2022年高中名校自主招生初升高衔接数学讲义8 几何计算（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2022年高中名校自主招生初升高衔接数学讲义8 几何计算（Word版含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-22 15:52:57 | ||
图片预览
文档简介
第八讲 几何计算
知识要点
在自招试卷中，有不少的几何计算问题，一般需要用到全等，相似，勾股定理等课本知识，同时也会考查到面积法，弧长等平时较少操练的章节.
本讲我们讲围绕几何计算展开学习.
例题精讲
1. 如图8-1，，点P、Q分别是边OA、OB上的两点，且.将沿PQ折叠，点O落在平面内点C处.
（1）①当时， ；
②当时，求OQ的长.
（2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，求OQ的长.
2. 我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”.
（1）等边三角形“内似线”的条数为 ；
（2）如图8-6，中，，点D在AC上，且，求证：BD是的“内似线”；
（3）如图8-7，在中，，，，点E、F分别在边AC、BC上，且EF是的“内似线”，求EF的长.
3. 将一个等腰三角形ABC划分成两个较小的等腰三角形，问这样的有几种形状？并将所有形状都列出来.
4. 如图8-11，中，，BC边上有100个不同的点，，，…，，记，求.
5. 已知的两条角平分线BD、CE交于点I，，.则的度数为 .
6. 如图8-15，在四边形ABCD中，已知是等边三角形，，，.求边CD的长.
7. 如图8-17，在四边形ABCD中，，，，设直线AD与BC的交点为点E，则的大小为 .
8. 如图8-19，三条直线l、m、n互相平行，且l、m间的距离为2，m、n间的距离为1，若正的三个顶点分别在l、m、n上，则正的边长是 .
9. 如图8-21，，则 .
10. 如图8-22，在中，，，四边形CDEF、四边形KLMN是的两个内接正方形.已知，.求的三边长.
习题巩固
11. 沿一个卡纸立方体的边缘按照图1中所示的虚线切开，然后展开，平放在桌面上的图形是图2中的（ ）.
12. 如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，、都是锐角，已知，，四边形EFGH的面积为5，求正方形ABCD的面积.
13. 如图，设P是ABCD内一点，过P分别作AB、BC、CD、DA的垂线，垂足分别为点E、F、G、H.已知，，，，，，且，则四边形的周长为多少？
14. 在中，，，延长BC到D使.求.
15. 已知是等边三角形，它的高是4.若点P到边AB、AC的距离分别是1、2.则点P到边BC的距离是多少？
16. 在中，，，分别以AB、AC为边向外部作正、，连结DE分别交AC、AB于点F、G.则的值为多少？
17. 在中，，，.则外接圆的半径是多少？
18. 设的三边分别为a、b、c，且.若，求的值.
19. 如图，的网格中有25个格点，作出以这25个格点中的三个点为顶点的所有三角形，其中直角三角形多少个？
20. 已知A、B是半径为2的上的两定点，，P是上一动点.当点P在上移动一周时，的垂心移动的路程为多少？（增加两个特殊点，使的垂心H移动的轨迹是封闭图形）.
21. 如图，已知，且.点D、E分别是AC、AB上的动点，BD与CE相交于点P，使.求的最大值.
自招链接
22. 如图，在任意五边形ABCDE中，点P、Q、R、S分别是AB、CD、BC、DE的中点，点M、N分别是PQ、RS的中点，且.求MN.
23. 已知中，，于点D，若，.求的面积.
参考答案
1. （1）①当时，，由折叠的性质得：，，所以，所以，所以四边形OPCQ是平行四边形，所以四边形OPCQ是菱形，所以.
故答案为：.
②当时，分两种情况：
（ⅰ）如图8-2所示，设，因为，所以是等腰直角三角形，所以，所以.
由折叠的性质得：，，所以是等腰直角三角形，所以，所以，解得：，即；
（ⅱ）如图8-3所示.同（ⅰ）得：；
综上所述：当时，QQ的长为，或.
（2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，符合条件的点Q共有5个；
①点C在的内部时，四边形OPCQ是菱形，；
②当点C在的一边上时，是等腰直角三角形，或；
③当点C在的外部时，分两种情况：
（ⅰ）如图8-4所示，，则，由折叠的性质得：.
设，则，在中，由三角形内角和定理得：，解得：，所以，作于点N，设，因为，则，，.
因为，所以，解得：，所以.
（ⅱ）如图8-5所示，，作于点N，同①得：.
综上所述：当折叠后重叠部分为等腰三角形时，OQ的长为或或，或或.
