2022年高中名校自主招生初升高衔接数学讲义6 几何证明（Word版含答案）

第六讲 几何证明
知识要点
几何证明一般考查：
（1）证明线段数量关系；
（2）证明角数量关系；
（3）证明线段位置关系.
需要掌握，全等三角形判定，特殊四边形定义与性质，中位线性质等.
辅助线方面：中线倍长，旋转思想，平行线与垂线等均有出现.
例题精讲
如图6-1，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，点E是BC的中点，过点E作交AD延长线于点H，交AB于点F，交AC的延长线于点G.求证：.
如图6-3，把△AOB绕顶点O逆时针旋转90°，使顶点A变成A'，B变成B'.求证：△OAB'中AB'边上的中线与△OA'B中A'B边上的高共线.
如图6-5，在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使，过点E、F分别作CA、CB的垂线，相交于点P.求证：.
已知AD是△ABC的高（在形内）.给出下列四个条件：
①；
②；
③；
④.
一定能得到的有______个.
（A）1 （B）2
（C）3 （D）4
在△ABC中，已知，∠C=60°.分别以AB、BC、CA为边向形外作三个正三角形，即△ABC'、△BCA'、△CAB'.问S△ABC与S△ABC'、S△BCA'、S△CAB'之间存在怎样的关系式？请你作出判断并加以证明.
设△ABC的三边长为，，.若，，则△ABC是什么特殊三角形？
如图6-10，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，，求证：.
设a、b、c为锐角△ABC的三边长，ha、hb、hc.为对应边上的三条高.
求证：
已知O为△ABC内一点，过O引三条边的平行线DE∥BC，FG//CA，HI//AB，D、E、F、G、H、I为各边上的点（如图6-11），记S2为六边形DGHEFI的面积，S2为△ABC的面积.证明：..
已知△ABC是不等边三角形，点O、I分别是△ABC的外心、内心，且.
求证：.
习题巩固
如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，，，E为边AB上一点，，且.连结DE与对角线AC交于点H，连结BH.给出下列结论：
①；
②△CDE为等边三角形；
③
④
其中，正确的结论是（ ）.
（A）①② （B）①②④ （C）③④ （D）①②③④
如图，在锐角△ABC中，点D、E、F分别是三条高AD、BE、CF的垂足，连结DE、EF、FD，求证：
如图，在正方形ABCD中，F、E分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于点M、N.求证：.
如图，过圆外一点P作圆的两条切线PA、PB，A、B为切点，再过P作圆的一条割线分别与圆交于点C、D，过AB上任一点Q作PA的平行线分别与直线AC、AD交于点E、F.证明：.
在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD交于点O.则与的大小关系是________（填“相等”或“不相等”）.
如图，已知四边形ABCD是O的内接四边形，对角线AC的中点I是△ABD的内心.
求证：
（1）OI是△IBD外接圆的切线；
（2）AB+AD=2BD.
如图，已知O1和O2交于P、Q两点，过PQ上任意一点M作直线与O1、O2分别交于点A和S、R和D，再过点A、D分别作PQ的平行线分别与PR、PS交于点B、C.证明：.
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请利用以下图证明勾股定理.
在△ABC中，BF和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，O是内心（角平分线的交
点），满足，求证：△ABC是等腰三角形或者.
参考答案
如图6-2，过点C作CI∥AB，交FG于点I.
因为CI∥AB，所以，因为E是BC的中点，所以.
因为所以（A.S.A），所以
因为AD平分∠BAC，，所以，所以.
因为，，，所以，所以，所以，所以.
因为，，，所以.
如图6-4，取AB'中点C，连结OC并延长至点E，使，OE交A'B于点D，分别连结AE、B'E.因为点C是AB'的中点，，所以四边形OAEB'是平行四边形，所以OA∥B'E，.
因为，，所以，.
所以.
在△OB'E与△BOA'中，
所以，所以∠，所以
.
所以，即.
所以，△OAB'中AB'边上的中线与△OA'B中A'B边上的高共线.
如图6-6，分别取AP、BP的中点M、N，连结EM、DM、FN、DN.
因为，，所以.
因为点M、N分别是Rt△AEP、Rt△BFP斜边的中点，所以
，.
又因为，所以△≌△.
所以，.
而△AME、△BNF均为等腰三角形，所以
答案：D.
如图6-7，令，，，.则
.
分解得.
（1）若，则.两式相加得.
（2）若，同理，.
（3）若，则，代入式①得
（4）若，则，代入式①同理可得.
综上，四个条件均可得到.
结论：S△ABC= S△BCA'+S△CAB'.- S△ABC'.
如图6-8，在AC上取，连结DB、DC'、DB'.
易知.故.
又，，则.
此时，
，
.
于是，C'D//AB'.注意到，因此，四边形AB'DC'为平行四边形.
故S△C'DA=S△B'AD
又易证，则
由
得
如图6-9，设，△ABC的内切圆半径为r.
则 ①
②
①÷②得
或
或
或.
故△ABC是等腰三角形或直角三角形.
因为，所以DE//BC，所以△ADE∽△ABC.
因为所以△CBD∽△ABC，所以△ADE∽△CBD∽△ABC.
设,，.因为
所以，又因为，，所以
.
设，则，则.
要使0有实根，则0有实根，则，，
即
作于点D，于点E，于点F.则，，，则，，，，，.
所以，即.
在直角△ACD、△BAE、△CBF中，，，，则.
故结论成立.
可以从△DGO、△OHE、△OIF的面积与△ABC的面积关系入手.
设，，，，，.易知
，所以，由此可得
由柯西不等式知：
从而 ，
即
如图6-12，延长AI交O于点D，交BC于点E，连结CI、CD，则，，，
由，
，
得.
故，从而，.
由知，所以.
在△ABC中，由角平分线性质定理得
所以.故.
习题巩固
答案：B.
易知，△ABC、△ADE均为等腰直角三角形.所以，，即AH平分∠EAD.从而，，结论①正确.
因，，所以，.从而，.又，因此，△CDE是等边三角形，结论②正确.
设△CDE的边长为2a，则，，，
，
，
所以，，结论③不正确.
又，，则，，结论④正确.
AD、BE、CF分别是△ABC的三条高.容易证明一下相似关系：，，.
所以有如下比例关系：.
由，.可得到.
所以，同理，同理所以.
设正方形边长为1，，.则，.
由题设有，即
化简得.
作于点G.由NB平分∠ABF得，，.
则，，同理，.
故.
又，则.
因为，所以.故.
如图，连结BD、BC.则.则.故，即
同理，
另一方面，由，，得，
.
因为，所以，.
由上式及式①、②即得.
答案：相等.
设，，，，.
由，得
.
由，得
.
由式①、②解得
.
因此，
故
如图.由内心性质知.故点C是△IBD的外心.因为点I是AC的中点，所以，，且.故.因此，OI是△IBD外接圆C的切线.
（2）如图，过点I作于点E，连结QC与BD交于点F.由，知，.故.
又，，则.
因为点I是△ABD的内心，所以，.
故.
由相交弦定理知.
则 .
由AB//PQ//CD，得△ABR∽△MPR，则
②
同理， . ③
由式①、②、③知，于是，RS∥BC，即AD∥BC.故四边形ABCD是平行四边形.
因此，.
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略.请自行查阅课本第十九章阅读材料.
仅给出的图形，等腰三角形的情况自行考虑.思路是沿直线AO翻折OE或OF，故在AB上取一点F'使，易证.双解出现在OE和OF'是重合还是形成等腰三角形.在等腰△EOF'中利用内角和得证.