中小学教育资源及组卷应用平台
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弹簧模型
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知识框架
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知识讲解
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知识点1 弹簧模型
（1）弹簧类问题多以轻质弹簧为载体，物理情景较复杂，考查物体的平衡、牛顿运动定律、能的转化与守恒等知识．
（2）力的观点：某时刻弹簧提供的弹力与其形变量相关，可运动牛顿运动定律求解．
（3）能量观点：弹性势能与其它形式的能量发生转化，根据能量的转化与守恒定律可求解弹性势能
大小、弹力做功大小等．
（4）举例：物体以速度向运动，左端固定一轻弹簧静止在光滑的水平面上，如图所示．试分析 与相互作用过程中弹簧再次恢复原长时，的速度特点．
在弹簧刚开始被压缩的过程中，受到弹簧的弹力向右做加速运动，受到弹簧的阻力做减速运动，开始时的速度大于的速度，弹簧一直在被压缩，直至的速度相等，即弹簧缩短到最短，此时弹簧的弹性势能最大．此后由于继续减速，继续加速，的速度开始大于的速度，弹簧开始伸长．当弹簧恢复至原长时，弹性势能为零，的速度减至最小，此后弹簧继续伸长，开始加速，开始减速，当弹簧伸长至最长时，的速度相等，弹簧的弹性势能最大．此后开始加速，继续减速，弹簧缩短直至原长．在弹簧处于原长时：
，则最终都向右运动；
，交换速度，即的速度为零，的速度为；
，反向弹回，向右运动．
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随堂练习
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在足够大的光滑水平面上放有两物块和，已知，物块连接一个轻弹簧并处于静止状态，物体以初速度向着物块运动．在物块与弹簧作用过程中，两物块在同一条直线上运动，下列判断正确的是
A．弹簧恢复原长时，物块的速度为零
B．弹簧恢复原长时，物块的速度不为零，且方向向右
C．在弹簧压缩过程中，物块动能先减小后增大
D．在与弹簧相互作用的整个过程中，物块的动能先减小后增大
如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块和都可视作质点，质量相等。与轻质弹簧相连。设静止，以某一初动能向运动并与弹簧发生碰撞。在整个碰撞过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于
A． B． C． D．
如上图所示，水平轻弹簧与物体A和B相连，放在光滑水平面上，处于静止状态，物体A的质量为m，物体B的质量为M，且M> m。现用大小相等的水平恒力F1、F2拉A和B，从它们开始运动到弹簧第一次最长的过程中（ ）
A．因M>m，所以B的动量大于A的动量 B．A的动能最大时，B的动能也最大
C．F1和F2做的总功为零 D．弹簧第一次最长时A和B总动能最大
如图，两物体A、B用轻质弹簧相连，静止在光滑水平面上，现同时对A、B两物体施加等大反向的水平恒力F1、F2使A、B同时由静止开始运动，在弹簧由原长伸到最长的过程中，对A、B两物体及弹簧组成的系统，正确的说法是（ ）
A．A、B先作变加速运动，当F1、F2和弹力相等时，A、B的速度最大；之后，A、B作变减速运动，直至速度减到零
B．当A、B作变减速运动速度减为零时，弹簧伸长最长，系统的机械能最大
