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专题09 有理数的除法运算
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 有理数除法运算
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．两个非零有理数的和为零，则它们的商是（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．若 ，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若a、b都是有理数且都不为零，则式子 值为（ ）
A．0或﹣2 B．2或﹣2 C．0或2 D．0或±2
5．下列各式中计算正确的有（ ）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考查题型二 有理数除法的应用
6．已知某班有40名学生，将他们的身高分成4组，在区间的有8名学生，那么这个小组的人数占全体的
A． B． C． D．
7．某商场举办“迎新春送大礼”的促销活动，全场商品一律打八折销售．小明买了一件商品，比标价少付了40元，那么他购买这件商品花了（ ）
A．80元 B．120元 C．160元 D．200元
8．一道计算题不慎被墨水覆盖了一部分，则覆盖的数字为（ ）
A． B．3 C． D．
9．一批200千克的种子中有190千克出芽，照这样算发芽率应为（ ）
A．5% B．95% C．190% D．100%
10．甲、乙二人从第一层开始比赛爬楼梯，甲爬到第4层时，乙恰好爬到第3层，照这样的速度，甲爬到第16层时，乙爬到第（ ）层．
A．9 B．10 C．11 D．12
考查题型三 有理数乘除混合运算
11．计算（﹣1）÷（﹣5）×（﹣）的结果是（ ）
A．﹣1 B．﹣ C．﹣25 D．1
12．若“!”是一种数学运算符号，并且1!＝1，2!＝2×1，3!＝3×2×1，4!＝4×3×2×1，……，则的值是为（ ）
A． B．99! C．9900 D．2!
13．对任意四个有理数a,b,c,d定义新运算：，则的值为（ ）
A．-2 B．-4 C．5 D．-5
14．给出下列等式：①；②；③；④ ．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
15．下列等式成立的是（ ）
A．100÷×（—7）=100÷ B．100÷×（—7）=100×7×（—7）
C．100÷×（—7）=100××7 D．100÷×（—7）=100×7×7
考查题型四 有理数加减乘除混合运算
16．计算：(1)8×|-6-1|+26×；
(2) ( +)×| 24| ×( 2.5)×( 8).
17．计算
（1）；
（2）（﹣20）﹣（﹣18）+（﹣14）﹣13；
（3）；
（4）（﹣8）×（﹣）×（﹣0.125）×．
18．计算：
19．阅读下面的解题过程：
计算：(－15)÷×6．
解：原式＝(－15)÷×6(第一步)
＝(－15)÷(－1)(第二步)
＝－15．(第三步)
回答：(1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第________步，错误的原因是________________；第二处是第________，错误的原因是________________．
(2)把正确的解题过程写出来．
20．计算：
（1）÷7；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
考查题型五 有理数混合运算的实际应用
21．某公司5天内货品进出仓库的吨数如下：（“+”表示进库，“一”表示出库）
+23，﹣30，﹣16，+35，﹣33
（1）经过这5天，仓库里的货品是 （填“增多了”还是“减少了”）．
（2）经过这5天，仓库管理员结算发现仓库里还有货品508吨，那么5天前仓库里存有货品多少吨？
（3）如果进出货的装卸费都是每吨4元，那么这5天一共要付多少元装卸费？
22．某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的公路检修线路，约定向东走为正，某天从地出发到收工时，行走记录如下（单位：）
，，，，，，，，，，
（1）收工时，检修小组在地的哪一边，距地多远？
（2）若汽车每千米耗油3升，已知汽车出发时邮箱里有180升汽油，问收工前是否需要中途加油？若加，应加多少升？若不加，还剩多少升汽油？
23．有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负来表示，记录如下：
与标准质量的差值(单位：千克) 3 2 1.5 0 1 2.5
筐数 1 4 2 3 2 8
（1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重 千克；
（2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克
（3）若白菜每千克售价2.6元，则出售这20筐白菜可卖多少元
