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带电粒子在磁场中的运动
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知识讲解
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知识点1
一、带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动基本问题
找圆心、画轨迹是解题的基础。带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题。
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随堂练习
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一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P（a，0）点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限．求匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标．
在半径为的圆形空间内有一匀强磁场，一带电粒子以速度从沿半径方向入射，并从点射出，如图所示（为圆心）．已知．若在磁场中，粒子只受洛伦兹力作用，则粒子在磁场中运行的时间：（ ）
A． B． C． D．
如图所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场，一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心，∠MON=120°时，求：带电粒子在磁场区域的偏转半径R及在磁场区域中的运动时间．
在以坐标原点为圆心、半径为的圆形区域内，存在磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示．一个不计重力的带电粒子从磁场边界与轴的交点处以速度沿方向射入磁场，它恰好从磁场边界与轴的交点处沿方向飞出．
（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷；
（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为，该粒子仍从处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射改变了角，求磁感应强度多大？此次粒子在磁场中运动所用时间是多少？
【例5】钍核发生衰变生成镭核并放出一个粒子。设该粒子的质量为、电荷量为q，它进入电势差为U的带窄缝的平行平板电极和间电场时，其速度为，经电场加速后，沿方向进入磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的有界匀强磁场，垂直平板电极，当粒子从点离开磁场时，其速度方向与方位的夹角，如图所示，整个装置处于真空中。
（1）写出钍核衰变方程；
（2）求粒子在磁场中沿圆弧运动的轨道半径R；
（3）求粒子在磁场中运动所用时间。
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知识讲解
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知识点2
二、带电粒子在磁场中轨道半径变化问题
导致轨道半径变化的原因有：①带电粒子速度变化导致半径变化。如带电粒子穿过极板速度变化；带电粒子使空气电离导致速度变化；回旋加速器加速带电粒子等。②磁场变化导致半径变化。如通电导线周围磁场，不同区域的匀强磁场不同；磁场随时间变化。③动量变化导致半径变化。如粒子裂变，或者与别的粒子碰撞；④电量变化导致半径变化。如吸收电荷等。总之，由看m、v、q、B中某个量或某两个量的乘积或比值的变化就会导致带电粒子的轨道半径变化。
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随堂练习
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【例6】如图所示，在x＜0与x＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B1＞B2。一个带负电的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？
【例7】带电粒子进入云室会使云室中的气体电离，从而显示其运动轨迹．如图是在有匀强磁场云室中观察到的粒子的轨迹，和是轨迹上的两点，匀强磁场垂直纸面向里．该粒子在运动时，其质量和电量不变，而动能逐渐减少，下列说法正确的是（ ）
A．粒子先经过点，再经过点
B．粒子先经过点，再经过点
C．粒子带负电
D．粒子带正电
