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高中数学人教A版（2019）必修一 第三章 第二节 函数的单调性（基础）
一、单选题
1．（2020高一上·九江期中）函数 的增区间是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数 ，则 的增区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019高一上·锡林浩特月考） 的增区间为（ ）
A． B． C． D．
4．（2019高一上·乌拉特前旗月考）函数 的增区间是（ ）
A． B．
C．[-1,3] D．
5．（2018高一上·长治期中）函数 的增区间为（ ）
A． B． C． D．
6．已函数f（x）=|2x+a|的增区间是[3，+∞），则实数a的取值是（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3
7．（）下列函数中是减函数的为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021高一上·景德镇期中）已知 在 上为减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·浙江学考）已知函数 在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（）
A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]
10．（2021·广东模拟）下列函数在其定义域内为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021高一上·宁德期中）下列函数中，在区间上为减函数的为（ ）
A． B． C． D．
12．（2021高一上·南阳期中）已知函数 在 上是减函数,则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
13．（2021高一上·河东期中）已知函数 且 是 上的减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（2021高一上·邯郸期中）已知函数 在 上为减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（2021高一上·昌吉期中）已知是定义在上的减函数，那么的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2021高一上·滨湖期中）若函数 是 上的减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．（2020高一上·天津期末）已知 在区间 上为减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．（2020高一上·福州期中）如果函数 在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．（2020高一上·辽宁期中）若函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
20．（2020高一上·安居期中）函数 的增区间是 ；
21．（2018高一上·衡阳月考）函数 的增区间是 .
22．（2020高一上·毕节期末）设函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是 .
23．（2021高二下·烟台期末）已知 是 上的减函数，则实数 的取值范围为 ．
三、解答题
24．定义在[1，4]上的函数f(x)为减函数，解不等式f(1﹣2x)>f(4﹣x2)．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，
而 是二次函数，开口向上的抛物线，对称轴为 轴，所以增区间为 .
故答案为：C.
【分析】利用复合函数的单调性结合二次函数图象和性质即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的单调性及单调区间；复合函数的单调性
【解析】【解答】由 得 ，解得 ，
即函数 的定义域为 ；
令 ， ，
因为函数 是开口向下，对称轴为 的二次函数，
所以当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；
又函数 是增函数，
根据复合函数的单调性，可得， 的增区间为 .
故答案为：B.
【分析】先求出函数的定义域为 ；令 ， ，根据二次函数的单调性，以及复合函数的单调性，即可得出结果.
3．【答案】D
【知识点】复合函数的单调性；二次函数的性质
【解析】【解答】因为 ，所以 ；
又因为 的对称轴为： ，且 ，所以增区间为 ，
故答案为：D.
【分析】先求解定义域，然后结合二次函数的对称轴判断增区间.
4．【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：∵ ，
∴函数 的增区间为 ，
故答案为：B．
【分析】配方写出二次函数 的顶点式，从而求出函数的单调递增区间．
5．【答案】B
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调区间
【解析】【解答】由题意，可知 为定义域上的单调递增函数，
又由函数 在 单调递减，在 上单调递增，
根据复合函数的单调性判定“同增异减”，
可得函数 的单调递增区间为 ，
故答案为：B.
【分析】首先由对数函数的单调性得出的单调区间，再结合复合函数的单调性即可得出结论。
6．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由题意：函数f（x）=|2x+a|的零点坐标是（﹣ ，0），
令y=2x+a是单调增函数，
∴f（x）=|2x+a|的零点左边是减函数，右边是增函数，
要使增区间是[3，+∞），即 ，
解得：a=﹣6．
故选A．
【分析】找到函数的零点，可知函数y=2x+a是增函数，所以f（x）=|2x+a|零点左边是减函数，右边是增函数，可得答案．
7．【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】A选项为增函数，错误；B选项
，为增函数，错误；C选项
在
为增函数，在
为减函数，错误；D选项
为减函数，正确.
故答案为：D.
【分析】由减函数的概念及基本函数的性质逐项判断即可。
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】对于A选项，取 ，则 ，则 ，A不符合题意；
对于B选项，取 ，则 ，则 ，B不符合题意；
对于CD选项，因为 ，则 ，则 ，C不符合题意，D对.
