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知识点1 “多物多态”——“跳车模型”、“推箱模型”、“传球模型”
1．模型特点：由两个或两个以上的物体构成的系统，水平方向动量守恒，当系统内某个物体以“跳跃”、“推箱”、“传球”等改变运动状态后，系统内其它物体的运动状态也随之改变。
2．常见类型及处理方法：
①“一分为二”——开始两个物体作为一个整体以相同的速度运动，当其中一个物体以相对于地面或相对于另一个物体的速度改变运动状态后，求另一个物体的速度。
②“合二为一”——开始两个物体以不同的速度运动，通过运动两个物体合为一个整体，求物体的运动速度。
③“整体法”——不考虑系统中物体间的运动过程，只考虑开始和最末两个状态，通过动量守恒定律列式求解即可。
这类问题中，如果涉及三个物体还需要考虑避免相撞的问题，避免相撞的临界条件就是物体达到共速，且此时物体之间的距离是最短的。
【跳车模型】
质量分别为和的甲、乙二人，分别从原来静止在光滑水平面上的小车两端，以的水平速度沿相反方向先后跳到地面上。若小车的质量为，当二人跳离后，小车的运动速度为（ ）
A．，方向与甲的初速度方向相同
B．，方向与乙的初速度方向相同
C．，方向与甲的初速度方向相同
D．，方向与乙的初速度方向相同
【答案】C
质量是的人，以10m/s的水平速度跳上一辆迎面驶来的质量为、速度为的车上，则此后车的速度是______，方向______。
【答案】；与原来的方向相同
质量为的小车，以速度在光滑水平地面前进，上面站着一个质量为的人，问：当人以相对车的速度向后水平跳出后，车速度为多大
【答案】
【解析】选地面为参考系，以小车前进的方向为正方向，人跳出车后小车的动量为，人的动量为，
根据动量守恒定律有：
解得
两个质量相同的小车位于同一水平光滑轨道上，A车上站着一个人，两车都静止，如图1所示。当这个人自A车跳到B车上又立即跳回A车并在A车上站稳时，下面说法中正确的是：
A．两车又都恢复到静止状态；
B．两车都在运动，它们的速率相等，方向相反；
C．两车都在运动，A车的速率大于B车的速率；
D．两车都在运动，A车的速率小于B车的速率。
【答案】D
如图所示，三辆完全相同的平板小车成一直线排列，静止在光滑水平面上．车上有一小孩跳到车上，接着又立即从车跳到车上．小孩跳离车和车时对地水平速度相同．他跳到车上相对车保持静止．此后（ ）
A．两车运动速率相等 B．两车运动速率相等
C．三辆车的速率关系 D．两车运动方向相同
【答案】C
【解析】设小孩质量为，平板小车质量为，小孩跳离车和车时对地水平速度为，则根据动量守恒定律 ………………………..…..①
…………………②
…..……..…③
…………………④
由①②③④式即可求出．
如图5－7所示，有、两质量为的小车，在光滑水平面以相同的速率在同一直线上相对运动，车上有一质量为的人至少要以多大的速度(对地)从车跳到车上，才能避免两车相撞？
【答案】
【解析】当两车速度相同时，恰能避免相撞，设此时的速度为，取车的速度方向为正方向，根据动量守恒定律可得：
①
设人从车上跳到车上的速度为，根据动量守恒定律可得：
②
联立①②解得：
一辆车在光滑的水平面上以的速度向右运动，小车的质量为，如图所示，一质量为的人从小车右端迎面跳上小车，接触小车前的瞬间人的水平速度大小为．求：
（1）人跳上小车后，人和小车共同速度的大小和方向；
（2）人跳上小车的过程中，人对小车做的功．
【答案】（1） 方向向左（2）
【解析】（1）设人跳上车后与小车的共同速度为，根据动量守恒定律得：
取向右为正方向，即，
得出，即人跳上车后与小车的共同速度大小为，方向向左．
（2）根据动能定理，在人跳上车的过程中，人对小车做的功等于小车动能的改变量，即，代入数值计算得．
一个质量为的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为的爱斯基摩狗站在该雪橇上．狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇，其后狗又反复地跳下，追赶并跳上雪橇，狗与雪橇始终沿一条直线运动．若狗跳离雪橇时雪橇的速度为，则此时狗相对于地面的速度为（其中为狗相对于雪橇的速度），为代数和，若以雪橇运动的方向为正方向，则为正值，为负值．设狗总以速度追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计．已知的大小为，的大小为，，．
