，2，（　　），4，5，6，…
（2）2，4，6，（　　），10，…
（3）1，4，9，16，（　　），…
（4）1，，，（　　），，.
3
8
25
（）
2.已知数列，其通项公式，则数列是数列.（填递增或递减）
递增
3.已知数列满足则.
7
4.若数列的前项和，则.
5.已知数列的前项和，则等于（　　）
A.B.C.D.
7
D
课堂小结
1.数列的定义
2.数列与函数的关系
数列是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为.
3.数列的单调性
为递增数列；
为递减数列；
为常数列.
4.数列的通项公式
数列的通项公式实际上是一个以正整数集或它的有限子集为定义域的函数的解析式.
按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 项、首项
6.数列的前项和
与的关系
5.数列的递推公式
数列的相邻两项或多项之间的关系表达式.
谢 谢！