故答案为：D.
【分析】先比较两个函数中自变量的大小关系，再根据自变量越大,函数的值越小，得出两个函数值的大小关系.
9．【答案】A
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质
【解析】【解答】 对称轴为 ，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合二次函数的图象的对称轴和开口方向，从而判断出二次函数的单调性，再结合二次函数的单调性，进而得出实数a的取值范围。
10．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】由幂函数的性质，可知A中函数为单调增函数，由一次函数性质可知B中函数为增函数，由对数函数性质可知C中函数为增函数，由指数函数性质，可知D中函数为单调减函数，
故答案为：D.
【分析】由幂函数的性质可判断A选项；由一次函数性质，可判断B选项；由对数函数性质，可判断C选项；由指数函数性质，可判断D选项。
11．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】由二次函数的性质可知，在上先减后增，故错误；
在上为增函数，故错误；
由幂函数的性质可知，在上为增函数，从而有上为减函数，C符合题意；
由一次函数的性质可知，在上为增函数，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合减函数的定义，从而找出在区间上为减函数的函数。
12．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】由题意可得 ，解得
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合分段函数的单调性求解。
13．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用
【解析】【解答】因为函数 且 是 上的减函数，
所以 ，解得 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图像，再利用分段函数的图像判断出分段函数的单调性，进而求出实数a的取值范围。
14．【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质
【解析】【解答】当 时， 对称轴为 ，
若函数 在 上为减函数，
则 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合分段函数的单调性，建立不等式组即可求出a的取值范围.
15．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】因为函数是定义在上的减函数，
所以，解得.
所以实数的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】由已知条件结合函数的单调性即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
16．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】 是 上的减函数， ，解得： ，
实数 的取值范围为 .
故答案为：D.
【分析】由分段函数的单调性结合二次函数和一次函数的单调性，即可得到关于a的不等式组，求解出a的取值范围。
17．【答案】C
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】因为 在区间 上为减函数，
所以有 在区间 上为增函数，且 在 上恒成立；因此，只需 ，解得 ，
故答案为：C。
【分析】利用复合命题的单调性判断方法，即同增异减，从而判断出复合函数的单调性，再利用复合函数 在区间 上为减函数，从而求出实数a的取值范围。
18．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】因为二次函数开口向上，对称轴为 ，所以其减区间为 ，又函数在 上是减函数，故 ，所以 ，解得 ，
故答案为：A.
【分析】判断函数的开口方向,求出对称轴,列出不等式求解即可.
19．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】 对称轴为 ，开口向下，
要满足在 上是减函数，则 ，解得 ，
故 的取值范围是 .
故答案为：A.
【分析】求出函数的对称轴 ，由题满足 ，解出即可.
20．【答案】（0,2）
【知识点】函数的单调性及单调区间；复合函数的单调性
【解析】【解答】根据复合函数的单调性“同增异减”可知，外函数是单调递增，需要内函数在定义域内单调递增即可．由 知， ，由 在 的单调区间可知，在（0,2）单增， 单减，所以函数的单调递增区间是（0,2），
故答案为：（0,2）。
【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”可知复合函数的单调递增区间。
21．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】当 时，解得 或
当 时，解得
即函数
作出函数 的图象，如图所示
则函数的单调递增区间为 和
故答案为 和
【分析】先由已知得到函数的分段函数解析式，再作出函数的图象，利用函数的单调性，即可求出单调递增区间.
22．【答案】m≥1
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】因为 在 上是减函数，故 ，所以m≥1
故答案为：m≥1.
【分析】 由条件利用函数的单调性的性质，可得满足的不等式，求得实数m的取值范围.
23．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用
【解析】【解答】解：当 时， 为减函数，故
又因为 是 上的减函数，
所以 ，解得 .
所以实数 的取值范围为
故答案为：
【分析】 根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得a的取值范围，即可得答案.
24．【答案】解：∵定义在[1，4]上的函数f（x）为减函数，
∴不等式f(1﹣2x)＞f(4﹣x2)可化为：1≤1﹣2x<4﹣x2≤4，
解得：x∈(﹣1，0].
