1.2.2 矩形的判定—北师大版数学九年级上册课堂同步练(含答案)

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北师大版数学九年级上册课堂同步练
第一章　特殊平行四边形
1.2 矩形的性质与判定
第2课时　矩形的判定
分类练
知识点1　根据矩形的定义判定矩形
1. 如图，要使 ABCD成为矩形，需添加的条件是( )
A.AB＝BC B.AC⊥BD C.∠ABC＝90° D.∠1＝∠2
2. 如图，在△ABC中，BD是AC的垂直平分线.过点D作AB的平行线交BC于点F，过点B作AC的平行线，两平行线相交于点E，连接CE. 求证：四边形BECD是矩形.
知识点2　根据对角线的关系判定矩形
3. 如图，有下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④∠ADC＝∠BAD.从中选取一个作为补充条件，使 ABCD为矩形，其中错误的是( )
A.① B.② C.③ D.④
4. 如图，将 ABCD的边DC延长到点E，使CE＝CD，连接AE，交BC于点F，连接AC，BE，∠AFC＝2∠D.求证：四边形ABEC是矩形.
知识点3　由三个角是直角判定矩形
5. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形.下面是某个合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( )
A.测量对角线是否互相平分 B.测量两组对边是否分别相等
C.测量其内角是否均为直角 D.测量对角线是否垂直
6. 如图，直角∠AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为10，则图中四边形的周长为　 　.
提升练
7. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝4 cm，AD＞AB，CD＝5 cm，点P从点C出发沿边CB以每秒1 cm的速度向点B运动，　 　秒后四边形ABPD是矩形.
8. 如图，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，AC与BD还要满足　 ，才能保证四边形EFGH是矩形.
9. 如图，在 ABCD中，AE，BF，CN，DM分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，且相交于点O，K，H，G.求证：四边形HGOK是矩形.
拓展练
10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从点A，C同时出发相向而行，速度均为1 cm/s，运动时间为t s，0≤t≤5.
(1)AE＝　 cm，EF＝_____________cm；(用含t的式子表示)
(2)若G，H分别是AB，DC的中点，求证：四边形EGFH是平行四边形；
(3)在(2)的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形
参 考 答 案
1. C
2. 证明：∵BD是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，BD⊥CA，∴∠BDC＝90°. 由题意知AB∥DE，AD∥BE，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD＝BE，∴DC＝BE. 又∵DC∥BE，∴四边形BECD是平行四边形. ∵∠BDC＝90°，∴平行四边形BECD是矩形.
3. A
4. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD. ∵CE＝CD，∴AB＝CE，∴四边形ABEC是平行四边形. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D. ∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠ABC，∴∠ABF＝∠BAF，∴FA＝FB，∴FA＝FE＝FB＝FC，∴AE＝BC，∴四边形ABEC是矩形.
5. C
6. 20
7. 3
8. AC⊥BD
9. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°. ∵AE，BF分别平分∠DAB，∠ABC，∴∠BOK＝∠OAB＋∠OBA＝(∠DAB＋∠ABC)＝90°，∴∠GOK＝∠BOK＝90°，同理可得∠OKH＝90°，∠KHG＝90°，∴四边形HGOK是矩形.
10. 解：(1)t (5－2t)(0≤t≤2.5)或(2t－5)(2.5＜t≤5)
(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠GAF＝∠HCE. ∵G，H分别是AB，DC的中点，∴AG＝CH. ∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴△AFG≌△CEH(SAS)，∴GF＝HE，∠AFG＝∠CEH，∴GF∥HE，∴四边形EGFH是平行四边形.
(3)连接GH.由(2)知四边形EGFH是平行四边形. ∵G，H分别是矩形ABCD的边AB，DC的中点，∴GH＝BC＝4 cm，∴当EF＝GH＝4 cm时，四边形EGFH是矩形. 分两种情况：①当0≤t≤2.5时，EF＝(5－2t) cm，即5－2t＝4，解得t＝0.5；②当2.5＜t≤5时，EF＝(2t－5) cm，即2t－5＝4，解得t＝4.5. ∴当t＝0.5或4.5时，四边形EGFH为矩形.
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