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专题13 二次函数与不等式
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 图象法解一元二次不等式
1．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是【 】
A． B． C．且 D．x＜－1或x＞5
【详解】
利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出的解集：
由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）．
由图象可知：的解集即是y＜0的解集，
∴x＜－1或x＞5．故选D．
2．如图，已知二次函数的图象与正比例函数的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2 B．0＜x＜3 C．2＜x＜3 D．x＜0或x＞3
【详解】
解：∵二次函数的图象与正比例函数的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），
∴由图象得：若，
则x的取值范围是：2＜x＜3．
故选C．
3．如图是二次函数的部分图象，使成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【详解】
解：由函数图象可知，当y≥-1时，二次函数不在y=-1下方部分的自变量x满足：-1≤x≤3，
故选：C．
4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是( )
A．－1＜x＜2 B．x＞2 C．x＜－1 D．x＜－1或x＞2
【详解】
依题意得图象与x轴的交点是（-1，0），（2，0），
当y＞0时，图象在x轴的上方，
此时x＜－1或x＞2，
∴x的取值范围是x＜－1或x＞2，
故选D．
5．二次函数y＝a x 2＋bx＋c的图象如图所示，且方程a x 2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜2 B．k≤2 C．k＜3 D．1＜k ＜3
【详解】
由图象可知二次函数y＝a x 2＋bx＋c的顶点坐标为（2，2），
∴＝2，即b2－4ac＝－8a，
∵a x 2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，
∴方程a x 2＋bx＋c－k＝0的判别式⊿＞0，
即b2－4a（c－k ）＝b2－8a＋4ak＝－4a（2－k ）＞0，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴2－k＞0，
∴k＜2．
故选A．
6．如图是二次函数图象的一部分，则关于的不等式的解集是（ ）
A．x<2 B．x>-3
C．-31
【详解】
二次函数y＝a(x＋1)2＋2的对称轴为x＝﹣1，∵二次函数y＝a(x＋1)2＋2与x轴的一个交点是(﹣3,0)，∴二次函数y＝a(x＋1)2＋2与x轴的另一个交点是（1,0），∴由图像可知关于x的不等式a(x＋1)2＋2＞的解集是﹣3＜x＜1.故选C.
考查题型二 利用不等式求自变量或函数值的取值范围
7．二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【详解】
试题分析：根据角抛物线顶点式得到对称轴为直线x=4，利用抛物线对称性得到抛物线在1＜x＜2这段位于x轴的上方，而抛物线在2＜x＜3这段位于x轴的下方，于是可得抛物线过点（2，0）然后把（2，0）代入y＝a(x－4)2－4(a≠0)可求出a=1.
故选A
8．如图是二次函数的部分图象,由图象可知不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．或
【详解】
根据二次函数图像性质，可知的解集位于x轴的上方，有图像可知，对称轴为x=2，抛物线与x轴的交点为（5,0），由此可知抛物线与x轴另一个交点为（-1,0），所以的解集是.
故答案是C.
9．若二次函数中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表
x … 0 1 2 3 …
y … 2 3 2 …
点点在该函数图象上，当与的大小关系是（ ）A． B． C． D．
【详解】
解：由表可知，抛物线的对称轴为直线x=2，
∵a=-1＜0，
∴函数图象开口向下，
∵0＜x1＜1，2＜x2＜3，
∴y1＜y2．
故选A．
10．如图示，二次函数的图像与轴交于坐标原点和，若关于的方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
将代入二次函数，得
∴
∴方程为
∴
∵
∴
故答案为D.
11．已知函数y＝，当a≤x≤b时，﹣≤y≤2，则b﹣a的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【详解】
函数的图象如下图所示，
当x≥0时，当y＝﹣时，x＝，当y＝2时，x＝2或﹣1，
故：顶点A的坐标为（，﹣），点B（2，2），
同理点C（，﹣）
则b﹣a的最大值为2﹣＝.