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【分析】利用已知条件结合函数的单调性，从而解出不等式的解集。
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高中数学人教A版（2019）必修一 第三章 第二节 函数的单调性（基础）
一、单选题
1．（2020高一上·九江期中）函数 的增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，
而 是二次函数，开口向上的抛物线，对称轴为 轴，所以增区间为 .
故答案为：C.
【分析】利用复合函数的单调性结合二次函数图象和性质即可得出答案。
2．已知函数 ，则 的增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的单调性及单调区间；复合函数的单调性
【解析】【解答】由 得 ，解得 ，
即函数 的定义域为 ；
令 ， ，
因为函数 是开口向下，对称轴为 的二次函数，
所以当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；
又函数 是增函数，
根据复合函数的单调性，可得， 的增区间为 .
故答案为：B.
【分析】先求出函数的定义域为 ；令 ， ，根据二次函数的单调性，以及复合函数的单调性，即可得出结果.
3．（2019高一上·锡林浩特月考） 的增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复合函数的单调性；二次函数的性质
【解析】【解答】因为 ，所以 ；
又因为 的对称轴为： ，且 ，所以增区间为 ，
故答案为：D.
【分析】先求解定义域，然后结合二次函数的对称轴判断增区间.
4．（2019高一上·乌拉特前旗月考）函数 的增区间是（ ）
A． B．
C．[-1,3] D．
【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：∵ ，
∴函数 的增区间为 ，
故答案为：B．
【分析】配方写出二次函数 的顶点式，从而求出函数的单调递增区间．
5．（2018高一上·长治期中）函数 的增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调区间
【解析】【解答】由题意，可知 为定义域上的单调递增函数，
又由函数 在 单调递减，在 上单调递增，
根据复合函数的单调性判定“同增异减”，
可得函数 的单调递增区间为 ，
故答案为：B.
【分析】首先由对数函数的单调性得出的单调区间，再结合复合函数的单调性即可得出结论。
6．已函数f（x）=|2x+a|的增区间是[3，+∞），则实数a的取值是（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由题意：函数f（x）=|2x+a|的零点坐标是（﹣ ，0），
令y=2x+a是单调增函数，
∴f（x）=|2x+a|的零点左边是减函数，右边是增函数，
要使增区间是[3，+∞），即 ，
解得：a=﹣6．
故选A．
【分析】找到函数的零点，可知函数y=2x+a是增函数，所以f（x）=|2x+a|零点左边是减函数，右边是增函数，可得答案．
7．（）下列函数中是减函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】A选项为增函数，错误；B选项
，为增函数，错误；C选项
在
为增函数，在
为减函数，错误；D选项
为减函数，正确.
故答案为：D.
【分析】由减函数的概念及基本函数的性质逐项判断即可。
8．（2021高一上·景德镇期中）已知 在 上为减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】对于A选项，取 ，则 ，则 ，A不符合题意；
对于B选项，取 ，则 ，则 ，B不符合题意；
对于CD选项，因为 ，则 ，则 ，C不符合题意，D对.
故答案为：D.
【分析】先比较两个函数中自变量的大小关系，再根据自变量越大,函数的值越小，得出两个函数值的大小关系.
9．（2022·浙江学考）已知函数 在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（）
A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]
【答案】A
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质
【解析】【解答】 对称轴为 ，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合二次函数的图象的对称轴和开口方向，从而判断出二次函数的单调性，再结合二次函数的单调性，进而得出实数a的取值范围。
10．（2021·广东模拟）下列函数在其定义域内为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】由幂函数的性质，可知A中函数为单调增函数，由一次函数性质可知B中函数为增函数，由对数函数性质可知C中函数为增函数，由指数函数性质，可知D中函数为单调减函数，
故答案为：D.