2. （1）等边三角形“内似线”的条数为3条；理由如下：
过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如8-8所示：则，，，所以MN、EF、GH是等边三角形ABC的“内似线”.故答案为：3.
（2）因为，，所以，，所以.
又因为，所以，所以BD平分，即BD过的内心，所以BD是的“内似线”.
（3）设D是的内心，连结CD，则CD平分，因为EF是的“内似线”，所以与相似.
分两种情况：①当时，，因为，，，所以.
作于点N，如图8-9所示.则，DN是的内切圆半径，所以.
因为CD平分，所以.
因为，所以，所以.
因为，所以，所以，解得：.
②当时，同理得：.
综上所述，EF的长为.
3. 如图8-10所示.设等腰三角形ABC分成与.不妨假设；于是，等腰三角形ABD中，只能有.这时，而有三种情况.
（1）若时，则，为等腰直角三角形.
（2）若时，设，则，，，由于，则.
若，则，；
若，则，.
（3）若时，设，，，显然.
由，得，.
综上所述，总共有4组解；所求三角形的三个内角分别为（45°，45°，90°）、（36°，36°，108°）、，（36°，72°，72°）.
4. 仔细观察，我们发现的结构与斯德瓦尔特定理非常相似，只是缺BC.从而可知，
，
故，从而有.也可以仿效前面几个例题作垂线，也可求出.
如图8-12，作于点D，则
.
从而可知，.
5. 答案：40°或60°.
如图8-13，在BC上截取，，连结、.
当点与不重合时，易证，.
则.
故.
又，则，.
当点与重合时，如图8-14.
同理，由，且，知.
所以，.
6. 如图8-16，以CD为边向四边形ABCD外作等边，连结AE.
由，，知
，所以，所以.
又，可知.
所以
，
从而有
，
所以
.
7. 如图8-18，过点B作，过点D作，BF、DF交于点F，连结AF.
因为，，，所以四边形BCDF是菱形，所以.
因为，所以.
因为，所以.
因为，所以.
因为，所以.
所以三角形ABF是等边三角形.
所以，，所以.
因为四边形BCDF是菱形，，所以，所以.
因为，，所以.
因为，所以，所以.
8. 如图8-20，过点A作于点D，在AD右侧作，并使，连结CE，交l于点F；过点C作于点G.
因为，，所以.
所以，即
因为所以，所以.
因为，所以，所以，所以.
因为，，所以，所以.
因为，所以.
因为，，所以，.
所以，所以
在中，，，所以.
在中，，，所以.
所以.
所以，即正三角形ABC的边长是.
9. 设，，，.则
，
，
；
所以
.
10. 设正方形CDEF的边长为x，正方形KLMN的边长为y，则，.
设，，，则.
因为，所以.
因为，得.
因为，得.
因为，所以.
则
.
所以.
所以，.
所以a、b是二次方程的两根.
因为，所以，.
习题巩固
11. 答案：D.
如图，在立方体的六个面中，只有ABCD和CDHG切开三条棱，保留一条棱连结，即只与一个面相连结，其他四个面切开两条棱，保留两条棱连结，即可与两个面相连结，连结顺序是
.
12. 如图，分别过点E、F、G、H作对边的垂线，得矩形PQRT.
设正方形ABCD的边长为x，，.由勾股定理，得，.
又，，，，且，所以，得
，解得，所以，即.
13. 如图，分别连结PA、PB、PC、PD.因为，，，，所以由勾股定理，得
，
，
，
，
以上四式相加并整理，得
，
因为，，，，，，所以
，
，
因为，所以，所以
.
14. 答案：80°.
如图，在边CD上取点E，使，连结AE.则
.
故.易知.所以，.
15. 如图1，设点P在的内部，AH是的高，P到三边的垂线分别为PD、PE、PF，并记的边长为a.
由面积关系得
，
于是，，即.
类似地，当点P不在的内部时，可知在图2中的位置.
因到AB、AC的距离之和小于4，所以，不是P.记到BC的距离分别为.则
，
，
.
解得，，.故点P到边BC的距离可能是1、3、5、7.
16. 如图，过E作于点M，延长EM交AB于点N，连结DN.则M是AC的中点，且.所以，N是AB的中点.于是，.
又，得，，所以，四边形ADNE是平行四边形.因此，
.
令，则，，.
在中，，.
由得，则，即.
所以，，故.
17. 如图，设O是外接圆的圆心，作直径AD，连结DB、DC.则.
由，，则，.
过点C作AD的垂线，垂足为点F.设，.
由勾股定理得
.
代入得
. ①
在中，由勾股定理得，即
. ②
由式①、②得，即.解得（负值舍去）.