（1）求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小；
（2）求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数．
（供使用但不一定用到的对数值：，）
【答案】（1）；（2），3次
【解析】（1）设雪橇运动的方向为正方向．狗第一次跳下雪橇后雪橇的速度为，根据动量守恒定律有，狗第一次跳上雪橇时，雪橇与狗的共同速度为，则，将，，，代入得．
（2）设雪橇运动的方向为正方向，狗第次跳下雪橇后，雪橇的速度为，狗的速度为；狗第次跳上雪橇后，雪橇和狗的共同速度为，由动量守恒定律可得
第一次跳下雪橇：，
第一次跳上雪橇：
第二次跳下雪橇：，
第二次跳上雪橇：
第三次跳下雪橇：，
第三次跳上雪橇：
第四次跳下雪橇：，
此时雪橇的速度已大于狗追赶的速度，狗将不可能追上雪橇，因此狗最多能跳上雪橇次．雪橇最终速度为．
【推箱模型、传球模型】
在光滑的水平冰面上，甲、乙二人各乘一小车，两人质量相等，甲手中另持一小球．开始时甲、乙均静止，甲向正东方将球沿冰面推给乙，乙接住后又向西方回推给甲．如此推接数次后，甲又将球推出，球在冰面上向东运动，但已无法追上乙，此时甲的速度、乙的速度、球的速度v三者大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】球无法追上2的条件是，根据动量守恒定律，，故．
甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车总质量共为，乙和他的冰车总质量也是，游戏时，甲推着一个质量的箱子，和他一起以大小为的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，如图，为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住，若不计冰面的摩擦，问甲至少要以多大的速度(相对地面)将箱子推出，才能避免与乙相撞。（注意两人避免相撞的条件）
【答案】
【解析】当甲乙达到共速时，甲能避免与乙相撞，设甲推出箱子的速度为，甲乙达到共速的速度为，取甲的运动方向为正方向。甲与箱子构成的系统水平方向动量守恒，根据动量守恒定律可得：
①
甲、乙、箱子构成的系统水平方向动量守恒，根据动量守恒定律可得：
②
联立①②解得：
如图所示，人与冰车质量为，球质量为，开始均静止于光滑冰面上，现人将球以对地速度水平向右推出，球与挡板碰撞后等速率弹回，人接住球后又将球以同样的速度向右推出…如此反复，已知，试问人推球几次后将接不到球
【答案】9次
【解析】取水平向左为正方向，冰车、人、球为系统，水平方向动量守恒，由动量守恒定律：
对第一次推球过程有：
对第二次整个接、推球过程有：
对第三次整个接、推球过程有：
对第n次整个接、推球过程同理分析得：
设推球n次后恰接不到球，则，故有 代人已知条件
解得：n = 8.5， 即人推球9次后将接不到球．
如图所示，在光滑的水平面上有两辆小车，水平面上左侧有一竖直墙，在小车上坐着一个小孩，小孩与车的总质量是车质量的倍，两车从静止开始，小孩把车以相对于地面的速度推出，车与墙壁碰撞后仍以原速率返回，小孩接到车后，又把它以相对于地面的速度推出，车扳回后，小孩再把它推出，每次推出，小车相对于地面的速度大小都是，方向向左，则小孩把车总共推出多少次后，车返回时，小孩不能再接到
【答案】次
【解析】法一：对、人系统，推车过程，，系统动量守恒，设向右为正，车质量为，第一次推出车后，速度为，则有：，，第二次推出车后，速度为，有，；依此类推，第次推出车后，速度为，（为）；当时，将再不能接到，即：，，当小孩将车共推出次后，车返回时，小孩不能再接到它．
法二：由于每次车与墙作用会给与及小孩这一系统增加向右的动量，设次推出车再也接不到，对第次推车过程，依动量守恒有，，当时，即再也接不到，所以，应有．
两只小船平行逆向航行，航线邻近，当它们头尾相齐时，由每一只船上各投质量的麻袋到对面一只船上去，结果载重较小的一只船停了下来，另一只船以的速度向原方向航行，设两只船及船上的载重量各为，，问在交换麻袋前两只船的速率各为多少 （水的阻力不计）
【答案】，
【解析】（1）选取小船和从大船投过的麻袋为系统如图所示，并以小船的速度方向为正方向，依动量守恒定律有：，即………①
（2）选取大船和从小船投过的麻袋为系统，有：
即………………………….….②
（3）选取四个物体为系统，有：
即……………………….……③
