[线段的性质]
一、选择题
1.[2020·邯郸永年区期末] 如图,将一块三角形木板截去一部分后,发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大,能正确解释这一现象的数学知识是 ( )
A.两直线相交只有一个交点 B.两点确定一条直线
C.经过一点有无数条直线 D.两点之间,线段最短
2.如图,小明家在A处,书店在B处,星期日小明到书店去买书,他想尽快赶到书店,请你帮他选择一条最近的路线 ( )
A.A→C→D→B B.A→C→F→B
C.A→C→E→F→B D.A→C→M→B
3.[2020·渭南富平县期末] 如图,一池塘岸边有A,B两棵树,小颖同学在池塘一侧选取了一点P,测得PA=100 m,PB=90 m,那么树A与树B之间的距离不可能是 ( )
A.90 m B.100 m C.150 m D.190 m
4.两根木条,一根长30 cm,另一根长16 cm,将它们的一端重合且放在同一直线上,此时,两根木条的中点之间的距离为 ( )
A.7 cm B.23 cm
C.7 cm或23 cm D.14 cm或46 cm
二、填空题
5.[2019·天津和平区期末] 如图所示,在一条笔直公路l的两侧,分别有甲、乙两个村庄,现要在公路l上建一个汽车站,使汽车站到甲、乙两村的距离之和最短,你认为汽车站应该建在 处(填“A”或“B”或“C”),理由是 .
6.在数轴上有A,B,C三点,若点A表示的数是-2,且A,B两点间的距离为3,C为AB的中点,则AB的中点C所表示的数是 .
三、解答题
7.知识是用来为人类服务的,我们应该把它们用于有意义的方面.下面就两个情景请你做出评判.
情景一:如图,从教学楼到图书馆,总有少数同学不走人行道而是穿过草坪,这是为什么呢 试用所学的数学知识来说明这个问题(温馨提示:小草也有生命,请脚下留情);
情景二:如图所示,A,B是河流l两旁的两个村庄,现要在河边修一个抽水站向两村供水,则抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短 请在图中表示出抽水站P的位置,并说明你的理由.
8.如图,已知四边形ABCD,在四边形内找一点O,使得线段AO,BO,CO,DO的长度和最小.(只画图,不写作法)
(1)如图①,一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到它正上方的点B处,怎样爬行路线最短
(2)如图图②,一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬行一圈到点B,怎样爬行路线最短
答案
[课堂达标]
1.D 2.B 3.D
4.C 由于两根木条的放置方式不确定,故需要分两种情况讨论.
设AB=30 cm,BC=16 cm,AB,BC在同一直线上,M是BC的中点,N是AB的中点.
①若点C在线段AB上(如图图①),因为BM=BC=8 cm,BN=AB=15 cm,所以MN=BN-BM=7 cm;
②若点C在线段AB的延长线上(如图图②),则MN=BM+BN=23 cm.故选C.
5.B 两点之间,线段最短
6.-0.5或-3.5 因为点A表示的数是-2,且A,B两点间的距离为3,到点A的距离是3的点有两个,分别是表示1与-5的点,
所以点B表示的数是1或-5.
因为C为AB的中点,
所以点C表示的数是-0.5或-3.5.
7.解:情景一:把教学楼和图书馆看作两个点,两点的所有连线中,线段最短;
情景二:如图图所示.
理由:两点的所有连线中,线段最短.
8.解:如图图所示,连接AC,BD,交点就是点O.
[素养提升]
解:(1)沿线段AB爬行时路线最短.
(2)圆柱的侧面展开图是长方形,如图图所示,沿对角线AB爬行时路线最短.[直线、射线、线段的概念]
一、选择题
1.手电筒发出的光线给我们的形象是 ( )
A.线段 B.射线 C.直线 D.折线
2.[2020·重庆沙坪坝区期末] 下列叙述正确的是 ( )
A.线段AB可表示为线段BA B.射线AB可表示为射线BA
C.直线可以比较长短 D.射线可以比较长短
3.延长线段AB到点C,下列说法正确的是 ( )
A.点C在线段AB上 B.点C在直线AB上
C.点C不在直线AB上 D.点C在直线BA的延长线上
4.如图,直线l上有A,B,C三点,下列说法正确的有 ( )
①射线AB与射线BC是同一条射线;②直线AB经过点C;③射线AB与射线AC是同一条射线;④直线AB与直线BC是同一条直线.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.中共有线段 ( )
A.8条 B.9条 C.10条 D.11条
6.如图,直线l、射线OA、线段m可以相交的是 ( )
A.①②④ B.③⑤⑥
C.③④⑤ D.②④⑥
二、填空题
7.用一个钉子把一根细木条钉在木板上,用手拨木条,木条能转动,这说明 ,用两个钉子把细木条钉在木板上,就能固定细木条,这说明 .
