1.2.3 矩形的性质与判定的综合应用—北师大版数学九年级上册课堂同步练(含答案)

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北师大版数学九年级上册课堂同步练
第一章　特殊平行四边形
1.2 矩形的性质与判定
第3课时　矩形的性质与判定的综合应用
分类练
知识点　矩形的性质与判定的综合应用
1. 为了解居民的日常生活所需，某社区成立了服务站，如图是该社区辖区内的A，B，C三个小区位置示意图，其中AB＝1 000 m，BC＝600 m，AC＝800 m.如果要求服务站到三个小区的距离相等，那么服务站设立的位置应在( )
A.AB的中点处 B.BC的中点处
C.AC的中点处 D.∠C的平分线与AB的交点处
2. 如图，在△ABC中，AC的中垂线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E.若∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是( )
A.2 B.2 C.3 D.3
3. 如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为　 　 .
4. 如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，E为BC上的一点，ED平分∠AEC，则CE的长为　 　 .
5. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B(3，5).若锁定OA，向左推动矩形OABC，使点B落在y轴上点B'的位置，则点C的对应点C'的坐标为　 .
6. 如图，P是矩形ABCD边上的一个动点，已知AB＝15，BC＝20，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是　 　 .
7. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，
CE⊥AD，垂足为E.
求证：AE＝CE.
提升练
8. 如图，P是矩形ABCD内一点(不含边界)，若S△PAB＝S△PBC，则点P一定在( )
A.对角线BD上 B.对角线AC上
C.∠ABC的平分线上 D.对角线AC和BD的交点处
9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为　 　.
10. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB的延长线于点E，CF∥AE交AD的延长线于点F.
(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)若AE＝4，AD＝5，求OB的长.
拓展练
11. 如图，在△ABC中，O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF.
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长.
(3)连接AE，AF.当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形 请说明理由.
参 考 答 案
1. C
2. 证明：∵BD是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，BD⊥CA，∴∠BDC＝90°. 由题意知AB∥DE，AD∥BE，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD＝BE，∴DC＝BE. 又∵DC∥BE，∴四边形BECD是平行四边形. ∵∠BDC＝90°，∴平行四边形BECD是矩形.
3. A
4. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD. ∵CE＝CD，∴AB＝CE，∴四边形ABEC是平行四边形. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D. ∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠ABC，∴∠ABF＝∠BAF，∴FA＝FB，∴FA＝FE＝FB＝FC，∴AE＝BC，∴四边形ABEC是矩形.
5. C
6. 20
7. 3
8. AC⊥BD
9. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°. ∵AE，BF分别平分∠DAB，∠ABC，∴∠BOK＝∠OAB＋∠OBA＝(∠DAB＋∠ABC)＝90°，∴∠GOK＝∠BOK＝90°，同理可得∠OKH＝90°，∠KHG＝90°，∴四边形HGOK是矩形.
10. 解：(1)t (5－2t)(0≤t≤2.5)或(2t－5)(2.5＜t≤5)
(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠GAF＝∠HCE. ∵G，H分别是AB，DC的中点，∴AG＝CH. ∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴△AFG≌△CEH(SAS)，∴GF＝HE，∠AFG＝∠CEH，∴GF∥HE，∴四边形EGFH是平行四边形.
(3)连接GH.由(2)知四边形EGFH是平行四边形. ∵G，H分别是矩形ABCD的边AB，DC的中点，∴GH＝BC＝4 cm，∴当EF＝GH＝4 cm时，四边形EGFH是矩形. 分两种情况：①当0≤t≤2.5时，EF＝(5－2t) cm，即5－2t＝4，解得t＝0.5；②当2.5＜t≤5时，EF＝(2t－5) cm，即2t－5＝4，解得t＝4.5. ∴当t＝0.5或4.5时，四边形EGFH为矩形.
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