故选：B．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；④当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＜x．其中正确的个数为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
【详解】
解：①由图表中数据可知，x＝0和x＝3时，函数值相同，都是3，
∴对称轴为直线x＝＝，
∵x＝1时，y＝5，
∴a＜0，
∵x＝0时，y＝3，
∴c＝3，
∴ac＜0，故①正确，
②∵抛物线的对称轴x＝，
∴当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故②错误，
∵x＝3时，y＝3，
∴9a+3b+c＝3，
∴9a+3（b﹣1）+c＝0，
∴x＝3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故③正确．
∵x＝﹣1时，y＝﹣1，
∴a﹣b+c＝﹣1，
∴a﹣（b﹣1）+c＝0，
∴x＝﹣1是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，
∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故④错误．
故选：C．
考查题型三 根据交点确定不等式的解集
13．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【详解】
与关于y轴对称
抛物线的对称轴为y轴，
因此抛物线与直线的交点和与直线的交点也关于y轴对称
设与交点为，则，
即在点之间的函数图像满足题意
的解集为：
故选D．
14．在同一坐标系下，抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是（ ）
A．x＜0 B．0＜x＜2 C．x＞2 D．x＜0或 x＞2
【详解】
由图可知：抛物线y1=﹣x2+4x的图象在直线y2=2x的图象上方部分所对应的x的取值范围是0∴不等式﹣x2+4x＞2x的解集是0故选B.
15．如图，二次函数的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4
【详解】
当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜4．
故选B．
16．已知点在抛物线上，当时，总有；当时，总有，则的值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【详解】
解：抛物线，
抛物线的顶点为，
当时，总有，
不可能大于0，则，
时，随的增大而增大，时，随的增大而减小，
当时，总有，当时，总有，且与关于 对称，
时，，时，，
，
，
，
故选：．
17．抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝－1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（－3，0），
∵抛物线开口向下，
∴当－3＜x＜1时，y＞0．
故选：B．
18．如图，直线和抛物线，当时，的取值范围是（ ）
A． B．或 C．或 D．
【详解】
解：由，解得或，
两函数图象交点坐标为，，
由图可知，时，的取值范围是或．
故选：．
19．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．，或 C． D．，或
【详解】
解：关于x的不等式变形为，
∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），
∴关于x的不等式ax2≥bx+c的解集为x≥1或x≤﹣2，
即关于x的不等式的解集为或．
故选：B
20．若表示三个数中的最小值，当时，则的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【详解】
解：如图，当x+2=8-x时，y有最大值，
即：x=3，y最大=3+2=5．
故选B.
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专题13 二次函数与不等式
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 图象法解一元二次不等式
1．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是【 】
A． B． C．且 D．x＜－1或x＞5
2．如图，已知二次函数的图象与正比例函数的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2 B．0＜x＜3 C．2＜x＜3 D．x＜0或x＞3
3．如图是二次函数的部分图象，使成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是( )
A．－1＜x＜2 B．x＞2 C．x＜－1 D．x＜－1或x＞2
5．二次函数y＝a x 2＋bx＋c的图象如图所示，且方程a x 2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜2 B．k≤2 C．k＜3 D．1＜k ＜3
6．如图是二次函数图象的一部分，则关于的不等式的解集是（ ）
A．x<2 B．x>-3
C．-31
考查题型二 利用不等式求自变量或函数值的取值范围
7．二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
8．如图是二次函数的部分图象,由图象可知不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．或
9．若二次函数中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表
x … 0 1 2 3 …
y … 2 3 2 …
点点在该函数图象上，当与的大小关系是（ ）A． B． C． D．
10．如图示，二次函数的图像与轴交于坐标原点和，若关于的方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数y＝，当a≤x≤b时，﹣≤y≤2，则b﹣a的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；④当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＜x．其中正确的个数为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
考查题型三 根据交点确定不等式的解集
13．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C． D．
14．在同一坐标系下，抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是（ ）
A．x＜0 B．0＜x＜2 C．x＞2 D．x＜0或 x＞2
15．如图，二次函数的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4
16．已知点在抛物线上，当时，总有；当时，总有，则的值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．
17．抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．如图，直线和抛物线，当时，的取值范围是（ ）
A． B．或 C．或 D．
19．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．，或 C． D．，或
20．若表示三个数中的最小值，当时，则的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
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