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知识点1 人船模型
1．模型特点：两个（或两个以上）物体组成的系统，在整个运动过程中任意时刻的动量守恒，这个系统在全过程中的平均动量也守恒。
2．模型中移动距离问题的分析
若一个原来静止的系统的一部分发生运动，则根据动量守恒定律可知，另一部分将向相反方向运动.
，
则:
经过时间的积累，运动的两部分经过了一段距离，同样的，有:
两部分之间的相对位移为：
3．实例分析：
人和船的相对位移是，则人的位移与船的位移分别为：
一条捕鱼小船停靠在湖边码头，小船又窄又长，一位同学想用一个卷尺粗略测定它的质量，他进行了如下操作：首先将船平行码头自由停泊，然后他轻轻从船尾上船，走到船头后停下，而后轻轻下船，用卷尺测出船后退的距离d，然后用卷尺测出船长L。已知他自身的质量为m，则渔船的质量为（ ）
A． B． C． D．
在结冰的光滑湖面上，靠近岸边有一个质量为的静止长木板，木板的长边与湖岸垂直．一质量为的人站在木板上，立足点距岸边，若此人朝岸边方向在木板上匀加速行走了，则人离岸边的距离变为
如图所示，人在平板车上用水平恒力拉绳使重物能逐渐靠近自己，人相对车始终不动，重物与平板车之间、平板车与地面之间均无摩擦。设开始拉重物时车和重物都是静止的，车和人的总质量 ，重物的质量，拉力，重物在车上向人靠近了，求：
（1）车在地面上移动的距离；
（2）这时车和重物的速度。
在距离地面高处的气球上站有一人，人和气球的质量分别为和，开始两者均静止，人要沿绳安全的滑到地面上，绳至少多长？
某人在一只静止的小船上练习射击，船、人连同枪（不包括子弹）及靶的总质量为，枪内装有颗子弹，每颗子弹的质量均为，枪口到靶的距离为，子弹水平射出枪口时相对于地的速度为．在发射后一颗子弹时，前一颗子弹已射入靶中，在发射完颗子弹时，小船后退的距离等于（ ）
A．0 B． C． D．
小车静止在光滑水平面上，站在车上的人练习打靶，靶装在车上的另一端，如图所示．已知车、人、枪和靶的总质量为（不含子弹），每颗子弹质量为，共发，打靶时，枪口到靶的距离为．若每发子弹打入靶中，就留在靶里，且待前一发打入靶中后，再打下一发．则以下说法正确的是（ ）
A．待打完发子弹后，小车将以一定速度向右匀速运动
B．待打完发子弹后，小车应停在射击之前位置的右方
C．在每一发子弹的射击过程中，小车所发生的位移相同，大小均为
D．在每一发子弹的射击过程中，小车所发生的位移不相同，应越来越大
某人在一只静止的小船上练习射击。已知船、人连同枪(不包括子弹)及靶的总质量为，枪内装有颗子弹，每颗子弹的质量为，枪口到靶的距离为，子弹飞出枪口时相对于地面的速度为。若在发射后一颗子弹时，前一颗子弹已陷入固定在船上的靶中，不计水对船的阻力。问：
（1）射出第一颗子弹时，船的速度多大，
（2）发射第颗子弹时，船的速度多大
（3）发射完颗子弹后，船一共能向后移动多少距离
知识点2 类似模型
与人船模型类似的还有以下三种模型：
以上三种模型除了利用人船模型的相关结论外，还需要结合机械能守恒共同解题
在光滑水平面上有一质量为的斜劈，斜劈斜面与水平面的夹角为，斜面长为，斜劈的顶端有一质量为的小球，当小球滑到斜劈的低端时，求斜劈后退的距离。