【例8】如图所示，把一个装有导电溶液的圆形玻璃器皿放入磁场中，玻璃器皿的中心放一个圆柱形电极，沿器皿边缘内壁放一个圆环形电极，把两电极分别与电池的正、负极相连．对于导电溶液中正、负离子的运动，下列说法中正确的是（ ）
A．正离子沿圆形玻璃器皿的半径向边缘内壁移动
B．负离子做顺时针方向的螺旋形运动
C．正、负离子均做顺时针方向的螺旋形运动
D．正、负离子均做逆时针方向的螺旋形运动
【例9】如图所示，一足够长的矩形区域内充满磁感应强度为、方向垂直纸面向里的匀强磁场．现从矩形区域边的中点处，垂直磁场射入一速度方向与边夹角为、大小为的带电粒子．已知粒子质量为，电荷量为，边长为，重力影响不计．
（1）试求粒子能从边射出磁场的值；
（2）粒子在磁场中运动的最长时间是多少
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知识讲解
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知识点3
三、带电粒子在磁场中运动的临界问题和带电粒子在多磁场中运动问题
带电粒子在磁场中运动的临界问题的原因有：粒子运动范围的空间临界问题；磁场所占据范围的空间临界问题，运动电荷相遇的时空临界问题等。审题时应注意恰好，最大、最多、至少等关键字
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随堂练习
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【例10】在平面内有许多电子（质量为，电量为）从坐标原点不断地以相同大小的速度沿不同的方向射入第一象限，如图所示，现加一个垂直于平面的磁感应强度为的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都能平行于轴向轴正方向运动，试求出符合条件的磁场的最小面积．
【例11】如图所示，宽为d的有界匀强磁场的边界为PQ、MN，一个质量为m，带电量为-q的微粒子沿图示方向以速度v0垂直射入磁场（磁感线垂直于纸面向里），磁感应强度为B，要使粒子不能从边界MN射出，粒子的入射速度v0的最大值是多大？
【例12】两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点O为原点，如图所示。在y>0，0
0，x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点处有一小孔，一束质量为m、带电量为q（q>0）的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值．已知速度最大的粒子在0a的区域中运动的时间之比为2：5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。
【例13】如图所示，是一荧光屏，当带电粒子打到荧光屏上时，荧光屏能够发光．的上方有磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．为屏上的一小孔，与垂直．一群质量为、带电荷量的粒子（不计重力），以相同的速率，从处沿垂直于磁场方向射入磁场区域，且分布在与夹角为的范围内，不计粒子间的相互作用．则以下说法正确的是（ ）
A．在荧光屏上将出现一个圆形亮斑，其半径为
B．在荧光屏上将出现一个半圆形亮斑，其半径为
C．在荧光屏上将出现一个条形亮线，其长度为
D．在荧光屏上将出现一个条形亮线，其长度为
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知识讲解
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知识点4
四、带电粒子在有界磁场中的极值问题
寻找产生极值的条件：①直径是圆的最大弦；②同一圆中大弦对应大的圆心角；③由轨迹确定半径的极值。
有一粒子源置于一平面直角坐标原点O处，如图所示相同的速率v0向第一象限平面内的不同方向发射电子，已知电子质量为m，电量为e。欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场后，都能平行于x轴沿+x方向运动，求该磁场方向和磁场区域的最小面积s。
带电粒子在复合场中运动问题
复合场包括：磁场和电场，磁场和重力场，或重力场、电场和磁场。有带电粒子的平衡问题，匀变速运动问题，非匀变速运动问题，在解题过程中始终抓住洛伦兹力不做功这一特点。粒子动能的变化是电场力或重力做功的结果。
（例 如图所示，在坐标系Oxy的第一象限中存在沿y轴正方形的匀强电场，场强大小为E。在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。A是y轴上的一点，它到座标原点O的距离为h；C是x轴上的一点，到O点的距离为l，一质量为m、电荷量为q的带负电的粒子以某一初速度沿x轴方向从A点进入电场区域，继而通过C点进入大磁场区域，并再次通过A点。此时速度方向与y轴正方向成锐角。不计重力作用。试求：
（1）粒子经过C点时速度的大小合方向；
（2）磁感应强度的大小B。
知识点6
六、带电粒子在磁场中的周期性和多解问题