8.过平面上三点中的任意两点作直线,可作 条.
三、解答题
9.如图,在同一平面内有四个点A,B,C,D,请按要求完成下列问题.(注此题作图不要求写出画法和结论)
(1)作射线AC;
(2)作直线BD与射线AC相交于点O;
(3)分别连接AB,AD.
10.读下列语句,画出图形,并回答问题.
(1)直线l经过A,B,C三点,且点C在点A,B之间,P是直线l外一点,画直线BP,射线PC,连接AP;
(2)在(1)的图形中,能用已知字母表示的直线、射线、线段各有几条 写出这些直线、射线、线段.
[归纳思想] 小新乘车回奶奶家,发现这条汽车线路上共有5个站(包括始发站和终点站),小新想:这条线路上的车票最多有多少种不同的票价呢 最多有多少种车票 请你帮助小新回答这个问题.
答案
[课堂达标]
1.B 2.A 3.B
4.C “射线AB与射线BC是同一条射线”不对,两条射线是同一条射线必须满足两个条件:①端点相同;②延伸方向相同.
5.C 图中有线段AC,AD,AE,AB,CD,CE,CB,DE,DB,EB,共10条.
6.B
7.经过一点可以画无数条直线 两点确定一条直线
8.1或3 如图图①,若三点在同一直线上,此时可作1条.
如图图②,若三点不在同一直线上,此时可作3条.
9.解:(1)(2)(3)如图图所示.
10.解:(1)如图图所示.
(2)直线有2条,分别是直线BP,AB;射线有7条,分别是射线PC,PB,BP,AC,CB,BC,CA;线段有6条,分别是线段AP,PB,PC,AB,AC,BC.
[素养提升]
解:把这条汽车线路上的5个站转化为直线上的5个点,共有10条线段,所以这5个站之间最多有10种不同的票价,但同一路线对应往返两种车票,所以最多有20种车票.[线段的大小比较]
一、选择题
1.用“叠合法”比较两条线段AB,CD的大小,其中正确的方法是 ( )
2.如图,已知C为线段AB的中点,则:①AC=BC;②AC=AB;③BC=AB;④AB=2AC;⑤AB=2BC.其中正确的有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3.[2020·漯河临颍县期末] 平面内有三点A,B,C,如图果AB=8,AC=5,BC=3,那么下列说法正确的是 ( )
A.点C在线段AB上
B.点C在线段AB的延长线上
C.点C在直线AB外
D.点C可能在直线AB上,也可能在直线AB外
4.如图所示的线段x表示 ( )
A.2a-b+c B.2a+b-c C.2a+b+c D.2a
5.如图,长度为12 cm的线段AB的中点为M,点C将线段MB分成MC∶CB=1∶2的两部分,则线段AC的长为 ( )
A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
二、填空题
6.用“>”“<”或“=”填空:
(1)如图果点C在线段AB上且不与端点A,B重合,那么AC AB,AB BC,AB AC+BC;
(2)如图果点D在线段AB的延长线上,那么AD AB,BD AD,AD-AB BD.
7.A,B,C,D四点在同一条直线上,如图所示,若AB=CD,则AC BD.(填“>”“=”或“<”)
8.如图,若CB=4 cm,DB=7 cm,且D是AC的中点,则AC= cm.
9.如图,AC=CD=DE=EB,则图中和线段AD长度相等的线段是 ,以D为中点的线段是 .
10.如图,已知O是线段AB的中点,C是AB的三等分点,OC=2 cm,则AB= .
11.如图所示,将线段AB延长到点C,使BC=AB,延长BC到点D,使CD=BC,延长CD到点E,使DE=CD.若AE=80 cm,则AB= cm.
三、解答题
12.如图,已知线段AB,按下列语句画出图形,并回答问题.
(1)延长线段AB到点C,使BC=AB;
(2)反向延长线段AB到点D,使AD=AB.
想一想,A,B分别是哪条线段的中点
13.如图,已知线段a,b,c(a>b>c),借助直尺和圆规作出线段,使其等于:
(1)a+2b;(2)a-b+2c.