质量为M的斜面体B置于光滑的水平地面上，斜面体底边长为b,在其斜面上放有一质量为m的与斜面体相似的物块，其上边长为a，且与水平面平行.系统处于静止状态，如下图所示.在物块A从B的顶端下滑到接触地面的过程中，斜面体B后退的距离为( )
A． B． C． D．
如图所示，半圆槽M置于光滑的水平面上.现从半圆槽左端入口处静止释放一质量为m的小球，则小球释放后，以下说法中正确的是
A．若圆弧面光滑，则系统动量守恒
B．若圆弧面光滑，则小球能滑至半圆槽左端入口处
C．若圆弧面不光滑，则小球不能滑至半圆槽左端入口处，且小球到达最左端时，系统有向右的速度
D．若圆弧面不光滑，则小球不能滑至半圆槽左端入口处，但小球到达最左端时，系统速度为零
如图所示，位于竖直面内的半圆形光滑凹槽放在光滑的水平面上，小滑块从凹槽边缘点由静止释放，经最低点向上到达另一侧边缘点．把小滑块从点到达点称为过程I，从点到达点称为过程Ⅱ，则（ ）
A．过程I中小滑块与凹槽组成的系统水平方向动量守恒
B．过程I中小滑块对凹槽做正功
C．过程Ⅱ中小滑块与凹槽组成的系统机械能守恒
D．过程Ⅱ中小滑块与凹槽组成的系统机械能不守恒
如下图所示，光滑半圆槽质量为M，静止在光滑的水平面上，其内表面有一小球被细线吊着恰好位于槽的边缘处。若将线烧断，小球滑到另一边的最高点时，圆槽的速度为
A.零 B.向右 C.向左 D.不能确定
如图所示，、两物体彼此接触静放在光滑的桌面上，物体的上表面是半径为的光滑半圆形轨道，物体由静止开始从点下滑，设三个物体质量均为，刚滑到最低点时的速率为，则（ ）
A．和不会出现分离现象
B．当第一次滑到最低点时，和开始分离
C．当滑到左侧最高点时，的速度为，方向向左
D．最后将在桌面左边滑出
如图所示，A和B并排放在光滑的水平面上，A上有一光滑的半径为R的半圆轨道，半圆轨道右侧顶点有一小物体C，C由顶点自由滑下，设A、B、C的质量均为m．求：
（1）A、B分离时B的速度多大？
（2）C由顶点滑下到沿轨道上升至最高点的过程中做的功是多少？
如图所示，为一光滑水平横杆，杆上套一质量为的小圆环，环上系一长为质量不计的细绳，绳的另一端拴一质量为的小球，现将绳拉直，且与平行，由静止释放小球，则当线绳与成角时，圆环移动的距离是多少？
如图所示，在光滑、固定的水平杆上套着一个光滑的滑环，滑环下通过一根不可伸长的轻绳悬吊一重物，轻绳长为，将滑环固定在水平杆上，给一个水平冲量作用，使摆动，且恰好刚碰到水平杆．问：
（1）在摆动过程中，滑环对水平杆的压力的最大值是多少？
（2）若滑环不固定，仍给以同样大小的冲量作用，则摆起的最大高度为多少？
如图所示，质量为的天车静止在光滑水平轨道上，下面用长为的细线悬挂着质量为的沙箱，一颗质量为的子弹以的水平速度射入沙箱，并留在其中，在以后运动过程中，求：
（1）沙箱上升的最大高度．
（2）天车的最大速度，
图中滑块和小球的质量均为，滑块可在水平放置的光滑固定导轨上自由滑动，小球与滑块上的悬点由一不可伸长的轻绳相连，轻绳长为．开始时，轻绳处于水平拉直状态，小球和滑块均静止．现将小球由静止释放，当小球到达最低点时，滑块刚好被一表面涂有粘性物质的固定挡板粘住，在极短的时间内速度减为零，小球继续向左摆动，当轻绳与竖直方向的夹角时小球达到最高点．求
（1）从滑块与挡板接触到速度刚好变为零的过程中，挡板阻力对滑块的冲量；
（2）小球从释放到第一次到达最低点的过程中，绳的拉力对小球做功的大小．