C．因F1、F2等值反向，故系统的机械能守恒
D．因F1、F2等值反向，故系统的动量守恒
如图所示，一劲度系数为k的轻弹簧左端固定在长木板M的左端，右端与小物块m连接，且M、m及M与水平地面间接触均光滑．开始时，m和M均静止，现同时对m、M施加等大反向的水平恒力F1和F2，F1=F2=F．设整个过程中弹簧的形变不超过弹性限度，m未滑离M．求：
(1)当长木板M的位移为L时，M、m及弹簧组成的系统具有的机械能是多少？
(2)如长木板M的位移L是未知的，则当L是多少时，由M、m及弹簧组成的系统具有的机械能最大．这时系统具有的机械能是多少？
如图所示，在光滑的水平面上，物体原来静止，在物体上固定一个轻弹簧，物体以某一速度沿水平方向向右运动，通过弹簧与物体发生作用，若两物体的质量相等，在作用过程中弹簧获得的最大弹性势能为；现将的质量加倍，再使物体以同样的速度通过弹簧与物体发生作用（作用前物体仍静止），在作用过程中弹簧获得的最大弹性势能为，那么（ ）
A． B．
C． D．
如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为和的两物块、相连接，并静止在光滑的水平面上．现使瞬时获得水平向右的速度，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图象信息可得
A．在、时刻两物块达到共同速度，且弹簧都是处于压缩状态
B．从到时刻弹簧由压缩状态恢复到原长
C．两物体的质量之比为
D．在时刻与的动能之比为
两个完全相同的质量均为的滑块和，放在光滑水平面上，滑块与轻弹簧相连，弹簧另一端固定在墙上，当滑块以的初速度向滑块运动时，如图所示，碰后不再分开，下述正确的是（ ）
A．弹簧最大弹性势能为
B．弹簧最大弹性势能为
C．两滑块相碰以及以后一起运动系统机械能守恒
D．两滑块相碰以及以后一起运动中，系统动量守恒
质量为m的物块甲以3m/s的速度在光滑水平面上运动，有一轻弹簧固定其上，另一质量也为m的物体乙以4m/s的速度与甲相向运动，如图所示。则（ ）
A．甲、乙两物块在弹簧压缩过程中，由于弹力作用，动量不守恒
B．当两物块相距最近时，甲物块的速率为零
C．当甲物块的速率为1m/s时，乙物块的速率可能为2m/s，也可能为0
D．甲物块的速率可能达到5m/s
如图7所示，在光滑的水平面上，物体B静止，在物体B上固定一个轻弹簧。物体A以某一速度沿水平方向向右运动，通过弹簧与物体B发生作用。两物体的质量相等，作用过程中，弹簧获得的最大弹性热能为EP。现将B的质量加倍，再使物体A通过弹簧与物体B发生作用（作用前物体B仍静止），作用过程中，弹簧获得的最大弹性势能仍为EP。则在物体A开始接触弹簧到弹簧具有最大弹性势能的过程中，第一次和第二次相比（ ）
A．物体A的初动能之比为2 : 1 B．物体A的初动能之比为4 : 3
C．物体A损失的动能之比为1 : 1 D．物体A损失的动能之比为27 : 32
如图所示，车质量为，沿光滑水平面以速度向质量为的静止的车运动，车撞上车后面的弹簧将弹簧压缩并与弹簧的左端连接在一起，求在此后的运动过程中：
（1）弹簧的最大弹性势能；
（2）车的最大速度．
如图所示，一轻质弹簧两端各连接一质量均为的滑块和，两滑块都置于光滑水平面上。今有质量为的子弹以水平速度射入中不再穿出，试分析滑块在什么时候具有最大动能，其值为多少？
如图所示，光滑轨道上，小车、用轻弹簧连接，将弹簧压缩后用细绳系在、上．然后使、以速度沿轨道向右运动，运动中细绳突然断开，当弹簧第一次恢复到自然长度时，的速度刚好为0，已知、的质量分别为、，且。求：
（1）被压缩的弹簧具有的弹性势能；
（2）试定量分析、讨论在以后的运动过程中，小车有无速度为0的时刻？