24．传销是一种危害极大的非法商业诈骗活动，国家是明令禁止的，参与传销活动的人，最终是要上当受骗的．据报道，某公司利用传销活动诈骗，谎称“每位投资者每投资一股450元，买到一件价值10元的商品后，另外可得到530元的回报，每一期投资到期后，若投资人继续投资，下一期追加的投资股数必须是上一期的2倍”．退休的张大爷先投资了1股，以后每期到期时，不断追加投资，当张大爷某一期追加的投资数为16股时，被告知该公司破产了．
(1)假设张大爷在该公司破产的前一期停止投资，他的投资回报率是多少
(2)张大爷在参与这次传销活动中共损失了多少钱
25．2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2100个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：
（1）根据记录的数据可知，小王星期五生产口罩 个．
（2）根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量．
（3）若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每周的计划量．则少生产一个扣0.2元，求小王这一周的工资总额是多少元？
（4）若该厂实行每日计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成每日计划工作量．则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每天的计划量，则少生产一个扣0.2元，请直接写出小王这一周的工资总额是多少元．
星 期 一 二 三 四 五 六 日
增减产量/个 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣9 +16 ﹣8
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专题09 有理数的除法运算
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 有理数除法运算
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：（-6）÷（-）=（-6）×（-3）=18．
故选：C．
2．两个非零有理数的和为零，则它们的商是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【详解】
∵ 两个非零有理数的和为零，
∴ 这两个数是一对相反数，
∴ 它们符号不同，绝对值相等，
∴ 它们的商是．
故选．
3．若 ，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
∵
∴a和b异号
又∵，
∴，或，
当，时，
当，时，
故选D．
4．若a、b都是有理数且都不为零，则式子 值为（ ）
A．0或﹣2 B．2或﹣2 C．0或2 D．0或±2
【详解】
试题解析：分情况讨论：
①a＞0，b＞0；
则式子=1﹣1=0，
②a＞0，b＜0或a＜0，b＞0，
则式子=1﹣（﹣1）=2或式子=﹣1﹣1=﹣2
③a＜0，b＜0，
则式子=﹣1﹣（﹣1）=0．
所以式子的值是2，0或﹣2．
故选D．
5．下列各式中计算正确的有（ ）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】
解：①，故错误；
②，故错误；
③，故正确；
④，故错误；
故选：A．
考查题型二 有理数除法的应用
6．已知某班有40名学生，将他们的身高分成4组，在区间的有8名学生，那么这个小组的人数占全体的
A． B． C． D．
【详解】
根据题意得：．
故选C．
7．某商场举办“迎新春送大礼”的促销活动，全场商品一律打八折销售．小明买了一件商品，比标价少付了40元，那么他购买这件商品花了（ ）
A．80元 B．120元 C．160元 D．200元
【详解】
解：40÷（1-80%）
=40÷20%
=200（元）
200-40=160（元）
答：他购买这件商品花了160元．
故选：C．
8．一道计算题不慎被墨水覆盖了一部分，则覆盖的数字为（ ）
A． B．3 C． D．
【详解】
设被墨水覆盖了一部分为x，
则（-3）×x=-9，
x=3.
故答案选：B.
9．一批200千克的种子中有190千克出芽，照这样算发芽率应为（ ）
A．5% B．95% C．190% D．100%
【详解】
190÷200×100%=95%.
故选：B.
10．甲、乙二人从第一层开始比赛爬楼梯，甲爬到第4层时，乙恰好爬到第3层，照这样的速度，甲爬到第16层时，乙爬到第（ ）层．
A．9 B．10 C．11 D．12
【详解】
解：设每两层楼之间的距离为，
则甲从第一层到第四层爬的高度是，乙从第一层到第三层爬的高度是，
故甲的速度是乙的速度的倍，
甲爬到16层，爬了，则乙爬了，故此时乙爬到11层，
故选：C．
考查题型三 有理数乘除混合运算
11．计算（﹣1）÷（﹣5）×（﹣）的结果是（ ）
A．﹣1 B．﹣ C．﹣25 D．1
【详解】
原式＝﹣1××＝﹣，
故选B．
12．若“!”是一种数学运算符号，并且1!＝1，2!＝2×1，3!＝3×2×1，4!＝4×3×2×1，……，则的值是为（ ）
A． B．99! C．9900 D．2!