柴油打桩机的重锤由气缸、活塞等若干部件组成，气缸与活塞间有柴油与空气的混合物．在重锤与桩碰撞的过程中，通过压缩使混合物燃烧，产生高温高压气体，从而使桩向下运动，锤向上运动．现把柴油打桩机和打桩过程简化如下：柴油打桩机重锤的质量为，锤在桩帽以上高度为处（如图甲）从静止开始沿竖直轨道自由落下，打在质量为（包括桩帽）的钢筋混凝土桩子上．同时，柴油燃烧，产生猛烈推力，锤和桩分离，这一过程的时间极短．随后，桩在泥土中向下移动一段距离．已知锤反跳后到达最高点时，锤与已停下的桩帽之间的距离也为（如图乙）．已知，，，，重力加速度取，混合物的质量不计．设桩向下移动的过程中泥土对桩的作用力是恒力，求此力的大小．（参考数据：）
如图所示，光滑水平桌面上有底长的木框，质量，在其正中央并排放着两个小滑块和，，，开始时三物体都静止，在间放有少量塑料炸药，爆炸后以速度水平向左运动，中任一块与挡板碰后都粘在一起，不计摩擦和碰撞时间，求：
（1）当两滑块都与挡板碰撞后，的速度为多大
（2）到都与挡板碰撞为止，的位移为多少 （滑块十分小，可视为质点）
如图所示，质量均为和两个弹性小球，用长为的不可伸长的轻绳连接．现把 两球置于距地面高处（足够大），间距为．当球自由下落的同时，将球以速度指向球水平抛出．求：
（1）两球从开始运动到相碰，球下落的高度；
（2）两球碰撞（碰撞时无机械能损失）后，各自速度的水平分量；
（3）轻绳拉直过程中，球受到绳子拉力的冲量大小．
如图所示，质量M=2kg的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m=1kg的小球通过长L=0.5m的轻质细杆与滑块上的光滑轴O连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕O轴自由转动。开始轻杆处于水平状态。现给小球一个竖直向上的初速度v0=4m/s，g取10m/s2。
若锁定滑块，试求小球通过最高点P时对轻杆的作用力大小和方向。
若解除对滑块的锁定，试求小球通过最高点时的速度大小。
在满足⑵的条件下，试求小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离
如图甲所示，三个物体A、B、C静止放在光滑水平面上，物体A、B用一轻质弹簧连接，并用细线拴连使弹簧处于压缩状态，此时弹簧长度L=0.1m；三个物体的质量分别为mA=0.1kg、mB=0.2kg和mC=0.1kg。现将细线烧断，物体A、B在弹簧弹力作用下做往复运动（运动过程中物体A不会碰到物体C）。若此过程中弹簧始终在弹性限度内，并设以向右为正方向，从细线烧断后开始计时，物体A的速度 时间图象如图18乙所示。求：
（1）物体B运动速度的最大值；
（2）从细线烧断到弹簧第一次伸长到L1=0.4m时，物体B运动的位移大小；
（3）若在某时刻使物体C以vC=4m/s的速度向右运动，它将与正在做往复运动的物体A发生碰撞，并立即结合在一起，试求在以后的运动过程中，弹簧可能具有的最大弹性势能的取值范围。
3 / 11中小学教育资源及组卷应用平台
知识点1 人船模型
1．模型特点：两个（或两个以上）物体组成的系统，在整个运动过程中任意时刻的动量守恒，这个系统在全过程中的平均动量也守恒。
2．模型中移动距离问题的分析
若一个原来静止的系统的一部分发生运动，则根据动量守恒定律可知，另一部分将向相反方向运动.