多解形成原因：带电粒子的电性不确定形成多解；磁场方向不确定形成多解；临界状态的不唯一形成多解，在有界磁场中运动时表现出来多解，运动的重复性形成多解，在半径为r的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B；一质量为m带电+q的粒子以速度V从筒壁A处沿半径方向垂直于磁场射入筒中；若它在筒中只受洛伦兹力作用且与筒壁发生弹性碰撞，欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周后仍从A处射出；则B必须满足什么条件？
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随堂练习
)
1．一质量为m，电量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它运动的平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（ ）
A． B． C． D．
2．在半径为R的半圆形区域中有一匀强磁磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为B。一质量为m，带有电量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径AD方向经P点（AP＝d）射入磁场（不计重力影响）。
⑴如果粒子恰好从A点射出磁场，求入射粒子的速度。
⑵如果粒子经纸面内Q点从磁场中射出，出射方向与半圆在Q点切线方向的夹角为φ（如图）。求入射粒子的速度。
3．（新题）如图以ab为边界的二匀强磁场的磁感应强度为B1＝2B2，现有一质量为m带电+q的粒子从O点以初速度V0沿垂直于ab方向发射；在图中作出粒子运动轨迹，并求出粒子第6次穿过直线ab所经历的时间、路程及离开点O的距离。（粒子重力不计）
4．一质量m、带电q的粒子以速度V0从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入强度为B的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC射出，求圆形磁场区域的最小面积。
5．如图所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q的粒子以与CD成θ角的速度V0垂直射入磁场中；要使粒子必能从EF射出则初速度V0应满足什么条件？EF上有粒子射出的区域？
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课后作业
)
(
L
v
0
a
b
v
θ
θ
y
R
R
B
)质量为m，电荷量为q的粒子，以初速度v0垂直进入磁感应强度为B、宽度为L的匀强磁场区域，如图所示．求
(1)带电粒子的运动轨迹及运动性质
(2)带电粒子运动的轨道半径
(3)带电粒子离开磁场电的速率
(4)带电粒子离开磁场时的偏转角θ
(5)带电粒子在磁场中的运动时间t
(6)带电粒子离开磁场时偏转的侧位移
如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小．磁场内有一块平面感光板，板面与磁场方向平行．在距的距离为处，有一个点状的放射源，它向各个方向发射粒子，粒子的速度都是．已知粒子的电荷量与质量之比．现只考虑在图纸平面中运动的粒子，求上被粒子打中的区域的长度．
3.如图所示，绝缘劈两斜面光滑且足够长，它们的倾角分别为、（＜），处在垂直纸面向里的匀强磁场中，将质量相等，带等量异种电荷的小球A和B同时从两斜面的顶端由静止释放，不考虑两电荷之间的库仑力，则（ ）
A、在斜面上两球做匀加速运动，且
B、在斜面上两球都做变加速运动
C、两球沿斜面运动的最大位移
D、两球沿斜面运动的时间
4.如图所示，一带电为-q的小球，质量为m，以初速度v0竖直向上射入水平方向的匀强磁场中，磁感应强度为B．当小球在竖直方向运动h高度时，球在b点上所受的磁场力多大？
4.质量m=0.1 g的小物块，带有５×１０－４Ｃ的电荷，放在倾角为30°的绝缘光滑斜面上，整个斜面置于B=0.5 T的匀强磁场中，磁场方向如图所示.物块由静止开始下滑，滑到某一位置时，开始离开斜面(设斜面足够长，g取10 m/s２)，求
(1)物体带何种电荷
(2)物体离开斜面时的速度为多少
(3)物体在斜面上滑行的最大距离.
5.据有关资料介绍，受控核聚变装置中有极高的温度，因而带电粒子没有通常意义上的“容器”可装，而是由磁场约束带电粒子运动使之束缚在某个区域内．现按下面的简化条件来讨论这个问题：如图所示是一个截面为内径R1＝0.6 m、外径R2＝1.2 m的环状区域，区域内有垂直于截面向里的匀强磁场．已知氦核的比荷＝4.8×107C/kg，磁场的磁感应强度B＝0.4T，不计带电粒子的重力．
（1）实践证明，氦核在磁场区域内沿垂直于磁场方向运动速度v的大小与它在磁场中运动的轨道半径r有关，试导出v与r的关系式．
（2）若氦核沿磁场区域的半径方向平行于截面从A点射入磁场，画出氦核在磁场中运动而不穿出外边界的最大圆轨道示意图．
