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专题10 有理数的乘方
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 有理数幂的概念理解
1．对于(－2)4与－24，下列说法正确的是( )
A．它们的意义相同 B．它的结果相等
C．它的意义不同，结果相等 D．它的意义不同，结果不等
2．（﹣2）6表示（ ）
A．6个﹣2相乘的积 B．﹣2与6相乘的积
C．2个6相乘的积的相反数 D．6与2相乘的积
3．若，则n＝（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
4．可表示为（ ）
A． B． C． D．
5．＝（ ），（其中m个2，n个3）
A． B． C． D．
考查题型二 有理数乘方运算
6．计算的结果是（ ）
A．4 B． C．1 D．
7．下列各组数中结果相同的是（ ）
A．32与23 B．|－3|3与(－3)3 C．(－3)2与－32 D．(－3)3与－33
8．若，则的值是（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2018
9．现规定一种新的运算“*”：，如，则的结果为
A． B． C． D．
10．下列各组数中，互为相反数的有（ ）．
①-（-2）和- ②（-1）2和-12 ③23和32；④（-2）3和-23
A．④ B．①② C．①②③ D．①②④
考查题型三 有理数乘方的逆运算
11．如果(a3)2＝64，则a等于（ ）
A．2 B．－2 C．±2 D．以上都不对
12．某数的平方是，则这个数的立方是（ ）
A． B．8 C．或 D．+8或-8
13．若，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
14．若，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
15．若x、y、z是三个连续的正整数，若x2＝44944，z2＝45796，则y2＝（ ）
A．45 369 B．45 371 C．45 465 D．46 489
考查题型四 乘方运算的符号规律
16．若|a |+b2 =0，则a与b的关系应满足（ ）
A．a、b同号 B．a、b同号或至少有一个为零
C．a、b都为零 D．a、b异号或至少有一个为零
17．若是负数，则下列各式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
18．若m表示任意的有理数，则下列式子一定表示负数的是（ ）
A． B． C． D．
19．有理数，，, ，，中，其中等于1的个数是（ ）.
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
20．下列运算有误的是（ ）
A． B． C． D．（为正整数）
考查题型五 乘方的应用
21．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的绳子长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
22．13世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为（ ）
A．42 B．49 C．76 D．77
23．观察下列等式：，，，…．按照此规律，式子可变形为（ ）
A． B．
C． D．
24．下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2020个数应是（ ）
A． B．
C． D．以上答案均不对
25．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由1个分裂为64个，则这个过程要经过（ ）
A．1小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时
考查题型六 含乘方的有理数混合运算
26．计算：
（1）；
（2）．
27．计算
（1）4+（﹣2）2×2﹣（﹣36）÷4；
（2）16÷（﹣2）3﹣（）×（﹣4）．
（3）
（4）
28．在数学活动中，小明为了求的值(结果用n表示)，设计如图所示的几何图形．
请你利用这个几何图形求的值．
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专题10 有理数的乘方
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 有理数幂的概念理解
1．对于(－2)4与－24，下列说法正确的是( )
A．它们的意义相同 B．它的结果相等
C．它的意义不同，结果相等 D．它的意义不同，结果不等
【详解】
的底数是﹣2，指数是4，结果是16；的底数是2，指数是4，它的意思是2的四次方的相反数，结果是﹣16．故选D．
2．（﹣2）6表示（ ）
A．6个﹣2相乘的积 B．﹣2与6相乘的积
C．2个6相乘的积的相反数 D．6与2相乘的积
【详解】
根据乘方的意义知：（-2）6表示6个-2相乘，
故选A．
3．若，则n＝（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
【详解】
∵，
，
∴原式左边，
即，
∴．
故选：A．
4．可表示为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：，
故选：C．
5．＝（ ），（其中m个2，n个3）
A． B． C． D．
【详解】
解：=，
故选：B．
考查题型二 有理数乘方运算
6．计算的结果是（ ）
A．4 B． C．1 D．
【详解】
解：∵，
故选：A．
7．下列各组数中结果相同的是（ ）
A．32与23 B．|－3|3与(－3)3 C．(－3)2与－32 D．(－3)3与－33
【详解】
A. 32=9, 23=8，故不相等；
B. |－3|3=27，(－3)3= 27，故不相等；
C. (－3)2=9, －32= 9，故不相等；
D. (－3)3= 27, －33= 27，故相等，
故选D.