在光滑水平面上放两个小球和，球和一根水平轻弹簧相连接，如图11-3所示。小球以初动能向静止的球方向运动，将轻弹簧压缩，若弹簧压缩的最大弹性势能等于，求、两球的质量之比是多少？
如图所示，在足够长的光滑水平轨道上静止三个小木块A，B，C，质量分别为mA=1kg，mB=1kg，mC=2kg，其中B与C用一个轻弹簧固定连接，开始时整个装置处于静止状态；A和B之间有少许塑胶炸药，A的左边有一个弹性挡板（小木块和弹性挡板碰撞过程没有能量损失）。现在引爆塑胶炸药，若炸药爆炸产生的能量有E=9J转化为A和B沿轨道方向的动能，A和B分开后，A恰好在BC之间的弹簧第一次恢复到原长时追上B，并且在碰撞后和B粘到一起。求：
（1）在A追上B之前弹簧弹性势能的最大值；
（2）A与B相碰以后弹簧弹性势能的最大值。
在纳米技术中需要移动或修补原子，必须使在不停地做热运动（速率约几百米每秒）的原子几乎静止下来，且能在一个小的空间区域内停留一段时间，为此已发明了“激光致冷”技术，若把原子和入射光子分别类比为一辆小车和一个小球，则“激光致冷”与下述的模型很类似。如图所示，一辆质量为m的小车（一侧固定一轻弹簧），以速度v0水平向右运动，一动量大小为p， 质量可以忽略的小球水平向左射入小车，并压缩弹簧至最短，接着被锁定一定时间△T,再解除锁定使小球以大小为2p的动量水平向右弹出，紧接着不断重复上述过程，最终小车将停下来。设地面和小车均光滑，除锁定时间△T外，不计小球在小车上运动和弹簧压缩、伸长的时间，求：
（1）小球第一次入射后再弹出时，小车速度的大小和这一过程中小车动能的减少量。
（2）从小球第一次入射到小车停止运动所经历的时间。
如图所示，光滑的水平面上有mA=2kg，mB= mC=1kg的三个物体，用轻弹簧将A与B连接．在A、C两边用力使三个物体靠近，A、B间的弹簧被压缩，此过程外力做功72 J，然后从静止开始释放，求：
（1）当物体B与C分离时，B对C做的功有多少？
（2）当弹簧再次恢复到原长时，A、B的速度各是多大？
在光滑的水平面上有一质量M = 2kg的木板A，其右端挡板上固定一根轻质弹簧，在靠近木板左端的P处有一大小忽略不计质量m = 2kg的滑块B。木板上Q处的左侧粗糙，右侧光滑。且PQ间距离L = 2m，如图所示。某时刻木板A以υA = 1m/s的速度向左滑行，同时滑块B以υB = 5m/s的速度向右滑行，当滑块B与P处相距时，二者刚好处于相对静止状态，若在二者共同运动方向的前方有一障碍物，木板A与它碰后以原速率反弹（碰后立即撤去该障碍物）。求B与A的粗糙面之间的动摩擦因数μ和滑块B最终停在木板A上的位置。（g取10m/s2）
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知识框架
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知识讲解
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知识点1 弹簧模型
（1）弹簧类问题多以轻质弹簧为载体，物理情景较复杂，考查物体的平衡、牛顿运动定律、能的转化与守恒等知识．
（2）力的观点：某时刻弹簧提供的弹力与其形变量相关，可运动牛顿运动定律求解．
（3）能量观点：弹性势能与其它形式的能量发生转化，根据能量的转化与守恒定律可求解弹性势能
大小、弹力做功大小等．
（4）举例：物体以速度向运动，左端固定一轻弹簧静止在光滑的水平面上，如图所示．试分析 与相互作用过程中弹簧再次恢复原长时，的速度特点．