（3）若氦核在平行于截面从A点沿各个方向射入磁场都不穿出磁场外边界，求氦核的最大速度．
6.如图所示，在与的区域中，存在磁感应强度分别为与的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且．一个带负电荷的粒子从坐标原点以速度沿轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过点，与的比值应满足什么样的条件？
学生版 1 / 13中小学教育资源及组卷应用平台
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带电粒子在磁场中的运动
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知识讲解
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知识点1
一、带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动基本问题
找圆心、画轨迹是解题的基础。带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题。
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随堂练习
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一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P（a，0）点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限．求匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标．
【解析】由射入、射出点的半径可找到圆心O，并得出半径为
；射出点坐标为（0，）．
【答案】，（0，）
在半径为的圆形空间内有一匀强磁场，一带电粒子以速度从沿半径方向入射，并从点射出，如图所示（为圆心）．已知．若在磁场中，粒子只受洛伦兹力作用，则粒子在磁场中运行的时间：（ ）
A． B． C． D．
【解析】首先找出粒子做圆周运动的圆心，对应圆心角为，
设该粒子圆周运动的周期为，半径为，则：，
【答案】D
如图所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场，一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心，∠MON=120°时，求：带电粒子在磁场区域的偏转半径R及在磁场区域中的运动时间．
【解析】过M和N点作圆形磁场区域半径OM和ON的垂线，两垂线的交点O′即为轨道圆的圆心，如图所示．
设轨道圆半径为R，由几何关系可知R=，
粒子通过磁场的时间t=．
【答案】见解析
在以坐标原点为圆心、半径为的圆形区域内，存在磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示．一个不计重力的带电粒子从磁场边界与轴的交点处以速度沿方向射入磁场，它恰好从磁场边界与轴的交点处沿方向飞出．
（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷；
（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为，该粒子仍从处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射改变了角，求磁感应强度多大？此次粒子在磁场中运动所用时间是多少？
【解析】（1）由粒子的飞行轨迹，利用左手定则可知，该粒子带负电荷．
粒子由点射入，由点飞出，其速度方向改变了，则粒子轨迹半径
又
则粒子的比荷
（2）粒子从点飞出磁场速度方向改变了角，故弧所对圆心角为，粒子做圆周运动的半径
又所以
粒子在磁场中飞行时间
【答案】（1）（2），
【例5】钍核发生衰变生成镭核并放出一个粒子。设该粒子的质量为、电荷量为q，它进入电势差为U的带窄缝的平行平板电极和间电场时，其速度为，经电场加速后，沿方向进入磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的有界匀强磁场，垂直平板电极，当粒子从点离开磁场时，其速度方向与方位的夹角，如图所示，整个装置处于真空中。
（1）写出钍核衰变方程；
（2）求粒子在磁场中沿圆弧运动的轨道半径R；
（3）求粒子在磁场中运动所用时间。
解析:（1）钍核衰变方程 ①
（2）设粒子离开电场时速度为，对加速过程有
②
粒子在磁场中有 ③
由②、③得 ④
（3）粒子做圆周运动的回旋周期
⑤
粒子在磁场中运动时间 ⑥
由⑤、⑥得 ⑦
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知识讲解
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知识点2