8．若，则的值是（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2018
【详解】
解：由题意得：a-1=0，b-2=0；解得：a=1，b=2
所以=
9．现规定一种新的运算“*”：，如，则的结果为
A． B． C． D．
【详解】
∵，∴==．
故选C．
10．下列各组数中，互为相反数的有（ ）．
①-（-2）和- ②（-1）2和-12 ③23和32；④（-2）3和-23
A．④ B．①② C．①②③ D．①②④
【详解】
解：①，，互为相反数；
②，，互为相反数；
③，，不互为相反数；
④，，不互为相反数．
综上，互为相反数的是①②．
故选：B．
考查题型三 有理数乘方的逆运算
11．如果(a3)2＝64，则a等于（ ）
A．2 B．－2 C．±2 D．以上都不对
【详解】
故选：C
12．某数的平方是，则这个数的立方是（ ）
A． B．8 C．或 D．+8或-8
【详解】
∵一个数的平方是，
∴这个数是，
则这个数的立方是或.
故选C.
13．若，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
∵，
∴，，
∵，
∴与异号，
当，时，，
当，时，，
故选C．
14．若，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：若
∴a=±b，故A、B、C不一定成立；
∴，故D正确
故选D．
15．若x、y、z是三个连续的正整数，若x2＝44944，z2＝45796，则y2＝（ ）
A．45 369 B．45 371 C．45 465 D．46 489
【详解】
解：∵x、y、z是三个连续的正整数，
∴y=x+1，
∵x2＝44944=2122，
∴x=212，
∴y=213，
∴y2=2132=45 369，
故选：A．
考查题型四 乘方运算的符号规律
16．若|a |+b2 =0，则a与b的关系应满足（ ）
A．a、b同号 B．a、b同号或至少有一个为零
C．a、b都为零 D．a、b异号或至少有一个为零
【详解】
解：∵|a|+b2＝0，
∴a＝0，b2＝0，
解得：a＝0，b＝0，
∴a、b都为零．
故答案选：C．
17．若是负数，则下列各式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
A.∵一对相反数的偶次幂相等，∴，故A正确；
B.∵a是负数，负数的偶数次幂是正数，∴，故B正确；
C.∵一对相反数的奇次幂互为相反数，∴，故C不正确；
D.∵一对相反数的奇次幂互为相反数，∴，故D正确．
故选C
18．若m表示任意的有理数，则下列式子一定表示负数的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：A、当m＜0时，﹣m＞0，不符合题意；
B、当m=0时，﹣m2=0，不符合题意；
C、当m是任意的有理数时，＜0，符合题意；
D、当m=1时，=0，不符合题意；
故选：C．
19．有理数，，, ，，中，其中等于1的个数是（ ）.
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【详解】
解：；
；
；
；
；
，
这一组数中等于1的有3个．
故选：．
20．下列运算有误的是（ ）
A． B． C． D．（为正整数）
【详解】
根据乘方运算法则，A、B、C均为正确选项，
D、当n为正整数时，2n为偶数，则，
故选：D．
考查题型五 乘方的应用
21．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的绳子长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【详解】
∵1-=，
∴第2次后剩下的绳子的长度为()2米；
依此类推第六次后剩下的绳子的长度为()6米．
故选C．
22．13世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为（ ）
A．42 B．49 C．76 D．77
【详解】
依题意有，刀鞘数为76．
故选：C．
23．观察下列等式：，，，…．按照此规律，式子可变形为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
，
，
，
归纳类推得：，其中n为正整数，
则，
故选：B．
24．下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2020个数应是（ ）
A． B．
C． D．以上答案均不对
【详解】
解：第1个数为1=20；
第2个数为2=21；
第3个数为4=22；
第4个数8=23；
第5个数为16=24；
……
第2020个数为22019.
故选A.
25．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由1个分裂为64个，则这个过程要经过（ ）
A．1小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时
【详解】
解:根据已知可知：
一个细胞第一次分裂成21个，
第二次分裂成22个，
第三次分裂成23个，
由上述规律可知，
第n次时细胞分裂的个数为2n个，
设第x次分裂成64个，
由题意得2x=64，
解得x=6，
即第6次分裂细菌分裂成64个，
答:由每半小时分裂一次，此细菌由1个分裂成64个，共花费了3个小时.
故答案选C.
考查题型六 含乘方的有理数混合运算
26．计算：
（1）；
（2）．
【详解】
（1）
．
（2）
．
27．计算
（1）4+（﹣2）2×2﹣（﹣36）÷4；
（2）16÷（﹣2）3﹣（）×（﹣4）．
（3）
（4）
【详解】
（1）解：原式=4+42-（-9）
=4+8+9
=21；
（2）解：原式=
=
=；
（3）解：
=
=
=
=；
（4）解：
=
=
=-（36-15+14）+1
=-35+1
=-34．
28．在数学活动中，小明为了求的值(结果用n表示)，设计如图所示的几何图形．
请你利用这个几何图形求的值．
【详解】
由图可知，
，
，
…
，
所以.
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