在弹簧刚开始被压缩的过程中，受到弹簧的弹力向右做加速运动，受到弹簧的阻力做减速运动，开始时的速度大于的速度，弹簧一直在被压缩，直至的速度相等，即弹簧缩短到最短，此时弹簧的弹性势能最大．此后由于继续减速，继续加速，的速度开始大于的速度，弹簧开始伸长．当弹簧恢复至原长时，弹性势能为零，的速度减至最小，此后弹簧继续伸长，开始加速，开始减速，当弹簧伸长至最长时，的速度相等，弹簧的弹性势能最大．此后开始加速，继续减速，弹簧缩短直至原长．在弹簧处于原长时：
，则最终都向右运动；
，交换速度，即的速度为零，的速度为；
，反向弹回，向右运动．
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随堂练习
)
在足够大的光滑水平面上放有两物块和，已知，物块连接一个轻弹簧并处于静止状态，物体以初速度向着物块运动．在物块与弹簧作用过程中，两物块在同一条直线上运动，下列判断正确的是
A．弹簧恢复原长时，物块的速度为零
B．弹簧恢复原长时，物块的速度不为零，且方向向右
C．在弹簧压缩过程中，物块动能先减小后增大
D．在与弹簧相互作用的整个过程中，物块的动能先减小后增大
【答案】D
【解析】本题中的情形可视为弹性碰撞，由于，故碰撞结束，即弹簧恢复原长后，的速度向左，速度向右，A、B错．在弹簧压缩过程中，速度大于速度，直至速度相等，在此过程中，始终做减速运动，故其动能一直减小，C错．在与弹簧相互作用的整个过程中，始终受到弹簧对其向左的弹力，先减速到零，再加速到，D对．
如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块和都可视作质点，质量相等。与轻质弹簧相连。设静止，以某一初动能向运动并与弹簧发生碰撞。在整个碰撞过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】整个碰撞过程中，当小滑块和的速度相等时，弹簧的弹性势能最大。设小滑块的初速度为，两滑块的质量为。
由动量守恒定律可得：
解得：
根据能量守恒定律可得：
解得：
如上图所示，水平轻弹簧与物体A和B相连，放在光滑水平面上，处于静止状态，物体A的质量为m，物体B的质量为M，且M> m。现用大小相等的水平恒力F1、F2拉A和B，从它们开始运动到弹簧第一次最长的过程中（ ）
A．因M>m，所以B的动量大于A的动量 B．A的动能最大时，B的动能也最大
C．F1和F2做的总功为零 D．弹簧第一次最长时A和B总动能最大
【答案】B
如图，两物体A、B用轻质弹簧相连，静止在光滑水平面上，现同时对A、B两物体施加等大反向的水平恒力F1、F2使A、B同时由静止开始运动，在弹簧由原长伸到最长的过程中，对A、B两物体及弹簧组成的系统，正确的说法是（ ）
A．A、B先作变加速运动，当F1、F2和弹力相等时，A、B的速度最大；之后，A、B作变减速运动，直至速度减到零
B．当A、B作变减速运动速度减为零时，弹簧伸长最长，系统的机械能最大
C．因F1、F2等值反向，故系统的机械能守恒
D．因F1、F2等值反向，故系统的动量守恒
【答案】ABD
如图所示，一劲度系数为k的轻弹簧左端固定在长木板M的左端，右端与小物块m连接，且M、m及M与水平地面间接触均光滑．开始时，m和M均静止，现同时对m、M施加等大反向的水平恒力F1和F2，F1=F2=F．设整个过程中弹簧的形变不超过弹性限度，m未滑离M．求：
(1)当长木板M的位移为L时，M、m及弹簧组成的系统具有的机械能是多少？
(2)如长木板M的位移L是未知的，则当L是多少时，由M、m及弹簧组成的系统具有的机械能最大．这时系统具有的机械能是多少？
【解析】（1）由动量守恒0=Mm ①得物块的位移s=，系统具有的机械能E=FL+Fs =．
（2）M、m做同频率的简谐振动，设运动到平衡位置时弹簧的伸长量为x，F=kx，机械能最大时L+s=2x， 由上式得，系统具有的机械能最大E机=．