二、带电粒子在磁场中轨道半径变化问题
导致轨道半径变化的原因有：①带电粒子速度变化导致半径变化。如带电粒子穿过极板速度变化；带电粒子使空气电离导致速度变化；回旋加速器加速带电粒子等。②磁场变化导致半径变化。如通电导线周围磁场，不同区域的匀强磁场不同；磁场随时间变化。③动量变化导致半径变化。如粒子裂变，或者与别的粒子碰撞；④电量变化导致半径变化。如吸收电荷等。总之，由看m、v、q、B中某个量或某两个量的乘积或比值的变化就会导致带电粒子的轨道半径变化。
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随堂练习
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【例6】如图所示，在x＜0与x＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B1＞B2。一个带负电的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？
解析：粒子在整个过程中的速度大小恒为v，交替地在xy平面内B1与B2磁场区域中做匀速圆周运动，轨迹都是半个圆周。设粒子的质量和电荷量的大小分别为m和q，圆周运动的半径分别为和r2，有
r1＝ ① r2＝ ②
分析粒子运动的轨迹。如图所示，在xy平面内，粒子先沿半径为r1的半圆C1运动至y轴上离O点距离为2 r1的A点，接着沿半径为2 r2的半圆D1运动至y轴的O1点，O1O距离
d＝2（r2－r1） ③
此后，粒子每经历一次“回旋”（即从y轴出发沿半径r1的半圆和半径为r2的半圆回到原点下方y轴），粒子y坐标就减小d。
设粒子经过n次回旋后与y轴交于On点。若OOn即nd满足 nd＝2r1 ④
则粒子再经过半圆Cn+1就能够经过原点，式中n＝1，2，3，……为回旋次数。
由③④式解得 ⑤
由①②⑤式可得B1、B2应满足的条件
n＝1，2，3，……⑥
【例7】带电粒子进入云室会使云室中的气体电离，从而显示其运动轨迹．如图是在有匀强磁场云室中观察到的粒子的轨迹，和是轨迹上的两点，匀强磁场垂直纸面向里．该粒子在运动时，其质量和电量不变，而动能逐渐减少，下列说法正确的是（ ）
A．粒子先经过点，再经过点
B．粒子先经过点，再经过点
C．粒子带负电
D．粒子带正电
【解析】粒子在磁场中受到的洛伦兹力大小为，轨迹运动半径，动能逐渐减少，故减小，粒子先经过点，再经过点．根据轨迹形状可判断粒子带负电．
【答案】AC
【例8】如图所示，把一个装有导电溶液的圆形玻璃器皿放入磁场中，玻璃器皿的中心放一个圆柱形电极，沿器皿边缘内壁放一个圆环形电极，把两电极分别与电池的正、负极相连．对于导电溶液中正、负离子的运动，下列说法中正确的是（ ）
正离子沿圆形玻璃器皿的半径向边缘内壁移动
B．负离子做顺时针方向的螺旋形运动
C．正、负离子均做顺时针方向的螺旋形运动
D．正、负离子均做逆时针方向的螺旋形运动
【答案】D
【例9】如图所示，一足够长的矩形区域内充满磁感应强度为、方向垂直纸面向里的匀强磁场．现从矩形区域边的中点处，垂直磁场射入一速度方向与边夹角为、大小为的带电粒子．已知粒子质量为，电荷量为，边长为，重力影响不计．
（1）试求粒子能从边射出磁场的值；
（2）粒子在磁场中运动的最长时间是多少
【解析】（1）由于有界磁场区域的限制，使带电粒子由边射出磁场时的速度有一定的范围．以的较小值和较大值为临界值，可知当较小时，运动轨迹恰好与边相切；当较大时，则恰好与边相切，然后从边穿出，如图所示．
当速度较小为时，有，解得
又由半径公式，可得
当速度较大为时，有
又由半径公式，可得
可见，带电粒子在磁场中从边射出时，其速度范围应为
（2）带电粒子在磁场中运动的周期为．要使带电粒子运动的时间最长，其运动轨迹所对的圆心角应最大．所以当速度为时，粒子在磁场中运动的时间最长即有
【答案】（1）（2）
(
知识讲解
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知识点3
三、带电粒子在磁场中运动的临界问题和带电粒子在多磁场中运动问题
带电粒子在磁场中运动的临界问题的原因有：粒子运动范围的空间临界问题；磁场所占据范围的空间临界问题，运动电荷相遇的时空临界问题等。审题时应注意恰好，最大、最多、至少等关键字
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随堂练习
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【例10】在平面内有许多电子（质量为，电量为）从坐标原点不断地以相同大小的速度沿不同的方向射入第一象限，如图所示，现加一个垂直于平面的磁感应强度为的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都能平行于轴向轴正方向运动，试求出符合条件的磁场的最小面积．