，
则:
经过时间的积累，运动的两部分经过了一段距离，同样的，有:
两部分之间的相对位移为：
3．实例分析：
人和船的相对位移是，则人的位移与船的位移分别为：
一条捕鱼小船停靠在湖边码头，小船又窄又长，一位同学想用一个卷尺粗略测定它的质量，他进行了如下操作：首先将船平行码头自由停泊，然后他轻轻从船尾上船，走到船头后停下，而后轻轻下船，用卷尺测出船后退的距离d，然后用卷尺测出船长L。已知他自身的质量为m，则渔船的质量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，设该同学在时间内从船尾走到船头，由动量守恒定律知，人、船在该时间内的平均动量大小相等，即，又，得，故B正确。
在结冰的光滑湖面上，靠近岸边有一个质量为的静止长木板，木板的长边与湖岸垂直．一质量为的人站在木板上，立足点距岸边，若此人朝岸边方向在木板上匀加速行走了，则人离岸边的距离变为
【答案】
【解析】此题为人船模型，人相对于岸边的位移为，所以人距岸边
如图所示，人在平板车上用水平恒力拉绳使重物能逐渐靠近自己，人相对车始终不动，重物与平板车之间、平板车与地面之间均无摩擦。设开始拉重物时车和重物都是静止的，车和人的总质量 ，重物的质量，拉力，重物在车上向人靠近了，求：
（1）车在地面上移动的距离；
（2）这时车和重物的速度。
【解析】（1）设重物在车上向人靠近时，车在地面上移动的距离为，依题意有：
解得：
（2）人和车的加速度为：
则人和车在地面上移动时的速度为：
设此时物体的对地速度为，根据得：
【答案】（1） （2）
在距离地面高处的气球上站有一人，人和气球的质量分别为和，开始两者均静止，人要沿绳安全的滑到地面上，绳至少多长？
【答案】
【解析】人和气球两者在竖直方向上满足动量守恒，人滑到地面相对地的位移为，设球上升的高度为，绳长至少为，则由人船模型特征得：，则有：
。
所以绳子长至少为： 。
某人在一只静止的小船上练习射击，船、人连同枪（不包括子弹）及靶的总质量为，枪内装有颗子弹，每颗子弹的质量均为，枪口到靶的距离为，子弹水平射出枪口时相对于地的速度为．在发射后一颗子弹时，前一颗子弹已射入靶中，在发射完颗子弹时，小船后退的距离等于（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】系统（包括子弹、枪、人及船）动量守恒，发射后一颗子弹时，前一颗子弹已射入靶中，说明发射后一颗子弹时船已停止．每发射一颗子弹，船后退一段距离．每发一颗子弹时，子弹动量大小为，和剩余子弹的动量大小是．则由动量守恒定律得
设每发射一颗子弹，船后退，则子弹相对于地面运动的距离是，故有
，可得
共发射颗子弹，船后退的总距离是．
另解：对全过程使用动量守恒定律，将所有子弹视为人，其余部分视为船，应用人船模型的结论，直接得到．
小车静止在光滑水平面上，站在车上的人练习打靶，靶装在车上的另一端，如图所示．已知车、人、枪和靶的总质量为（不含子弹），每颗子弹质量为，共发，打靶时，枪口到靶的距离为．若每发子弹打入靶中，就留在靶里，且待前一发打入靶中后，再打下一发．则以下说法正确的是（ ）
A．待打完发子弹后，小车将以一定速度向右匀速运动
B．待打完发子弹后，小车应停在射击之前位置的右方
C．在每一发子弹的射击过程中，小车所发生的位移相同，大小均为
D．在每一发子弹的射击过程中，小车所发生的位移不相同，应越来越大
【答案】BC
【解析】由，，得到每打一发子弹，小车的位移
．也可直接应用人船模型的结论得到．
某人在一只静止的小船上练习射击。已知船、人连同枪(不包括子弹)及靶的总质量为，枪内装有颗子弹，每颗子弹的质量为，枪口到靶的距离为，子弹飞出枪口时相对于地面的速度为。若在发射后一颗子弹时，前一颗子弹已陷入固定在船上的靶中，不计水对船的阻力。问：
（1）射出第一颗子弹时，船的速度多大，