如图所示，在光滑的水平面上，物体原来静止，在物体上固定一个轻弹簧，物体以某一速度沿水平方向向右运动，通过弹簧与物体发生作用，若两物体的质量相等，在作用过程中弹簧获得的最大弹性势能为；现将的质量加倍，再使物体以同样的速度通过弹簧与物体发生作用（作用前物体仍静止），在作用过程中弹簧获得的最大弹性势能为，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】、、弹簧作用过程中动量守恒，当、速度相等时，弹性势能最大．
如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为和的两物块、相连接，并静止在光滑的水平面上．现使瞬时获得水平向右的速度，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图象信息可得
A．在、时刻两物块达到共同速度，且弹簧都是处于压缩状态
B．从到时刻弹簧由压缩状态恢复到原长
C．两物体的质量之比为
D．在时刻与的动能之比为
【答案】CD
【解析】在、时刻两物块达到共同速度，时刻弹簧处于压缩状态，时刻弹簧处于伸长状态，从到时刻弹簧由伸长状态恢复到原长．由动量守恒知，，故．
两个完全相同的质量均为的滑块和，放在光滑水平面上，滑块与轻弹簧相连，弹簧另一端固定在墙上，当滑块以的初速度向滑块运动时，如图所示，碰后不再分开，下述正确的是（ ）
A．弹簧最大弹性势能为
B．弹簧最大弹性势能为
C．两滑块相碰以及以后一起运动系统机械能守恒
D．两滑块相碰以及以后一起运动中，系统动量守恒
【答案】B
【解析】两滑决的运动应分两阶段，第一阶段两滑决相碰，由于碰后两滑块一起运动，有部分机械能转化为内能，机械能不守恒，但动量守恒。根据动量守恒定律可得：
解得：
第二阶段，两滑块一起在弹簧力作用下来回振动，此时只有弹簧力做功，机械能守恒，但在此过程系统外力冲量不为零，系统动量不守恒。根据机械能守恒定律可得：
弹性势能最大时，所以。
质量为m的物块甲以3m/s的速度在光滑水平面上运动，有一轻弹簧固定其上，另一质量也为m的物体乙以4m/s的速度与甲相向运动，如图所示。则（ ）
A．甲、乙两物块在弹簧压缩过程中，由于弹力作用，动量不守恒
B．当两物块相距最近时，甲物块的速率为零
C．当甲物块的速率为1m/s时，乙物块的速率可能为2m/s，也可能为0
D．甲物块的速率可能达到5m/s
【答案】C
如图7所示，在光滑的水平面上，物体B静止，在物体B上固定一个轻弹簧。物体A以某一速度沿水平方向向右运动，通过弹簧与物体B发生作用。两物体的质量相等，作用过程中，弹簧获得的最大弹性热能为EP。现将B的质量加倍，再使物体A通过弹簧与物体B发生作用（作用前物体B仍静止），作用过程中，弹簧获得的最大弹性势能仍为EP。则在物体A开始接触弹簧到弹簧具有最大弹性势能的过程中，第一次和第二次相比（ ）
A．物体A的初动能之比为2 : 1 B．物体A的初动能之比为4 : 3
C．物体A损失的动能之比为1 : 1 D．物体A损失的动能之比为27 : 32
【答案】B
如图所示，车质量为，沿光滑水平面以速度向质量为的静止的车运动，车撞上车后面的弹簧将弹簧压缩并与弹簧的左端连接在一起，求在此后的运动过程中：
（1）弹簧的最大弹性势能；
（2）车的最大速度．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）把、车和弹簧看成一个系统，弹力是内力，系统动量守恒．两车速度相等时弹簧压缩量最大或伸长量最大，弹性势能最大．设A、B两车速度为V，弹性势能为．
根据动量守恒：
根据机械能守恒：