【解析】电子在磁场中运动轨迹是圆弧，且不同方向射出的电子的圆形轨迹的半径相同．假如磁场区域足够大，画出所有可能的轨迹如图所示，其中圆和圆为从圆点射出，经第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆，若要使电子飞出磁场平行于轴，这些圆的最高点应是区域的下边界，可由几何知识证明，此下边界为一段圆弧将这些圆心连线（图中虚线）向上平移一段长度为的距离即图中的弧就是这些圆的最高点的连线，应是磁场区域的下边界；圆的轴正方向的半个圆应是磁场的上边界，两边界之间图形的面积即为所求．
图中的阴影区域面积，即为磁场区域面积
【答案】
【例11】如图所示，宽为d的有界匀强磁场的边界为PQ、MN，一个质量为m，带电量为-q的微粒子沿图示方向以速度v0垂直射入磁场（磁感线垂直于纸面向里），磁感应强度为B，要使粒子不能从边界MN射出，粒子的入射速度v0的最大值是多大？
【解析】为了使带电粒子入射时不从边界MN射出，则有临界轨迹与MN相切，如图所示．设粒子做圆周运动的轨道半径为R，则有，由几何 关系得，解得入射粒子的最大速度．
【答案】见解析
【例12】两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点O为原点，如图所示。在y>0，00，x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点处有一小孔，一束质量为m、带电量为q（q>0）的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值．已知速度最大的粒子在0a的区域中运动的时间之比为2：5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。
解析：粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动半径为： ①
速度小的粒子将在x
轨道半径大于a的粒子开始进入右侧磁场，考虑r=a的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与x轴在D点相切（虚线），OD=2a，这是水平屏上发亮范围的左边界。
速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为C和，C在y轴上，有对称性可知在x=2a直线上。
设t1为粒子在0a的区域中运动的时间，由题意可知
由此解得： ② ③
由②③式和对称性可得 ⑤
⑥ 所以 ⑦
即弧长AP为1/4圆周。因此，圆心在x轴上。
设速度为最大值粒子的轨道半径为R，有直角可得
⑧
由图可知OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标
⑨
【例13】如图所示，是一荧光屏，当带电粒子打到荧光屏上时，荧光屏能够发光．的上方有磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．为屏上的一小孔，与垂直．一群质量为、带电荷量的粒子（不计重力），以相同的速率，从处沿垂直于磁场方向射入磁场区域，且分布在与夹角为的范围内，不计粒子间的相互作用．则以下说法正确的是（ ）
A．在荧光屏上将出现一个圆形亮斑，其半径为
B．在荧光屏上将出现一个半圆形亮斑，其半径为
C．在荧光屏上将出现一个条形亮线，其长度为
D．在荧光屏上将出现一个条形亮线，其长度为
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知识讲解
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知识点4
四、带电粒子在有界磁场中的极值问题
寻找产生极值的条件：①直径是圆的最大弦；②同一圆中大弦对应大的圆心角；③由轨迹确定半径的极值。
有一粒子源置于一平面直角坐标原点O处，如图所示相同的速率v0向第一象限平面内的不同方向发射电子，已知电子质量为m，电量为e。欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场后，都能平行于x轴沿+x方向运动，求该磁场方向和磁场区域的最小面积s。
解析：由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径R＝mv0/Be是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆O1，它就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O为圆心，以R为半径的圆弧O1O2On。由于要求所有电子均平行于x轴向右飞出磁场，故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。如对图中任一轨迹圆O2而言，要使电子能平行于x轴向右飞出磁场，过O2作弦的垂线O2A，则电子必将从点A飞出，相当于将此轨迹的圆心O2沿y方向平移了半径R即为此电子的出场位置。由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧O1O2On沿y方向向上平移了半径R后所在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧OAP示。综上所述，要求的磁场的最小区域为弧OAP与弧OBP所围。利用正方形OO1PC的面积减去扇形OO1P的面积即为OBPC的面积；即R2-πR2/4。根据几何关系有最小磁场区域的面积为S＝2（R2-πR2/4）＝（π/2 -1）（mv0/Be）2。