（2）发射第颗子弹时，船的速度多大
（3）发射完颗子弹后，船一共能向后移动多少距离
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）射出第一颗子弹时，设船的速度为，由动量守恒定律得：
解得：
（2）每射出一颗子弹的过程，系统的动量均守恒，而每一颗子弹进入靶中后，船的速度将为零，故每一颗子弹射出时，船后退的速度是相同的，即
（3）每发射一颗子弹的过程实际上经历了三个阶段：第一阶段是击发到子弹射出枪瞠为止；第二个阶段是子弹在空中飞行的阶段；第三个阶段是子弹从击中靶子到静止为止。三个阶段都遵从动量守恒定律，第一、第三阶段历时很短，故这两个阶段船的移动可忽略．因此每发射一颗子弹的过程，只在第二阶段船向后移动。每发射完一颗子弹后船向移动的距离根据人船模型特征可知：
发射完颗子弹后小船总共后退的距离为：
知识点2 类似模型
与人船模型类似的还有以下三种模型：
以上三种模型除了利用人船模型的相关结论外，还需要结合机械能守恒共同解题
在光滑水平面上有一质量为的斜劈，斜劈斜面与水平面的夹角为，斜面长为，斜劈的顶端有一质量为的小球，当小球滑到斜劈的低端时，求斜劈后退的距离。
【答案】
【解析】小球和斜劈两者组成的系统在水平方向上满足动量守恒，斜劈斜面长在水平方向的投影。
由人船模型特点得斜劈后退的距离为：。
质量为M的斜面体B置于光滑的水平地面上，斜面体底边长为b,在其斜面上放有一质量为m的与斜面体相似的物块，其上边长为a，且与水平面平行.系统处于静止状态，如下图所示.在物块A从B的顶端下滑到接触地面的过程中，斜面体B后退的距离为( )
A． B． C． D．
【答案】C
如图所示，半圆槽M置于光滑的水平面上.现从半圆槽左端入口处静止释放一质量为m的小球，则小球释放后，以下说法中正确的是
A．若圆弧面光滑，则系统动量守恒
B．若圆弧面光滑，则小球能滑至半圆槽左端入口处
C．若圆弧面不光滑，则小球不能滑至半圆槽左端入口处，且小球到达最左端时，系统有向右的速度
D．若圆弧面不光滑，则小球不能滑至半圆槽左端入口处，但小球到达最左端时，系统速度为零
【答案】BD
【解析】无论槽是否光滑，这一过程系统竖直方向的动量都不守恒，而水平方向上系统的动量守恒。当弧面光滑时，系统机械能守恒。设小球释放后到达槽的最右端的高度为，共同速度为，根据动量守恒定律有：
①
根据机械能守恒定律有：
②
联立①②解得： ；
如图所示，位于竖直面内的半圆形光滑凹槽放在光滑的水平面上，小滑块从凹槽边缘点由静止释放，经最低点向上到达另一侧边缘点．把小滑块从点到达点称为过程I，从点到达点称为过程Ⅱ，则（ ）
A．过程I中小滑块与凹槽组成的系统水平方向动量守恒
B．过程I中小滑块对凹槽做正功
C．过程Ⅱ中小滑块与凹槽组成的系统机械能守恒
D．过程Ⅱ中小滑块与凹槽组成的系统机械能不守恒
【答案】ABC
如下图所示，光滑半圆槽质量为M，静止在光滑的水平面上，其内表面有一小球被细线吊着恰好位于槽的边缘处。若将线烧断，小球滑到另一边的最高点时，圆槽的速度为
A.零 B.向右 C.向左 D.不能确定
【答案】A
如图所示，、两物体彼此接触静放在光滑的桌面上，物体的上表面是半径为的光滑半圆形轨道，物体由静止开始从点下滑，设三个物体质量均为，刚滑到最低点时的速率为，则（ ）
A．和不会出现分离现象
B．当第一次滑到最低点时，和开始分离
C．当滑到左侧最高点时，的速度为，方向向左
D．最后将在桌面左边滑出
【答案】BCD
【解析】小球从点下滑到最低点的过程中，以三个物体为系统，总动量的水平分量守恒，竖直方向上动量不守恒，所以有
∴
球滑到最低点后将以速度向右做匀速运动，而球在上继续向左滑动对产生一个向左下方的作用力，这个力的水平分力将使向右做减速运动，所以、此后将分离，B正确．
在上继续向左滑动时，以、为系统，总动量的水平分量应守恒，所以有，设向左为正，则有，∴，说明向左，C正确．