联立①、②、③式中的任意两式解得：，．
如下图所示，一排人站在沿轴的水平轨道旁，原点两侧的人的序号都记为（、2、3……）。每人只有一个沙袋，一侧的每个沙袋质量为，一侧的每个沙袋质量为。一个质量为的小车以某初速度从原点出发向正方向滑行。不计轨道阻力，当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的倍（是此人的序号数），求：
（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行
（2）车上最终有大小沙袋共多少个
【答案】（1）3 ； （2）11
【解析】（1）小车在轴正方向时，设第个沙袋扔到车上后的车的速度为，则根据动量守恒定律，有：
解得：
小车反向运动的条件是： ，
所以有： ，
解得：
所以
（2）车朝负方向滑行的过程中，设第个沙袋扔到车上后［车和前面扔上的三个沙袋及现在扔上的个沙袋当作一个物体］车速为，第个沙袋扔到车上后车速度为（取向左方向为正）。由动量守恒定律，有：
所以
车不再向左滑行的条件是 ，
所以 ,
故： =9，
取时，车停止滑行，所以车上最终共有大小沙袋11个.
乙两小孩各乘一辆小车在光滑水平面上匀速相向行驶，速度均为6m/s.甲车上有质量为m=1kg的小球若干个，甲和他的车及所带小球的总质量为M1=50kg，乙和他的车总质量为M2=30kg。现为避免相撞，甲不断地将小球以相对地面16.5m/s的水平速度抛向乙，且被乙接住。假设某一次甲将小球抛出且被乙接住后刚好可保证两车不致相撞，试求此时：
（1）两车的速度各为多少？（2）甲总共抛出了多少个小球？
【解析】（1）甲、乙两小孩及两车组成的系统总动量沿甲车的运动方向，甲不断抛球、乙接球后，当甲和小车与乙和小车具有共同速度时，可保证刚好不撞。设共同速度为V，则:
M1V1－M2V1=（M1+M2）V
（2）这一过程中乙小孩及时的动量变化为:△P=30×6－30×（－1.5）=225（kg·m/s）
每一个小球被乙接收后，到最终的动量弯化为 △P1=16.5×1－1.5×1=15（kg·m/s）
故小球个数为
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知识点1 “多物多态”——“跳车模型”、“推箱模型”、“传球模型”
1．模型特点：由两个或两个以上的物体构成的系统，水平方向动量守恒，当系统内某个物体以“跳跃”、“推箱”、“传球”等改变运动状态后，系统内其它物体的运动状态也随之改变。
2．常见类型及处理方法：
①“一分为二”——开始两个物体作为一个整体以相同的速度运动，当其中一个物体以相对于地面或相对于另一个物体的速度改变运动状态后，求另一个物体的速度。
②“合二为一”——开始两个物体以不同的速度运动，通过运动两个物体合为一个整体，求物体的运动速度。
③“整体法”——不考虑系统中物体间的运动过程，只考虑开始和最末两个状态，通过动量守恒定律列式求解即可。
这类问题中，如果涉及三个物体还需要考虑避免相撞的问题，避免相撞的临界条件就是物体达到共速，且此时物体之间的距离是最短的。
【跳车模型】
质量分别为和的甲、乙二人，分别从原来静止在光滑水平面上的小车两端，以的水平速度沿相反方向先后跳到地面上。若小车的质量为，当二人跳离后，小车的运动速度为（ ）
A．，方向与甲的初速度方向相同
B．，方向与乙的初速度方向相同
C．，方向与甲的初速度方向相同
D．，方向与乙的初速度方向相同
质量是的人，以10m/s的水平速度跳上一辆迎面驶来的质量为、速度为的车上，则此后车的速度是______，方向______。
质量为的小车，以速度在光滑水平地面前进，上面站着一个质量为的人，问：当人以相对车的速度向后水平跳出后，车速度为多大
两个质量相同的小车位于同一水平光滑轨道上，A车上站着一个人，两车都静止，如图1所示。当这个人自A车跳到B车上又立即跳回A车并在A车上站稳时，下面说法中正确的是：
A．两车又都恢复到静止状态；
B．两车都在运动，它们的速率相等，方向相反；
C．两车都在运动，A车的速率大于B车的速率；
D．两车都在运动，A车的速率小于B车的速率。
如图所示，三辆完全相同的平板小车成一直线排列，静止在光滑水平面上．车上有一小孩跳到车上，接着又立即从车跳到车上．小孩跳离车和车时对地水平速度相同．他跳到车上相对车保持静止．此后（ ）
A．两车运动速率相等 B．两车运动速率相等
C．三辆车的速率关系 D．两车运动方向相同