带电粒子在复合场中运动问题
复合场包括：磁场和电场，磁场和重力场，或重力场、电场和磁场。有带电粒子的平衡问题，匀变速运动问题，非匀变速运动问题，在解题过程中始终抓住洛伦兹力不做功这一特点。粒子动能的变化是电场力或重力做功的结果。
（例 如图所示，在坐标系Oxy的第一象限中存在沿y轴正方形的匀强电场，场强大小为E。在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。A是y轴上的一点，它到座标原点O的距离为h；C是x轴上的一点，到O点的距离为l，一质量为m、电荷量为q的带负电的粒子以某一初速度沿x轴方向从A点进入电场区域，继而通过C点进入大磁场区域，并再次通过A点。此时速度方向与y轴正方向成锐角。不计重力作用。试求：
（1）粒子经过C点时速度的大小合方向；
（2）磁感应强度的大小B。
解析：（1）以a表示粒子在电场作用下的加速度，有
①
加速度沿y轴负方向。设粒子从A点进入电场时的初速度为v0，由A点运动到C点经历的时间为t，则有 ②
③
由②③式得 ④
设粒子从点进入磁场时的速度为v，v垂直于x轴的分量
v1＝ ⑤
由①④⑤式得
v1＝＝ ⑥
设粒子经过C点时的速度方向与x轴的夹角为α，则有
tanα＝ ⑦
由④⑤⑦式得 ⑧
（2）粒子经过C点进入磁场后在磁场中作速率为v的圆周运动。若圆周的半径为R，则有
⑨
设圆心为P，则PC必与过C点的速度垂且有＝＝R。用β表示与y轴的夹角，由几何关系得 ⑩
⑾
由⑧⑩⑾式解得
R＝ ⑿
由⑥⑨⑿式得
B＝ ⒀
知识点6
六、带电粒子在磁场中的周期性和多解问题
多解形成原因：带电粒子的电性不确定形成多解；磁场方向不确定形成多解；临界状态的不唯一形成多解，在有界磁场中运动时表现出来多解，运动的重复性形成多解，在半径为r的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B；一质量为m带电+q的粒子以速度V从筒壁A处沿半径方向垂直于磁场射入筒中；若它在筒中只受洛伦兹力作用且与筒壁发生弹性碰撞，欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周后仍从A处射出；则B必须满足什么条件？
带电粒子在磁场中的运动时间分析：由于粒子从A处沿半径射入磁场后必作匀速圆周运动，要使粒子又从A处沿半径方向射向磁场，且粒子与筒壁的碰撞次数未知，故设粒子与筒壁的碰撞次数为n（不含返回A处并从A处射出的一次），由图可知其中n为大于或等于2的整数（当n＝1时即粒子必沿圆O的直径作直线运动，表示此时B＝0）；由图知粒子圆周运动的半径R，再由粒子在磁场中的运动半径可求出。
粒子在磁场中的运动周期为，粒子每碰撞一次在磁场中转过的角度由图得，粒子从A射入磁场再从A沿半径射出磁场的过程中将经过n+1段圆弧，故粒子运动的总时间为：，将前面B代入T后与共同代入前式得。
(
随堂练习
)
1．一质量为m，电量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它运动的平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（ AC ）
A． B． C． D．
2．在半径为R的半圆形区域中有一匀强磁磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为B。一质量为m，带有电量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径AD方向经P点（AP＝d）射入磁场（不计重力影响）。
⑴如果粒子恰好从A点射出磁场，求入射粒子的速度。
⑵如果粒子经纸面内Q点从磁场中射出，出射方向与半圆在Q点切线方向的夹角为φ（如图）。求入射粒子的速度。
2．
3．（新题）如图以ab为边界的二匀强磁场的磁感应强度为B1＝2B2，现有一质量为m带电+q的粒子从O点以初速度V0沿垂直于ab方向发射；在图中作出粒子运动轨迹，并求出粒子第6次穿过直线ab所经历的时间、路程及离开点O的距离。（粒子重力不计）
4．一质量m、带电q的粒子以速度V0从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入强度为B的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC射出，求圆形磁场区域的最小面积。
5．如图所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q的粒子以与CD成θ角的速度V0垂直射入磁场中；要使粒子必能从EF射出则初速度V0应满足什么条件？EF上有粒子射出的区域？
(
课后作业
)
(
L
v
0
a
b
v
θ
θ
y
R
R
B