滑到最低点后，、系统总动量向左，经过一段时间的积累，这个系统必定有一个向左的位移，积累到一定时间将在桌子左边滑出，D正确．
如图所示，A和B并排放在光滑的水平面上，A上有一光滑的半径为R的半圆轨道，半圆轨道右侧顶点有一小物体C，C由顶点自由滑下，设A、B、C的质量均为m．求：
（1）A、B分离时B的速度多大？
（2）C由顶点滑下到沿轨道上升至最高点的过程中做的功是多少？
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）对A、B、C组成的系统，它们在水平向上所受外力零，系统在水平方向上动量守恒，则
①
又系统内仅有重力弹力做功，机械能守恒，有：
②
联立①②解得：，，即分离时B的速度为。
（2）当C上升到最高点时，C与A有共同速度，对A、B、C系统，由动量守恒定律得：
解得：
所以
如图所示，为一光滑水平横杆，杆上套一质量为的小圆环，环上系一长为质量不计的细绳，绳的另一端拴一质量为的小球，现将绳拉直，且与平行，由静止释放小球，则当线绳与成角时，圆环移动的距离是多少？
【答案】
【解析】虽然小球、细绳及圆环在运动过程中合外力不为零（杆的支持力与两圆环及小球的重力之和不相等）系统动量不守恒，但是系统在水平方向不受外力，因而水平动量守恒。设细绳与成角时小球的水平速度为，圆环的水平速度为，则由水平动量守恒有：
且在任意时刻或位置与均满足这一关系，加之时间相同，公式中的和分别用其水平位移替代，则上式可写为：
解得圆环移动的距离：
如图所示，在光滑、固定的水平杆上套着一个光滑的滑环，滑环下通过一根不可伸长的轻绳悬吊一重物，轻绳长为，将滑环固定在水平杆上，给一个水平冲量作用，使摆动，且恰好刚碰到水平杆．问：
（1）在摆动过程中，滑环对水平杆的压力的最大值是多少？
（2）若滑环不固定，仍给以同样大小的冲量作用，则摆起的最大高度为多少？
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由机械能守恒得
通过最低点时绳拉力最大，，所以．
再对滑环进行受力分析知，水平杆对滑环的支持力．
由牛顿第三定律得滑环对水平杆的压力的最大值是．
（2）不固定时，由机械能守恒得的初速度，设摆起的最大高度为，则
水平方向动量守恒
解得，所以．
如图所示，质量为的天车静止在光滑水平轨道上，下面用长为的细线悬挂着质量为的沙箱，一颗质量为的子弹以的水平速度射入沙箱，并留在其中，在以后运动过程中，求：
（1）沙箱上升的最大高度．
（2）天车的最大速度，
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）子弹打入沙箱过程中动量守恒，由动量守恒定律可得：
①
摆动过程中，子弹、沙箱、天车系统水平方向动量守恒，机械能守恒。沙箱到达最大高度时，系统达到共速，设此时的速度为，根据动量守恒定律可得：
②
根据机械能守恒定律可得：
③
联立①②③可解得沙箱上升的最大高度为：
（2）子弹和沙箱再摆回最低点时，天车速度最大，设此时天车速度为，沙箱速度为，由动量守恒定律可得：
④
由系统机械能守恒定律可得：
⑤
联立④⑤求得天车的最大速度为：
图中滑块和小球的质量均为，滑块可在水平放置的光滑固定导轨上自由滑动，小球与滑块上的悬点由一不可伸长的轻绳相连，轻绳长为．开始时，轻绳处于水平拉直状态，小球和滑块均静止．现将小球由静止释放，当小球到达最低点时，滑块刚好被一表面涂有粘性物质的固定挡板粘住，在极短的时间内速度减为零，小球继续向左摆动，当轻绳与竖直方向的夹角时小球达到最高点．求
（1）从滑块与挡板接触到速度刚好变为零的过程中，挡板阻力对滑块的冲量；
（2）小球从释放到第一次到达最低点的过程中，绳的拉力对小球做功的大小．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解法一：设水平向右为正方向，滑块与小球组成的系统在水平方向上动量守恒