18. 因为，，所以
.
即.两边平方并整理得
或.
又，且，则.
19. 答案：596.
（1）当直角三角形的两直角边均在网格线上时，每个顶点为直角顶点，该直角顶点处有个直角三角形.此时，共有个直角三角形.
（2）当直角三角形的两直角边不在网格线上时.
如图，其中，（A）表示与A的地位相同的点，（B）、（C）、（D）与之类似.
以四角顶点为直角的直角三角形不存在；
以点A为直角顶点的直角三角形有（个）；
以点B为直角顶点的直角三角形有（个）；
以点C为直角顶点的直角三角形为（个）；
以点D为直角顶点的直角三角形有（个）；
以点O为直角顶点的直角三角形有（个）.
综上，所求三角形的个数为（个）.
20. 答案：.
当点P在优弧AB上，且为锐角三角形时，.当为钝角三角形时，.当为直角三角形时，垂心为A或B.
当点P在劣弧AB上时，.所以，H的轨迹为关于AB的对称圆（增加两个特殊点为A、B两点关于该圆的圆心的对称点）.故的垂心H移动的路程为.
21. 设，，则.因为，所以，，在中，由梅涅劳斯定理，得，则
.
同理， .
所以 .
因为，所以，所以
.
因为，所以
，
.
令，则，从而
.
因为，所以，即，当且仅当时，，则
，
所以当且仅当，即时，.
自招链接
22. 如图，连结BE，并取其中点为O，再连结PO、SO、RO、SQ、RQ、OQ.
在中，由三角中位线定理得.
在四边形BCDE中，因R、Q、S、O分别为各边的中点，
易知四边形RQSO为平行四边形，其对角线RS、QO互相平分.
又N为RS的中点，则N也是OQ的中点.故.于是，.
23. 法一：如图1，将沿直线AB翻折得，将沿直线AC翻折得，延长EB、FC交于点G.
因为，所以，，因为，根据平行线间的距离相等，易得.又，.
设.则，，可列方程：
.
解得：（其中不合题意，舍去.）
所以的面积为：.
法二：将绕着点A逆时针旋转90°得，延长、DC交于点H，连结.
因为，所以，，根据平行线间的距离相等，得，且.所以.
设.则，，在中，由勾股定理得
.
解得（其中不合题意，舍去.）
所以的面积为：.
法三：正切和公式：.
设，则，解方程得（其中不合题意，舍去.）所以的面积为：.
知识要点
在自招试卷中，有不少的几何计算问题，一般需要用到全等，相似，勾股定理等课本知识，同时也会考查到面积法，弧长等平时较少操练的章节.
本讲我们讲围绕几何计算展开学习.
例题精讲
1. 如图8-1，，点P、Q分别是边OA、OB上的两点，且.将沿PQ折叠，点O落在平面内点C处.
（1）①当时， ；
②当时，求OQ的长.
（2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，求OQ的长.
2. 我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”.
（1）等边三角形“内似线”的条数为 ；
（2）如图8-6，中，，点D在AC上，且，求证：BD是的“内似线”；
（3）如图8-7，在中，，，，点E、F分别在边AC、BC上，且EF是的“内似线”，求EF的长.
3. 将一个等腰三角形ABC划分成两个较小的等腰三角形，问这样的有几种形状？并将所有形状都列出来.
4. 如图8-11，中，，BC边上有100个不同的点，，，…，，记，求.
5. 已知的两条角平分线BD、CE交于点I，，.则的度数为 .
6. 如图8-15，在四边形ABCD中，已知是等边三角形，，，.求边CD的长.
7. 如图8-17，在四边形ABCD中，，，，设直线AD与BC的交点为点E，则的大小为 .
8. 如图8-19，三条直线l、m、n互相平行，且l、m间的距离为2，m、n间的距离为1，若正的三个顶点分别在l、m、n上，则正的边长是 .
9. 如图8-21，，则 .
10. 如图8-22，在中，，，四边形CDEF、四边形KLMN是的两个内接正方形.已知，.求的三边长.
习题巩固
11. 沿一个卡纸立方体的边缘按照图1中所示的虚线切开，然后展开，平放在桌面上的图形是图2中的（ ）.
12. 如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，、都是锐角，已知，，四边形EFGH的面积为5，求正方形ABCD的面积.
13. 如图，设P是ABCD内一点，过P分别作AB、BC、CD、DA的垂线，垂足分别为点E、F、G、H.已知，，，，，，且，则四边形的周长为多少？
14. 在中，，，延长BC到D使.求.