14.[2020·石家庄高邑县期中] 如图,已知A,B,C是线段MN上的点,MA=AB,C是BN的中点.若AC=6,求MN的长.
15.如图,A,B,C,D四点在同一条直线上,根据图形填空:
(1)AC= + + ;
(2)AB=AC- ;
(3)DB+BC= -AD;
(4)若AC=8 cm,D是线段AC的中点,B是线段DC的中点,求线段AB的长.
16.如图,已知线段AB的长为40 mm,C是AB的中点,延长AB到点D,使CD=3CB,点E在线段AB的反向延长线上,且BD=2EA,求线段ED的中点M到点C的距离.
[分类思想] 已知数轴上A,B两点对应的数分别为a和b,且a,b满足等式(a+9)2+|7-b|=0,P为数轴上一动点,对应的数为x.
(1)求线段AB的长.
(2)数轴上是否存在一点P,使得PA=3PB 若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.
(3)在(2)的条件下,若M,N分别是线段AB,PB的中点,试求线段MN的长.
答案
[课堂达标]
1.C 2.D 3.A 4.B
5.D 因为M为线段AB的中点,
所以AM=BM=6 cm.
因为点C将线段MB分成MC∶CB=1∶2的两部分,
所以MC=2 cm,CB=4 cm.
所以AC=AM+MC=6+2=8(cm).故选D.
6.(1)< > = (2)> < =
根据题意,画出图形.
7.=
8.6 因为CD=DB-CB=7-4=3(cm),又D是AC的中点,所以AC=2CD=2×3=6(cm).
9.BD,CE AB,CE 根据题意,由AC=CD=DE=EB可知:C,D,E三点是线段AB的四等分点.所以图中和线段AD长度相等的线段是BD和CE, 以D为中点的线段是AB和CE.
10.12 cm
11.54 设AB=x cm,则BC=x cm,CD=x cm,DE=x cm. 根据题意,得x+x+x+x=80,解得 x=54.
[点析] 利用方程思想解决几何问题是常用的方法.
12.解:(1)(2)如图图所示.
A是线段BD的中点,B是线段AC的中点.
13.解:(1)如图图所示.
作法如图下:
①画出射线AP;
②在射线AP上截取AB=a;
③在射线BP上顺次截取BC,CD,使BC=CD=b.线段AD就是所求作的线段.
(2)如图图所示.
作法如图下:
①画出射线AP;
②在射线AP上截取AB=a;
③在线段AB上截取BC=b;
④在射线CP上顺次截取CD,DE,使CD=DE=c.
线段AE就是所求作的线段.
14.解:因为C是BN的中点,
所以BC=NC.
因为MA=AB,
所以AB+BC=BM+BN,
即AC=MN.
所以MN=2AC=2×6=12.
15.解:(1)AD DB BC (2)BC (3)AC
(4)因为D是线段AC的中点,AC=8 cm,
所以AD=DC=4 cm.
因为B是线段DC的中点,所以DB=2 cm.
所以AB=AD+DB=4+2=6(cm).
16.解:因为AB=40 mm,C是AB的中点,
所以AC=CB=20 mm.
因为CD=3CB,
所以CD=20×3=60(mm),BD=60-20=40(mm).
因为BD=2EA,
所以EA=20 mm.
所以ED=EA+AB+BD=100 mm.
因为M是ED的中点,
所以EM=100÷2=50(mm).
所以CM=EM-EA-AC=50-20-20=10(mm).
[素养提升]
解:(1)由(a+9)2+|7-b|=0,得
a+9=0,7-b=0.
解得a=-9,b=7.
所以线段AB的长为b-a=7-(-9)=16.
(2)存在.若点P在线段AB上,则PA+PB=AB,
即3PB+PB=AB=16,解得PB=4.
此时7-x=4,解得x=3.
若点P在线段AB的延长线上,则PA-PB=AB,
即3PB-PB=AB=16,解得PB=8.
此时x=7+8=15.
综上所述,x的值为3或15.
(3)若点P在线段AB上,
由M,N分别是线段AB,PB的中点,得
MB=AB=8,NB=PB=2.
由线段的和差,得MN=MB-NB=8-2=6.
若点P在线段AB的延长线上,
由M,N分别是线段AB,PB的中点,得
MB=AB=8,NB=PB=4.
由线段的和差,得MN=MB+NB=8+4=12.
综上所述,线段MN的长为6或12.