【分析】由幂函数的性质可判断A选项；由一次函数性质，可判断B选项；由对数函数性质，可判断C选项；由指数函数性质，可判断D选项。
11．（2021高一上·宁德期中）下列函数中，在区间上为减函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】由二次函数的性质可知，在上先减后增，故错误；
在上为增函数，故错误；
由幂函数的性质可知，在上为增函数，从而有上为减函数，C符合题意；
由一次函数的性质可知，在上为增函数，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合减函数的定义，从而找出在区间上为减函数的函数。
12．（2021高一上·南阳期中）已知函数 在 上是减函数,则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】由题意可得 ，解得
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合分段函数的单调性求解。
13．（2021高一上·河东期中）已知函数 且 是 上的减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用
【解析】【解答】因为函数 且 是 上的减函数，
所以 ，解得 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图像，再利用分段函数的图像判断出分段函数的单调性，进而求出实数a的取值范围。
14．（2021高一上·邯郸期中）已知函数 在 上为减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质
【解析】【解答】当 时， 对称轴为 ，
若函数 在 上为减函数，
则 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合分段函数的单调性，建立不等式组即可求出a的取值范围.
15．（2021高一上·昌吉期中）已知是定义在上的减函数，那么的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】因为函数是定义在上的减函数，
所以，解得.
所以实数的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】由已知条件结合函数的单调性即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
16．（2021高一上·滨湖期中）若函数 是 上的减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】 是 上的减函数， ，解得： ，
实数 的取值范围为 .
故答案为：D.
【分析】由分段函数的单调性结合二次函数和一次函数的单调性，即可得到关于a的不等式组，求解出a的取值范围。
17．（2020高一上·天津期末）已知 在区间 上为减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】因为 在区间 上为减函数，
所以有 在区间 上为增函数，且 在 上恒成立；因此，只需 ，解得 ，
故答案为：C。
【分析】利用复合命题的单调性判断方法，即同增异减，从而判断出复合函数的单调性，再利用复合函数 在区间 上为减函数，从而求出实数a的取值范围。
18．（2020高一上·福州期中）如果函数 在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】因为二次函数开口向上，对称轴为 ，所以其减区间为 ，又函数在 上是减函数，故 ，所以 ，解得 ，
故答案为：A.
【分析】判断函数的开口方向,求出对称轴,列出不等式求解即可.
19．（2020高一上·辽宁期中）若函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】 对称轴为 ，开口向下，
要满足在 上是减函数，则 ，解得 ，
故 的取值范围是 .
故答案为：A.
【分析】求出函数的对称轴 ，由题满足 ，解出即可.
二、填空题
20．（2020高一上·安居期中）函数 的增区间是 ；
【答案】（0,2）
【知识点】函数的单调性及单调区间；复合函数的单调性
【解析】【解答】根据复合函数的单调性“同增异减”可知，外函数是单调递增，需要内函数在定义域内单调递增即可．由 知， ，由 在 的单调区间可知，在（0,2）单增， 单减，所以函数的单调递增区间是（0,2），
故答案为：（0,2）。
【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”可知复合函数的单调递增区间。
21．（2018高一上·衡阳月考）函数 的增区间是 .
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】当 时，解得 或
当 时，解得
即函数
作出函数 的图象，如图所示
则函数的单调递增区间为 和
故答案为 和
【分析】先由已知得到函数的分段函数解析式，再作出函数的图象，利用函数的单调性，即可求出单调递增区间.
22．（2020高一上·毕节期末）设函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是 .
【答案】m≥1
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】因为 在 上是减函数，故 ，所以m≥1
故答案为：m≥1.
【分析】 由条件利用函数的单调性的性质，可得满足的不等式，求得实数m的取值范围.
23．（2021高二下·烟台期末）已知 是 上的减函数，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用
【解析】【解答】解：当 时， 为减函数，故
又因为 是 上的减函数，
所以 ，解得 .
所以实数 的取值范围为
故答案为：
【分析】 根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得a的取值范围，即可得答案.
三、解答题
24．定义在[1，4]上的函数f(x)为减函数，解不等式f(1﹣2x)>f(4﹣x2)．
【答案】解：∵定义在[1，4]上的函数f（x）为减函数，
∴不等式f(1﹣2x)＞f(4﹣x2)可化为：1≤1﹣2x<4﹣x2≤4，
解得：x∈(﹣1，0].
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【分析】利用已知条件结合函数的单调性，从而解出不等式的解集。
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