小球摆到最低点时，设滑块和小球的速度分别为和，则有
小球下摆过程中在滑块与固定挡板粘住之前，系统机械能守恒，则有
滑块与挡板相撞过程中根据动量定理得
解得
解法二：设小球第一次到达最低点时，滑块和小球速度的大小分别为，由机械守恒定律得
小球由最低点向左摆动到最高点时，由机械能守恒定律得
解得
设所求的挡板阻力对滑块的冲量为，规定动量方向向右为正，有
解得
（2）小球从开始释放到第一次到达最低点的过程中，设绳的拉力对小球做功为，由动能定理得，，因此
小球从释放到第一次到达最低点的过程中，绳的拉力对小球做功的大小为
柴油打桩机的重锤由气缸、活塞等若干部件组成，气缸与活塞间有柴油与空气的混合物．在重锤与桩碰撞的过程中，通过压缩使混合物燃烧，产生高温高压气体，从而使桩向下运动，锤向上运动．现把柴油打桩机和打桩过程简化如下：柴油打桩机重锤的质量为，锤在桩帽以上高度为处（如图甲）从静止开始沿竖直轨道自由落下，打在质量为（包括桩帽）的钢筋混凝土桩子上．同时，柴油燃烧，产生猛烈推力，锤和桩分离，这一过程的时间极短．随后，桩在泥土中向下移动一段距离．已知锤反跳后到达最高点时，锤与已停下的桩帽之间的距离也为（如图乙）．已知，，，，重力加速度取，混合物的质量不计．设桩向下移动的过程中泥土对桩的作用力是恒力，求此力的大小．（参考数据：）
【答案】
【解析】锤自由下落，碰桩前速度，方向向下，
碰后，已知锤上升高度为（），故刚碰后向上的速度为
设碰后桩的速度为，方向向下，由动量守恒得
在桩下降的过程中，根据功能关系得
由以上各式得
代入数据，得．
如图所示，光滑水平桌面上有底长的木框，质量，在其正中央并排放着两个小滑块和，，，开始时三物体都静止，在间放有少量塑料炸药，爆炸后以速度水平向左运动，中任一块与挡板碰后都粘在一起，不计摩擦和碰撞时间，求：
（1）当两滑块都与挡板碰撞后，的速度为多大
（2）到都与挡板碰撞为止，的位移为多少 （滑块十分小，可视为质点）
【答案】，
【解析】（1）由组成的系统，水平方向上动量守恒．设与相碰后速度为，则由动量守恒定律，即．
（2）设向左方为正方向，研究由组成的系统，设分开后的速度为，则由动量守恒定律得，（负号表示滑块向右运动）．由于，所以先与相碰，设经过时间为，则有．相遇，相遇后粘合在一起速度为，由组成的系统动量守恒：，．
此时向右运动距离为．
此时与相距为．
故，．
所以在该时间内向左运动距离为．
如图所示，质量均为和两个弹性小球，用长为的不可伸长的轻绳连接．现把 两球置于距地面高处（足够大），间距为．当球自由下落的同时，将球以速度指向球水平抛出．求：
（1）两球从开始运动到相碰，球下落的高度；
（2）两球碰撞（碰撞时无机械能损失）后，各自速度的水平分量；
（3）轻绳拉直过程中，球受到绳子拉力的冲量大小．
【答案】（1）；（2），；（3）
【解析】（1）设球下落的高度为
……………………. ①
…………………. ②
联立①②得………③
（2）由水平方向动量守恒得………………………④
由机械能守恒得：………⑤
式中，，．
联立④⑤得，．
（3）由水平方向动量守恒得，．
如图所示，质量M=2kg的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m=1kg的小球通过长L=0.5m的轻质细杆与滑块上的光滑轴O连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕O轴自由转动。开始轻杆处于水平状态。现给小球一个竖直向上的初速度v0=4m/s，g取10m/s2。
若锁定滑块，试求小球通过最高点P时对轻杆的作用力大小和方向。
若解除对滑块的锁定，试求小球通过最高点时的速度大小。