【详解】
解：由题意得：
100!=100×99×98×…×2×1，98 !＝98×97×…×2×1，故原式＝100×99＝9900；
故选C．
13．对任意四个有理数a,b,c,d定义新运算：，则的值为（ ）
A．-2 B．-4 C．5 D．-5
【详解】
解：根据题中的新定义得：原式=3-8=-5，
故选D.
14．给出下列等式：①；②；③；④ ．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【详解】
①，故错误；
②，故错误；
③，故正确；
④，故正确．
∴正确的个数为2．
故选择：C．
15．下列等式成立的是（ ）
A．100÷×（—7）=100÷ B．100÷×（—7）=100×7×（—7）
C．100÷×（—7）=100××7 D．100÷×（—7）=100×7×7
【详解】
100÷×（-7）=100×7×（-7）
故选B.
考查题型四 有理数加减乘除混合运算
16．计算：(1)8×|-6-1|+26×；
(2) ( +)×| 24| ×( 2.5)×( 8).
【详解】
解：(1)8×|-6-1|+26×
=8×|-7|+×
=56+3
=59；
(2) ( +)×| 24| ×( 2.5)×( 8)
= ( +)×24-×（-）×（-8），
=-×24 ×24+×24-××8
=-6-12+16-25，
=-43+16，
=-27．
17．计算
（1）；
（2）（﹣20）﹣（﹣18）+（﹣14）﹣13；
（3）；
（4）（﹣8）×（﹣）×（﹣0.125）×．
【详解】
解：(1)原式＝﹣﹣﹣
＝﹣1
＝﹣；
（2）原式＝﹣20+18﹣14﹣13
＝﹣47+18
＝﹣29；
（3）原式＝﹣8×﹣8×（﹣）﹣8×
＝﹣1+2﹣4
＝﹣3；
（4）原式＝﹣8×0.125××
＝﹣．
18．计算：
【详解】
原式=( )×( 24)+×( 24)+( )×( 24)+ ×( 24)=12 4+9 5=12.
19．阅读下面的解题过程：
计算：(－15)÷×6．
解：原式＝(－15)÷×6(第一步)
＝(－15)÷(－1)(第二步)
＝－15．(第三步)
回答：(1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第________步，错误的原因是________________；第二处是第________，错误的原因是________________．
(2)把正确的解题过程写出来．
【详解】
解：（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误的原因是运算顺序错误，第二处是第三步，错误的原因是符号错误．
（2）（﹣15）÷（）×6
=（﹣15）×6
=（﹣15）×（﹣6）×6
=90×6
=540．
故答案为二、运算顺序错误；三、符号错误．
20．计算：
（1）÷7；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【详解】
（1）(－28＋14)÷7
＝（－28－＋14+)×
＝－4－＋2+
＝－2．
（2）(－13)÷5－1÷5＋13×
＝(－13)×－1×＋13×
＝(－13－－1－＋13)×
＝－2×
＝－．
（3）1×[3×(－)－1]－×(－8)－8
＝×(－2－1)＋－8
＝－＋－8
＝－．
（4）－|－|－|－×|－|－|
＝－－－(－)
＝－－－＋
＝－1．
（5）(2－3＋)÷(－1)＋(－1)÷(2－3＋)
∵(2－3＋)÷(－1)
＝(－＋)×(－)
＝×(－)－×(－)＋×(－)
＝－2＋3－
＝，
∴(－1)÷(2－3＋)=，
∴原式=+=．
考查题型五 有理数混合运算的实际应用
21．某公司5天内货品进出仓库的吨数如下：（“+”表示进库，“一”表示出库）
+23，﹣30，﹣16，+35，﹣33
（1）经过这5天，仓库里的货品是 （填“增多了”还是“减少了”）．
（2）经过这5天，仓库管理员结算发现仓库里还有货品508吨，那么5天前仓库里存有货品多少吨？
（3）如果进出货的装卸费都是每吨4元，那么这5天一共要付多少元装卸费？
【详解】
（1）23﹣30﹣16+35﹣33＝﹣21吨，
答：仓库的货品减少了，
故答案为：减少了；
（2）508﹣（﹣21）＝529吨，
答：5天前仓库里存有货品529吨；
（3）4×（|+23|+|﹣30|+|﹣16|+|+35|+|﹣33|）
＝4×137
＝548元，
答：这5天一共要付548元装卸费．
22．某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的公路检修线路，约定向东走为正，某天从地出发到收工时，行走记录如下（单位：）
，，，，，，，，，，
（1）收工时，检修小组在地的哪一边，距地多远？