)质量为m，电荷量为q的粒子，以初速度v0垂直进入磁感应强度为B、宽度为L的匀强磁场区域，如图所示．求
(1)带电粒子的运动轨迹及运动性质
(2)带电粒子运动的轨道半径
(3)带电粒子离开磁场电的速率
(4)带电粒子离开磁场时的偏转角θ
(5)带电粒子在磁场中的运动时间t
(6)带电粒子离开磁场时偏转的侧位移
【答案】⑴带电粒子作匀速圆周运动；轨迹为圆周的一部分．
⑵
⑶
(4)
⑸ (弧度为单位)
⑹
如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小．磁场内有一块平面感光板，板面与磁场方向平行．在距的距离为处，有一个点状的放射源，它向各个方向发射粒子，粒子的速度都是．已知粒子的电荷量与质量之比．现只考虑在图纸平面中运动的粒子，求上被粒子打中的区域的长度．
【解析】粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用表示轨道半径，有，由此得，代入数值得，可见，，因朝不同方向发射的粒子的圆轨迹都过，由此可知，某一圆轨迹在图中左侧与相切，则此切点就是粒子能打中的左侧最远点．为确定出点的位置，可作平行于的直线到的距离为，以为圆心，为半径，作弧交于点，过作的垂线，它与的交点即为．由图中几何关系得，，再考虑粒子在运动中离的距离不可能超过，以为半径、为圆心作圆，交于右侧的点，此即右侧能打到的最远点．由图中几何关系得，所求长度为，代入数值得：．
【答案】
3.如图所示，绝缘劈两斜面光滑且足够长，它们的倾角分别为、（＜），处在垂直纸面向里的匀强磁场中，将质量相等，带等量异种电荷的小球A和B同时从两斜面的顶端由静止释放，不考虑两电荷之间的库仑力，则（ ）
A、在斜面上两球做匀加速运动，且
B、在斜面上两球都做变加速运动
C、两球沿斜面运动的最大位移
D、两球沿斜面运动的时间
【答案】AD
4.如图所示，一带电为-q的小球，质量为m，以初速度v0竖直向上射入水平方向的匀强磁场中，磁感应强度为B．当小球在竖直方向运动h高度时，球在b点上所受的磁场力多大？
【答案】qB
4.质量m=0.1 g的小物块，带有５×１０－４Ｃ的电荷，放在倾角为30°的绝缘光滑斜面上，整个斜面置于B=0.5 T的匀强磁场中，磁场方向如图所示.物块由静止开始下滑，滑到某一位置时，开始离开斜面(设斜面足够长，g取10 m/s２)，求
(1)物体带何种电荷
(2)物体离开斜面时的速度为多少
(3)物体在斜面上滑行的最大距离.
【答案】（1）负电 （2）3.46 m/s （3）1.2 m
5.据有关资料介绍，受控核聚变装置中有极高的温度，因而带电粒子没有通常意义上的“容器”可装，而是由磁场约束带电粒子运动使之束缚在某个区域内．现按下面的简化条件来讨论这个问题：如图所示是一个截面为内径R1＝0.6 m、外径R2＝1.2 m的环状区域，区域内有垂直于截面向里的匀强磁场．已知氦核的比荷＝4.8×107C/kg，磁场的磁感应强度B＝0.4T，不计带电粒子的重力．
（1）实践证明，氦核在磁场区域内沿垂直于磁场方向运动速度v的大小与它在磁场中运动的轨道半径r有关，试导出v与r的关系式．
（2）若氦核沿磁场区域的半径方向平行于截面从A点射入磁场，画出氦核在磁场中运动而不穿出外边界的最大圆轨道示意图．
（3）若氦核在平行于截面从A点沿各个方向射入磁场都不穿出磁场外边界，求氦核的最大速度．
(
v
)【解析】（1）设氦核的质量为m，电量为q，以速度v在磁感应强度为B的匀强磁场中做半径为r的匀速圆周运动，由洛伦兹力计算公式和牛顿运动定律，有，解得．
（2）略．应与外圆相切．
（3）当氦核以的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以速度沿各方向射入磁场区的氦核都不能穿出磁场外边界．则氦核做圆周运动的半径为r′＝0.3 m，由，得r＝mv/qB，所以在速度为vm时不穿出磁场外边界应满足的条件是r′≥mvm/qB，解得vm≤5.76×106m/s．
6.如图所示，在与的区域中，存在磁感应强度分别为与的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且．一个带负电荷的粒子从坐标原点以速度沿轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过点，与的比值应满足什么样的条件？
【解析】粒子在整个运动的过程中的速度大小恒为，交替地在平面内和的磁场区域中做匀速圆周运动，轨道都是半个圆周．设粒子的质量和电荷量大小分别为和，圆周运动的半径分别为和，有 ①， ②，现在分析粒子运动的轨迹，如图所示，在平面内，粒子先沿半径为的半圆运动至轴上离点距离为的点，接着沿半径为的半圆运动至轴的点，的距离 ③，此后，粒子每经历一次“回旋”（即从轴出发沿半径为的半圆和半径为的半圆回到原点下方的轴），粒子的坐标就减小．设粒子经过次回旋后与轴交于点，若点即满足 ④，则粒子再经过半圆就能够过原点，式中为回旋次数．由③④式解得，⑤，联立①②⑤式可得应满足条件：，
【答案】，
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