在满足⑵的条件下，试求小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离
【解析】（1）设小球能通过最高点，且此时的速度为v1。在上升过程中，因只有重力做功，小球的机械能守恒。则mv12＋mgL＝mv02，则v1＝m/s
设小球到达最高点时，轻杆对小球的作用力为F，方向向下，则F＋mg＝m
联立解得F＝2N，由牛顿第三定律可知，小球对轻杆的作用力大小为2N，方向竖直向上。
（2）解除锁定后，设小球通过最高点时的速度为v2，此时滑块的速度为V。在上升过程中，因系统在水平方向上不受外力作用，水平方向的动量守恒。以水平向右的方向为正方向，有
mv2＋MV＝0
在上升过程中，因只有重力做功，系统的机械能守恒，则
mv22＋MV2＋mgL＝mv02，联立解得v2=2m/s
（3）设小球击中滑块右侧轨道的位置点与小球起始点的距离为s1，滑块向左移动的距离为s2，任意时刻小球的水平速度大小为v3，滑块的速度大小为V/。由系统水平方向的动量守恒，得
mv3－MV′＝0，两边同乘以△t，得mv3△t－MV′△t＝0，故对任意时刻附近的微小间隔△t都成立，累积相加后，有ms1－Ms2＝0，又s1＋s2＝2L，得s1＝m
如图甲所示，三个物体A、B、C静止放在光滑水平面上，物体A、B用一轻质弹簧连接，并用细线拴连使弹簧处于压缩状态，此时弹簧长度L=0.1m；三个物体的质量分别为mA=0.1kg、mB=0.2kg和mC=0.1kg。现将细线烧断，物体A、B在弹簧弹力作用下做往复运动（运动过程中物体A不会碰到物体C）。若此过程中弹簧始终在弹性限度内，并设以向右为正方向，从细线烧断后开始计时，物体A的速度 时间图象如图18乙所示。求：
（1）物体B运动速度的最大值；
（2）从细线烧断到弹簧第一次伸长到L1=0.4m时，物体B运动的位移大小；
（3）若在某时刻使物体C以vC=4m/s的速度向右运动，它将与正在做往复运动的物体A发生碰撞，并立即结合在一起，试求在以后的运动过程中，弹簧可能具有的最大弹性势能的取值范围。
【解析】（1）对于物体A、B与轻质弹簧组成的系统，当烧断细线后动量守恒，设物体B运动的最大速度为vB，有
mAvA+mBvB=0
vB=-=-
由图乙可知，当t=时，物体A的速度vA达到最大，vA=-4m/s
则vB=2m/s
即物体B运动的最大速度为2m/s
（2）设A、B的位移大小分别为xA、xB，瞬时速度的大小分别为vA、vB
由于系统动量守恒，则在任何时刻有 mAvA-mBvB=0
则在极短的时间Δt内有 mAvAΔt-mBvBΔt=0
mAvAΔt=mBvBΔt
累加求和得： mA∑vAΔt=mB∑vBΔt
mAxA=mBxB
xB=xA=xA
依题意 xA+xB=L1- L
解得 xB=0.1m
（3）因水平方向系统不受外力，故系统动量守恒，因此，不论A、C两物体何时何处相碰，三物体速度相同时的速度是一个定值，总动能也是一个定值，且三个物体速度相同时具有最大弹性势能。
设三个物体速度相同时的速度为v共
依据动量守恒定律有mCvC=（mA＋mB＋mC）v共， 解得v共 ＝1m/s
当A在运动过程中速度为4m/s且与C同向时，跟C相碰，A、C相碰后速度v1= vA= vC，设此过程中具有的最大弹性势能为E1
由能量守恒 E1=（mA＋mC）v12 +mB–（mA＋mB＋mC）=1.8J
当A在运动过程中速度为-4m/s时，跟C相碰，设A、C相碰后速度为v2，由动量守恒
mC vC–mA vA＝（mA + mC）v2， 解得v2=0
设此过程中具有的最大弹性势能设为E2
由能量守恒 E2=（mA＋mC）v22＋mBvB2–（mA＋mB＋mC）v共2＝0.2J
由上可得：弹簧具有的最大弹性势能Epm的可能值的范围：0.2J≤Epm<1.8J。
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