如图5－7所示，有、两质量为的小车，在光滑水平面以相同的速率在同一直线上相对运动，车上有一质量为的人至少要以多大的速度(对地)从车跳到车上，才能避免两车相撞？
一辆车在光滑的水平面上以的速度向右运动，小车的质量为，如图所示，一质量为的人从小车右端迎面跳上小车，接触小车前的瞬间人的水平速度大小为．求：
（1）人跳上小车后，人和小车共同速度的大小和方向；
（2）人跳上小车的过程中，人对小车做的功．
一个质量为的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为的爱斯基摩狗站在该雪橇上．狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇，其后狗又反复地跳下，追赶并跳上雪橇，狗与雪橇始终沿一条直线运动．若狗跳离雪橇时雪橇的速度为，则此时狗相对于地面的速度为（其中为狗相对于雪橇的速度），为代数和，若以雪橇运动的方向为正方向，则为正值，为负值．设狗总以速度追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计．已知的大小为，的大小为，，．
（1）求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小；
（2）求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数．
（供使用但不一定用到的对数值：，）
【推箱模型、传球模型】
在光滑的水平冰面上，甲、乙二人各乘一小车，两人质量相等，甲手中另持一小球．开始时甲、乙均静止，甲向正东方将球沿冰面推给乙，乙接住后又向西方回推给甲．如此推接数次后，甲又将球推出，球在冰面上向东运动，但已无法追上乙，此时甲的速度、乙的速度、球的速度v三者大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车总质量共为，乙和他的冰车总质量也是，游戏时，甲推着一个质量的箱子，和他一起以大小为的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，如图，为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住，若不计冰面的摩擦，问甲至少要以多大的速度(相对地面)将箱子推出，才能避免与乙相撞。（注意两人避免相撞的条件）
如图所示，人与冰车质量为，球质量为，开始均静止于光滑冰面上，现人将球以对地速度水平向右推出，球与挡板碰撞后等速率弹回，人接住球后又将球以同样的速度向右推出…如此反复，已知，试问人推球几次后将接不到球
如图所示，在光滑的水平面上有两辆小车，水平面上左侧有一竖直墙，在小车上坐着一个小孩，小孩与车的总质量是车质量的倍，两车从静止开始，小孩把车以相对于地面的速度推出，车与墙壁碰撞后仍以原速率返回，小孩接到车后，又把它以相对于地面的速度推出，车扳回后，小孩再把它推出，每次推出，小车相对于地面的速度大小都是，方向向左，则小孩把车总共推出多少次后，车返回时，小孩不能再接到
两只小船平行逆向航行，航线邻近，当它们头尾相齐时，由每一只船上各投质量的麻袋到对面一只船上去，结果载重较小的一只船停了下来，另一只船以的速度向原方向航行，设两只船及船上的载重量各为，，问在交换麻袋前两只船的速率各为多少 （水的阻力不计）
如下图所示，一排人站在沿轴的水平轨道旁，原点两侧的人的序号都记为（、2、3……）。每人只有一个沙袋，一侧的每个沙袋质量为，一侧的每个沙袋质量为。一个质量为的小车以某初速度从原点出发向正方向滑行。不计轨道阻力，当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的倍（是此人的序号数），求：
（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行
（2）车上最终有大小沙袋共多少个
乙两小孩各乘一辆小车在光滑水平面上匀速相向行驶，速度均为6m/s.甲车上有质量为m=1kg的小球若干个，甲和他的车及所带小球的总质量为M1=50kg，乙和他的车总质量为M2=30kg。现为避免相撞，甲不断地将小球以相对地面16.5m/s的水平速度抛向乙，且被乙接住。假设某一次甲将小球抛出且被乙接住后刚好可保证两车不致相撞，试求此时：
（1）两车的速度各为多少？（2）甲总共抛出了多少个小球？
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