15. 已知是等边三角形，它的高是4.若点P到边AB、AC的距离分别是1、2.则点P到边BC的距离是多少？
16. 在中，，，分别以AB、AC为边向外部作正、，连结DE分别交AC、AB于点F、G.则的值为多少？
17. 在中，，，.则外接圆的半径是多少？
18. 设的三边分别为a、b、c，且.若，求的值.
19. 如图，的网格中有25个格点，作出以这25个格点中的三个点为顶点的所有三角形，其中直角三角形多少个？
20. 已知A、B是半径为2的上的两定点，，P是上一动点.当点P在上移动一周时，的垂心移动的路程为多少？（增加两个特殊点，使的垂心H移动的轨迹是封闭图形）.
21. 如图，已知，且.点D、E分别是AC、AB上的动点，BD与CE相交于点P，使.求的最大值.
自招链接
22. 如图，在任意五边形ABCDE中，点P、Q、R、S分别是AB、CD、BC、DE的中点，点M、N分别是PQ、RS的中点，且.求MN.
23. 已知中，，于点D，若，.求的面积.
参考答案
1. （1）①当时，，由折叠的性质得：，，所以，所以，所以四边形OPCQ是平行四边形，所以四边形OPCQ是菱形，所以.
故答案为：.
②当时，分两种情况：
（ⅰ）如图8-2所示，设，因为，所以是等腰直角三角形，所以，所以.
由折叠的性质得：，，所以是等腰直角三角形，所以，所以，解得：，即；
（ⅱ）如图8-3所示.同（ⅰ）得：；
综上所述：当时，QQ的长为，或.
（2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，符合条件的点Q共有5个；
①点C在的内部时，四边形OPCQ是菱形，；
②当点C在的一边上时，是等腰直角三角形，或；
③当点C在的外部时，分两种情况：
（ⅰ）如图8-4所示，，则，由折叠的性质得：.
设，则，在中，由三角形内角和定理得：，解得：，所以，作于点N，设，因为，则，，.
因为，所以，解得：，所以.
（ⅱ）如图8-5所示，，作于点N，同①得：.
综上所述：当折叠后重叠部分为等腰三角形时，OQ的长为或或，或或.
2. （1）等边三角形“内似线”的条数为3条；理由如下：
过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如8-8所示：则，，，所以MN、EF、GH是等边三角形ABC的“内似线”.故答案为：3.
（2）因为，，所以，，所以.
又因为，所以，所以BD平分，即BD过的内心，所以BD是的“内似线”.
（3）设D是的内心，连结CD，则CD平分，因为EF是的“内似线”，所以与相似.
分两种情况：①当时，，因为，，，所以.
作于点N，如图8-9所示.则，DN是的内切圆半径，所以.
因为CD平分，所以.
因为，所以，所以.
因为，所以，所以，解得：.
②当时，同理得：.
综上所述，EF的长为.
3. 如图8-10所示.设等腰三角形ABC分成与.不妨假设；于是，等腰三角形ABD中，只能有.这时，而有三种情况.
（1）若时，则，为等腰直角三角形.
（2）若时，设，则，，，由于，则.
若，则，；
若，则，.
（3）若时，设，，，显然.
由，得，.
综上所述，总共有4组解；所求三角形的三个内角分别为（45°，45°，90°）、（36°，36°，108°）、，（36°，72°，72°）.
4. 仔细观察，我们发现的结构与斯德瓦尔特定理非常相似，只是缺BC.从而可知，
，
故，从而有.也可以仿效前面几个例题作垂线，也可求出.
如图8-12，作于点D，则
.
从而可知，.
5. 答案：40°或60°.
如图8-13，在BC上截取，，连结、.
当点与不重合时，易证，.
则.
故.
又，则，.
当点与重合时，如图8-14.
同理，由，且，知.
所以，.
6. 如图8-16，以CD为边向四边形ABCD外作等边，连结AE.
由，，知
，所以，所以.
又，可知.
所以
，
从而有
，
所以
.
7. 如图8-18，过点B作，过点D作，BF、DF交于点F，连结AF.
因为，，，所以四边形BCDF是菱形，所以.
因为，所以.
因为，所以.
因为，所以.
因为，所以.
所以三角形ABF是等边三角形.
所以，，所以.
因为四边形BCDF是菱形，，所以，所以.
因为，，所以.
因为，所以，所以.
8. 如图8-20，过点A作于点D，在AD右侧作，并使，连结CE，交l于点F；过点C作于点G.
因为，，所以.
所以，即
因为所以，所以.
因为，所以，所以，所以.
因为，，所以，所以.
因为，所以.
因为，，所以，.
所以，所以
在中，，，所以.