（2）若汽车每千米耗油3升，已知汽车出发时邮箱里有180升汽油，问收工前是否需要中途加油？若加，应加多少升？若不加，还剩多少升汽油？
【详解】
解：（1）（千米）
收工时，检修小组在地的东边，距地39千米．
（2）（千米）
（升），
，（升）
收工前需要中途加油，应加15升．
23．有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负来表示，记录如下：
与标准质量的差值(单位：千克) 3 2 1.5 0 1 2.5
筐数 1 4 2 3 2 8
（1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重 千克；
（2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克
（3）若白菜每千克售价2.6元，则出售这20筐白菜可卖多少元
【详解】
（1）（千克），
故答案为：；
（2），
，
（千克），
答：与标准重量比较，20筐白菜总计超过8千克；
（3）这20筐白菜的总质量为（千克），
则（元），
答：出售这20筐白菜可卖元．
24．传销是一种危害极大的非法商业诈骗活动，国家是明令禁止的，参与传销活动的人，最终是要上当受骗的．据报道，某公司利用传销活动诈骗，谎称“每位投资者每投资一股450元，买到一件价值10元的商品后，另外可得到530元的回报，每一期投资到期后，若投资人继续投资，下一期追加的投资股数必须是上一期的2倍”．退休的张大爷先投资了1股，以后每期到期时，不断追加投资，当张大爷某一期追加的投资数为16股时，被告知该公司破产了．
(1)假设张大爷在该公司破产的前一期停止投资，他的投资回报率是多少
(2)张大爷在参与这次传销活动中共损失了多少钱
【详解】
(1)张大爷在破产前一天一共投了1+2+4+8=15股，
此时回报率为=20％，
所以他的投资回报率为20％；
(2)450×16-（530-450+10）×15-16×10=5690元.
25．2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2100个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：
（1）根据记录的数据可知，小王星期五生产口罩 个．
（2）根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量．
（3）若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每周的计划量．则少生产一个扣0.2元，求小王这一周的工资总额是多少元？
（4）若该厂实行每日计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成每日计划工作量．则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每天的计划量，则少生产一个扣0.2元，请直接写出小王这一周的工资总额是多少元．
星 期 一 二 三 四 五 六 日
增减产量/个 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣9 +16 ﹣8
【详解】
解：（1）小王星期五生产口罩数量为：300﹣9＝291（个），
故答案为：291；
（2）+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），
则本周实际生产的数量为：2100+11＝2111（个）
答：小王本周实际生产口罩数量为2111个；
（3）一周超额完成的数量为：+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），
所以，2100×0.6+11×（0.6+0.15）
＝1260+11×0.75
＝1260+8.25
＝1268.25（元），
答：小王这一周的工资总额是1268.25元；
（4）第一天：300×0.6+5×（0.6+0.15）＝183.75（元）；
第二天：（300﹣2）×0.6﹣2×0.2＝178.4（元）；
第三天：（300﹣4）×0.6﹣4×0.2＝176.8（元）；
第四天：300×0.6+13×（0.6+0.15）＝189.75（元）；
第五天：（300﹣9）×0.6﹣9×0.2＝172.8（元）；
第六天：300×0.6+16×（0.6+0.15）＝192（元）；
第七天：（300﹣8）×0.6﹣8×0.2＝173.6（元）；
共183.75+178.4+176.8+189.75+172.8+192+173.6＝1267.1（元）．
答：小王这一周的工资总额是1267.1元．
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