四川省成都市新都一高2022年暑假高一升高二保温练习01数学试卷（Word版含解析）

2022年暑假四川省成都市新都一中高一升高二保温练习01
数学试卷
一、单选题
1．若，都是单位向量，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式化简结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
3．设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（ ）
A． B．
C． D．
4．的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则该三角形最小角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，有如下四个结论
① ②ACD是等边三角形
③AB与CD所成的角为 ④AB与平面BCD所成的角为
其中错误的结论是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．若球是正三棱锥的外接球，，，点在线段上，，过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．若，且，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知等差数列的前n项和为，若，，成等比数列，则公比为（ ）
A． B． C． D．1
10．已知数列的通项公式为，Sn为数列的前n项和，则的值为（ ）
A．672 B．1011 C．2022 D．6066
11．已知数列满足．若对任意，（且）恒成立，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
12．在三角形ABC中，已知，，D是BC的中点，三角形ABC的面积为6，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，则的周长为______.
14．将全体正整数排成一个如图所示的三角形数阵，按此排列规律，第7行从左向右的第2个数为________．
15．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦图.已知正八边形的边长为，是正八边形所在平面内的一点，则的最小值为___________.
16．棱长为1的正四面体的中心为是该正四面体表面的点构成的集合，，若集合恰有4个元素，则的值为__________（注：正四面体，是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形）
三、解答题
17．若，，求的最大值.
18．已知数列的前n项和为，，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求．
20．如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点.
(1)证明：平面BCD；
(2)若是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
21．从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若___________.
(1)求角В的大小；
(2)若为锐角三角形，с=1，求a的取值范围.
注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分.
22．已知数列是n次多项式的系数，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求，并说明．
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2022年暑假四川省成都市新都一中高一升高二保温练习01
数学参考答案
1．D
若，都是单位向量，则，D正确；不确定，的方向，则A、C错误；
设，之间的夹角为，，不确定，则B错误.故选：D.
2．C
对于A，，A不是；
对于B，，B不是；
对于C，，C是；
对于D，，D不是.故选：C
3．A
因为，所以，
因为，所，
，得，而，所以，
因为的最小正周期大于，所以有，
因为，所以，即，而，
所以，即，故选：A
4．B
由正弦定理可知
设，已知角A最小，
由余弦定理可得：.故选：B
5．D
设正方形边长为2，折叠前AC与BD交于点O，折叠后，如图所示：
①因为，且，所以平面AOC，
又平面AOC，所以，故正确；
②由题意知：，则，又，所以△ACD是等边三角形，故正确；
③分别取AD，AC的中点F，H，连接OF，OH，FH，，则为AB与CD所成的角(或其补角)，又 ，
所以是等边三角形，所以AB与CD所成的角为 ，故正确；
④因为平面平面BCD，平面平面BCD=BD，且，所以平面BCD，则是直线AB与平面BCD所成的角，且，故错误；故选：D
6．B
如图所示，其中是球心，是等边三角形的中心，
可得，
，
设球的半径为，在三角形中，由，
即，解得，
在三角形中，，，
由余弦定理得，
在三角形中，因为，故，
设过且垂直的截面圆的半径为，，故最小的截面面积为.故选：B
7．D
，，解得，当且仅当时取等号，故选项A错误；
，，当且仅当时取等号，故选项B错误；
由A可得，，当且仅当时取等号，故选项C错误；
，当且仅当时取等号，故选项D正确；故选：D
8．D
因为，则，于是得，
因此数列是公差为1的等差数列，首项，则，所以.故选：D
9．D
由题意，等差数列的前n项和为，
则，
故由，，成等比数列，可得,
即,且，
设等差数列的公差为d，则，解得，
则数列为常数列，
故，，成等比数列，则公比为 ，故选:D
10．B
因为的周期为，
由，可得
，，，
，，，
，，，
……，
因为，
所以
，故选：B
11．A
当时，由，得，
两式相除得，
所以
，
因为对任意，（且）恒成立，
所以，
所以，
当时，由，得，则，
当时，由，得，则，
综上， ，故选：A
12．A
如图，设的内角的对边分别为，
因为，所以，
即，所以,
所以，即，
因为，所以，所以
因为，所以，
因为，
所以
,
因为，
所以,
因为三角形ABC的面积为6，
所以，得，
因为，所以，
因为D是BC的中点，所以,
在中，由余弦定理得
，
因为，
所以，
故选：A
13．10
是三角形内角，，则，
，
，，，
，所以，
，
由得，，
所以周长为．
14．23
由题意得，前6行共排列的数的个数为，
则第6行从左向右的最后一个数为21，
故第7行从左向右的第2个数为 ，
15．
设为的中点，如图
.
当且仅当点为线段的中点时，等号成立，故的最小值为.
16．
由题意可知，此时r为该正四面体的内切球半径，
如图，记点A在底面BCD的投影为，
由正四面体的性质可知，为的外心，由正弦定理得
所以
因为
所以，即
故答案为：
17．设，则，
由
，即.
18．(1)解：因为①，
所以②，
②①得即，
所以，
又当时，，又，所以，所以，
所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以．
(2)解：由（1）可得，
所以，
则
两式相减得，
所以，
19．(1)由已知，根据正弦定理，
得，即，
则有，由于，所以．
(2)方法1：由于，结合正弦定理得，
即，则，
由题知，
则，所以．
则．
方法2：由于，结合正弦定理得，
即，则，
将代入，得，
解得，
根据正弦定理，得．
20．(1)因为，O为BD中点，所以.
因为平面平面，平面平面BCD，平面ABD，
因此平面BCD.
(2)作于F，作于M，连EM
因为平面BCD，所以，
所以，，，因此平面BCD，即
因为，，所以平面EFM，即
则二面角的平面角，.
因为，为正三角形，所以为直角三角形
因为，
从而，
平面BCD
所以
21．(1)若选①
由正弦定理得，即
因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以.
若选②
因为，
由正弦定理得，
即，
所以，
由，得，
所以，即，
因为，所以.
若选③
由，化简得.
由正弦定理得：，即，所以.
因为，所以.
(2)在中，由正弦定理，得，
由（1）知：，又с=1代入上式得：.
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以.
22．(1)设，
则，，
当时，，成立，
所以．
(2)由（1）知，
所以， ①
， ②
由①－②得，
所以.
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