在中，，，所以.
所以.
所以，即正三角形ABC的边长是.
9. 设，，，.则
，
，
；
所以
.
10. 设正方形CDEF的边长为x，正方形KLMN的边长为y，则，.
设，，，则.
因为，所以.
因为，得.
因为，得.
因为，所以.
则
.
所以.
所以，.
所以a、b是二次方程的两根.
因为，所以，.
习题巩固
11. 答案：D.
如图，在立方体的六个面中，只有ABCD和CDHG切开三条棱，保留一条棱连结，即只与一个面相连结，其他四个面切开两条棱，保留两条棱连结，即可与两个面相连结，连结顺序是
.
12. 如图，分别过点E、F、G、H作对边的垂线，得矩形PQRT.
设正方形ABCD的边长为x，，.由勾股定理，得，.
又，，，，且，所以，得
，解得，所以，即.
13. 如图，分别连结PA、PB、PC、PD.因为，，，，所以由勾股定理，得
，
，
，
，
以上四式相加并整理，得
，
因为，，，，，，所以
，
，
因为，所以，所以
.
14. 答案：80°.
如图，在边CD上取点E，使，连结AE.则
.
故.易知.所以，.
15. 如图1，设点P在的内部，AH是的高，P到三边的垂线分别为PD、PE、PF，并记的边长为a.
由面积关系得
，
于是，，即.
类似地，当点P不在的内部时，可知在图2中的位置.
因到AB、AC的距离之和小于4，所以，不是P.记到BC的距离分别为.则
，
，
.
解得，，.故点P到边BC的距离可能是1、3、5、7.
16. 如图，过E作于点M，延长EM交AB于点N，连结DN.则M是AC的中点，且.所以，N是AB的中点.于是，.
又，得，，所以，四边形ADNE是平行四边形.因此，
.
令，则，，.
在中，，.
由得，则，即.
所以，，故.
17. 如图，设O是外接圆的圆心，作直径AD，连结DB、DC.则.
由，，则，.
过点C作AD的垂线，垂足为点F.设，.
由勾股定理得
.
代入得
. ①
在中，由勾股定理得，即
. ②
由式①、②得，即.解得（负值舍去）.
18. 因为，，所以
.
即.两边平方并整理得
或.
又，且，则.
19. 答案：596.
（1）当直角三角形的两直角边均在网格线上时，每个顶点为直角顶点，该直角顶点处有个直角三角形.此时，共有个直角三角形.
（2）当直角三角形的两直角边不在网格线上时.
如图，其中，（A）表示与A的地位相同的点，（B）、（C）、（D）与之类似.
以四角顶点为直角的直角三角形不存在；
以点A为直角顶点的直角三角形有（个）；
以点B为直角顶点的直角三角形有（个）；
以点C为直角顶点的直角三角形为（个）；
以点D为直角顶点的直角三角形有（个）；
以点O为直角顶点的直角三角形有（个）.
综上，所求三角形的个数为（个）.
20. 答案：.
当点P在优弧AB上，且为锐角三角形时，.当为钝角三角形时，.当为直角三角形时，垂心为A或B.
当点P在劣弧AB上时，.所以，H的轨迹为关于AB的对称圆（增加两个特殊点为A、B两点关于该圆的圆心的对称点）.故的垂心H移动的路程为.
21. 设，，则.因为，所以，，在中，由梅涅劳斯定理，得，则
.
同理， .
所以 .
因为，所以，所以
.
因为，所以
，
.
令，则，从而
.
因为，所以，即，当且仅当时，，则
，
所以当且仅当，即时，.
自招链接
22. 如图，连结BE，并取其中点为O，再连结PO、SO、RO、SQ、RQ、OQ.
在中，由三角中位线定理得.
在四边形BCDE中，因R、Q、S、O分别为各边的中点，
易知四边形RQSO为平行四边形，其对角线RS、QO互相平分.
又N为RS的中点，则N也是OQ的中点.故.于是，.
23. 法一：如图1，将沿直线AB翻折得，将沿直线AC翻折得，延长EB、FC交于点G.
因为，所以，，因为，根据平行线间的距离相等，易得.又，.
设.则，，可列方程：
.
解得：（其中不合题意，舍去.）
所以的面积为：.
法二：将绕着点A逆时针旋转90°得，延长、DC交于点H，连结.
因为，所以，，根据平行线间的距离相等，得，且.所以.
设.则，，在中，由勾股定理得
.
解得（其中不合题意，舍去.）
所以的面积为：.
法三：正切和公式：.
设，则，解方程得（其中不合题意，舍去.）所以的面积为：.
同课章节目录