联立解得：
（2）弹簧恢复原长时车速度最大，设此时车的速度为，车的速度为，则
根据动量守恒：
根据机械能守恒：
联立解得：
如图所示，一轻质弹簧两端各连接一质量均为的滑块和，两滑块都置于光滑水平面上。今有质量为的子弹以水平速度射入中不再穿出，试分析滑块在什么时候具有最大动能，其值为多少？
【答案】弹簧被压缩又恢复原长时；
【解析】对子弹和滑决，根据动量守恒定律可得：
解得：
当弹簧被压缩后又恢复原长时，的速度最大，具有的动能也最大，此过程机械能与动量都守恒，根据动量守恒定律可得：
根据机械能守恒定律可得：
联立解得：
所以的动能为：
如图所示，光滑轨道上，小车、用轻弹簧连接，将弹簧压缩后用细绳系在、上．然后使、以速度沿轨道向右运动，运动中细绳突然断开，当弹簧第一次恢复到自然长度时，的速度刚好为0，已知、的质量分别为、，且。求：
（1）被压缩的弹簧具有的弹性势能；
（2）试定量分析、讨论在以后的运动过程中，小车有无速度为0的时刻？
【答案】（1） （2）小车B速度不可能等于零。
在光滑水平面上放两个小球和，球和一根水平轻弹簧相连接，如图11-3所示。小球以初动能向静止的球方向运动，将轻弹簧压缩，若弹簧压缩的最大弹性势能等于，求、两球的质量之比是多少？
【答案】
【解析】当小滑块和的速度相等时，弹簧的弹性势能最大。设小滑块的初速度为，滑块的质量为，滑块的质量为。
由动量守恒定律可得：
根据能量守恒定律可得：
由题意得：
联立解得：
如图所示，在足够长的光滑水平轨道上静止三个小木块A，B，C，质量分别为mA=1kg，mB=1kg，mC=2kg，其中B与C用一个轻弹簧固定连接，开始时整个装置处于静止状态；A和B之间有少许塑胶炸药，A的左边有一个弹性挡板（小木块和弹性挡板碰撞过程没有能量损失）。现在引爆塑胶炸药，若炸药爆炸产生的能量有E=9J转化为A和B沿轨道方向的动能，A和B分开后，A恰好在BC之间的弹簧第一次恢复到原长时追上B，并且在碰撞后和B粘到一起。求：
（1）在A追上B之前弹簧弹性势能的最大值；
（2）A与B相碰以后弹簧弹性势能的最大值。
【解析】（1）塑胶炸药爆炸瞬间取A和B为研究对象，假设爆炸后瞬间AB的速度大小分别为vA、vB，取向右为正方向
由动量守恒：－mAvA+mBmB=0
爆炸产生的热量由9J转化为AB的动能：
带入数据解得：vA=vB=3m/s
由于A在炸药爆炸后再次追上B的时候弹簧恰好第一次恢复到原长，则在A追上B之前弹簧已经有一次被压缩到最短，（即弹性势能最大）爆炸后取BC和弹簧为研究系统，当弹簧第一次被压缩到最短时BC达到共速vBC，此时弹簧的弹性势能最大，设为Ep1
由动量守恒：mBvB=（mB+mC）vBC
由能量定恒定定律：
带入数据得：EP1=3J
其中①②④⑤和2分⑥1分
（2）设BC之间的弹簧第一次恢复到原长时B、C的速度大小分别为vB1和vC1，则由动量守恒和能量守恒：
mBvB=mBvB1+mCvC1
带入数据解得：vB1=－1m/s vC1=2m/s
（vB1=3m/s vC1=0m/s 不合题意，舍去。）
A爆炸后先向左匀速运动，与弹性挡板碰撞以后速度大小不变，反向弹回。当A追上B，
发生碰撞瞬间达到共速vAB
由动量守恒：mAvA+mBvB1=（mA+mB）vAB
解得：vAB=1m/s
当ABC三者达到共同速度vABC时，弹簧的弹性势能最大为EP2
由动量守恒：（mA+mB）vAB+mCvC1=（mA+mB+mC）vABC
由能量守恒：
带入数据得：EP2=0.5J
