2022年高中名校自主招生初升高衔接数学讲义1 代数式（Word版含解析）

第一讲 代数式
知识要点
代数式包括在整个初中我们学习的整式、分式、根式等相关内容.在自招中所占的比例较大，无论在填空还是在解答晚上再中都可以找到代数式的身影.
首先我们来看一下代数式章节几个重要的公式（以下列举课本中未涉及的公式）：
，
，
，
，
，
.
例题精讲
若，，，求的值得．
已知，求、的值．
若，则的值是______．
计算．
已知、、是实数.若、、之和恰等于1，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为－1.
设，其中、、、为常数.若，，.试计算.
对于所有的正整数，定义.若正整数满足
，
则的最大值为______．
求所有的三元有序整数组使得为正整数.
习题巩固
因式分解.
因式分解.
已知是方程的一根，求的值.
若为正整数，且是的约数，求的所有可能值总和.
若，求的值.
计算.
（1）若实数使得，求的值；
（2）若实数满足，设，求证：一定是无理数.
已知实数、、满足，求的值.
已知，求证.
已知.
求.
自招链接
求的最小值.
我们学过等差数列的求各公式，请利用，推导的公式.
参考答案
例题精讲
对于这样的题目，第一次就直接代入是很不应该的，我们先书写公式：
，
然后把，，代入，得
.
这样的题目在自招的试卷中出现的次数也是非常的多，应熟练选用合适的公式.熟用完全平方公式（注意符号）：
，
所以.
熟用立方差公式（注意符号）：
.
在自招试卷中下面这个公式非常重要：
设，，，则
.
又，故.
从而可知，
.
故 .
在自招试卷中，算式中出现省略号的话，我们一般把通项写出来，然后进行变形，从而找出规律.
.
所以，原式
.
由题设，且，即
则，
，
，
，
.
所以或者或者中，必有一个成立.
不妨设，则将，，分别代入三个分式，可得三个分式的值分别为1、1、－1.
对于数字规律明显的试题，可以考虑使用因式定理来进行化简.
因式定理：如果多项式能被整除，即是的一个因式，那么.
反之，如果，那么是的一个因式.
通过因式定理的推导，可判断
.
所以
.
将具体的数字代入原不等式得：
，
通项.
原不等式化简得：
.
当你做到这一步的时候，可以尝试对每一项进行计算：
，
发现左右有相同的数字，那是因为
，
所以，不等式或以化简为，得：最大值为44.
先证明引理（此引理曾单独在自招试卷中出现）：
若、、、均为有理数，则、、为有理数.
证明如下：
设，所以，，则，，为有理数，同理、均为有理数.
由引理得、、为有理数.
设，，（分子分母互质且为正整数）.
因为，所以，同理，从而
，
.
分情况讨论，不妨设.
（1），（，，）=（3，3，3），（2，3，6），（2，4，4）逐个代入，通过奇偶分析，可得当（，，）=（2，4，4）时，有整数解：
解得
（2），（，，）=（1，2，2），通过奇偶分析无整数解.
（3），（，，）=（1，1，1），通过奇偶分析无整数解.
所以，满足题目条件的为（4030，4030，28210），（4030，28210，4030），（28210，4030，4030）三组.
习题巩固
.
.
由于，则，又，所以，.
为整数，则为整数，，2，4，8，16，取值总和为46.
若，则，，
故.
若，则（等比性质），故有，从而可知.
原式.
（1）
（2）将平方：，又故，因此为无理数（无理数的证明请参考七年级第二学期课本阅读材料）.
.，
显然，可得.
,
即，
故，
则，
故.
等式两边同时除以，可得，
进而，
则，
故，
从而.
故，
展开并化简，可得，即，从而.故.
，
，
所以
自招链接
根据绝对值的几何意义，我们知道的最小值在时取得.，，分别求出最小值的取值范围，可得时取的最小值，最小值为8.
虽然有很多同学知道这个公式最后的答案为，我们先把可以利用的公式写出来看看：.
上面的式子中我们发现了需要推导的，那么下面就是寻找，我们可以把公式变为
.
然后依次类推：.
我们把所有的式子相加：
左边，
右边，
化简得
，
所以
.