第十二讲 高斯函数
知识要点
不超过实数x的最大整数称为x的整数部分,记作,称为x的小数部分,记作. 例如,,. 这一规定最早为大数学家高斯所使用,故称为高斯函数.
高斯函数的性质:
(1)的定义域为实数集,值域为整数集;
(2);
(3);
(4)当,;
(5)设n为整数,则;
(6);
(7)对任意正实数有.
特别地,对正数x及正整数n有,;
(8)对正实数x、y有;
(9)设n为正整数,则;
(10)对整数x,有,对非整数x,有;
(11)对正数m和n,不大于m的n的倍数共有个;
(12)①,②,③(n为整数);
(13)设p为任一素数,在n!中含p的最高乘方次数记为,则
.
例题精讲
1. 计算的值. (2017共出现了2017次)
2. 计算的值.
3. 已知,且满足,求的值.
4. 在中,有多少个不同的整数?
5. 解方程.
6. 解方程.
7. 解方程.
8. 证明:对于任意实数x,有.
习题巩固
9. 设,求.
10. 求的值.
11. 计算的值.
12. 在中,有多少个不同的整数?
13. 解方程.
14. 解方程.
15. 解方程.
16. 解方程.
17. 解方程.
18. 求满足的所有x的和.
19. 解方程.
20. 设表示不超过x的最大整数,求方程的解.
21. (1)从1017到2017的整数中,有多少个数是7的倍数?
(2)如果,求最大的正整数k.
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22. 求不超过的最大整数.
23. 用表示不大于x的最大x的整数,如. 解方程:
.
参考答案
例题精讲
1. 为了方便表述,记(n个2017),则
.
所以
,
即.
所以
,
即.
同理:.
所以.
2. 由题意,.
事实上,当为整数,而a、b均不是整数时,有为整数,则为整数,又,所以,故. 根据上面结论,将原式首尾配对,共有251对,所以.
3. 因为,故则或1,共有18个1,由性质(4)可知,前面11项均为0,后面18项均为1,即
,
.
所以解得,故.
所以.
4. 设.
当时,必有,此时,解得,所以,从0到503的整数都能取到,当时,必有,此时,所以是不同的整数,从而,共有个不同的整数.
5. (法一)原方程化为,代入得,得,则可能取值为、,对应的x取值为、. 经检验,和均为原方程的解.
(法二)原方程化为,代入,得,得,故或,对应的x取值为、. 经检验,和均为原方程的根.
6. 原方程化为,代入得,解得或. 所以的可能取值为、2、3,对应的x取值分别为、、3. 经检验或或均为原方程的解.
7. 去分母,将原方程化为,当时,只需满足x为非零整数;当时,,将代入得. 当时,,此时无整数解,当时,,解得,此时.
8. 当时,
,
.
所以;
当时,
,
,
所以,.
因此,对于任意实数x,恒成立.
习题巩固
9. 考虑的整数部分.
,
所以
,
整数部分为,故
故.
10. 考虑,其中,因为,故,原式.
11. 首尾配对,原式.
12. 设.
当时,必有,此时,解得,故从0到8的整数都能取到;
当时,必有,此时,所以是不同的整数,从而共有个不同的整数.
13. 将原方程代入得,解得,则,即,所以的可能取值为、,对应的x取值为、,经检验或为原方程的解.
14. 由题意,得,解得:,所以,经检验为原方程的解.
15. 由题意,得. 估算一下x的范围,得到:,所以.
16. 由题意,得,得或,所以,代入检验得.
17. 由于,,所以:,即:,解得:,故. 所以,对应的x为,经检验或为原方程的解.
18. 原方程化为,所以,可得,于是,从而,满足条件的x为:
,
和为:.
19. 代入得,即,由得,故,所以.
20. 将代入得,解得,1,所以.
21. (1)1到2017的整数中有个7的倍数,1到1016的整数中有7的倍数个,故1017到2017的整数中有个7的倍数;
(2)2017!中含有7的次数为,1016!中含有7的次数为,故k的最大值为.
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22. 设,则
,
,
,
因为,所以. 所以求不超过的最大整数是7039.
23. (1)当x是整数,则,所有非零整数都是原方程的解.
(2)当x不是整数,则,由原方程得. 所以
.
当,则. 代入①,得.
当时,,这样的整数不存在;
当时,,只有整数满足,此时.
综上所述,原方程的解为所有非零整数和.