在纳米技术中需要移动或修补原子，必须使在不停地做热运动（速率约几百米每秒）的原子几乎静止下来，且能在一个小的空间区域内停留一段时间，为此已发明了“激光致冷”技术，若把原子和入射光子分别类比为一辆小车和一个小球，则“激光致冷”与下述的模型很类似。如图所示，一辆质量为m的小车（一侧固定一轻弹簧），以速度v0水平向右运动，一动量大小为p， 质量可以忽略的小球水平向左射入小车，并压缩弹簧至最短，接着被锁定一定时间△T,再解除锁定使小球以大小为2p的动量水平向右弹出，紧接着不断重复上述过程，最终小车将停下来。设地面和小车均光滑，除锁定时间△T外，不计小球在小车上运动和弹簧压缩、伸长的时间，求：
（1）小球第一次入射后再弹出时，小车速度的大小和这一过程中小车动能的减少量。
（2）从小球第一次入射到小车停止运动所经历的时间。
【解析】物块与钢板碰撞时的速度
设v1表示质量为m的物块与钢板碰撞后一起开始向下运动的速度，因碰撞时间极短，动量守恒，则
刚碰完弹簧的弹性势能为EP，当它们一起回到O点时，弹性势能为零，且此时物
块与钢板速度恰好都为零，以钢板初始位置为重力势能零点，由机械能守恒，则
设v2表示质量为2m的物块与钢板碰撞后一起开始向下运动的速度， 则
此后物块与钢板碰撞后一起开始向下运动到最低点后，一起向上运动，直到O点，钢板的加速度将比
物块的加速度大，所以二者在此分离，分离瞬间它们具有相同的速度v
由由机械能守恒，则 所以，
物块向上运动的最高点与O点的距离
如图所示，光滑的水平面上有mA=2kg，mB= mC=1kg的三个物体，用轻弹簧将A与B连接．在A、C两边用力使三个物体靠近，A、B间的弹簧被压缩，此过程外力做功72 J，然后从静止开始释放，求：
（1）当物体B与C分离时，B对C做的功有多少？
（2）当弹簧再次恢复到原长时，A、B的速度各是多大？
【解析】（1）当弹簧恢复原长时，B与C分离，0=mAvA－（mB+mc）vC①，EP= +②，
对C由动能定理得W=－0③，由①②③得W=18J，vA=vC=6m/s．
（2）取A、B为研究系统，mAvA －mB vC= mAvA’ +mB vC’， += mAvA’+ mB vC’，
当弹簧恢复到原长时A、B的速度分别为：，vA=vB=6m/s或vA=-2m/s， vB=10m/s．
在光滑的水平面上有一质量M = 2kg的木板A，其右端挡板上固定一根轻质弹簧，在靠近木板左端的P处有一大小忽略不计质量m = 2kg的滑块B。木板上Q处的左侧粗糙，右侧光滑。且PQ间距离L = 2m，如图所示。某时刻木板A以υA = 1m/s的速度向左滑行，同时滑块B以υB = 5m/s的速度向右滑行，当滑块B与P处相距时，二者刚好处于相对静止状态，若在二者共同运动方向的前方有一障碍物，木板A与它碰后以原速率反弹（碰后立即撤去该障碍物）。求B与A的粗糙面之间的动摩擦因数μ和滑块B最终停在木板A上的位置。（g取10m/s2）
【解析】（1）小物块冲上轨道的初速度设为，最终停在AB的中点，跟轨道有相同的速度，设为V
在这个过程中，系统动量守恒，有 ①
系统的动能损失用于克服摩擦做功，有
②
③ 解得摩擦力
（2）若小物块刚好到达D处，此时它与轨道有共同的速度（与V相等），在此过程中系统总动能减少转化为内能（克服摩擦做功）和物块的势能，同理，有
④
解得要使物块不从D点离开滑道，CD圆弧半径至少为
（3）设物块以初动能E′，冲上轨道，可以达到的最大高度是1.5R,物块从D点离开轨道后，其水平方向的速度总与轨道速度相等，达到最高点后，物块的速度跟轨道的速度相等（设为V2），同理，有
⑤
物块从最高点落下后仍沿圆弧轨道运动回到水平轨道上沿BA方向运动，假设能沿BA运动x远，达到与轨道有相同的速度（等于V2），同理，有，
⑥ 解得
物块最终停在水平滑道AB上，距B为处。
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