人教A版（2019）选择性必修第一册1.4.1.3空间中直线、平面的垂直 同步练习（Word版含答案）

空间中直线、平面的垂直2021－2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
基础题
1．已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为(　　)
A．a＝(1，0，0)，b＝(－3，0，0)
B．a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)
C．a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1)
D．a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)
2．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2，2，1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　)
A．－2 B．2
C．6 D．10
3．已知平面α的法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于(　　)
A．4 B．－4
C．5 D．－5
4．已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　)
A．(1，0，－2) B．(1，0，2)
C．(－1，0，2) D．(2，0，－1)
5．(多选)给出下列命题，其中是真命题的是(　　)
A．若直线l的方向向量a＝(1，－1，2)，直线m的方向向量b＝(2，1，－)，则l与m垂直
B．若直线l的方向向量a＝(0，1，－1)，平面α的法向量n＝(1，－1，－1)，则l⊥α
C．若平面α，β的法向量分别为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α⊥β
D．若平面α经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1
6．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________．
7．在空间直角坐标系中，已知直角三角形ABC的三个顶点为A(－3，－2，1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x，0)，则x的值为________．
8．如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，AD＝AB，E是PC的中点．求证：PD⊥平面ABE.
拔高题
9．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，过点A且与直线BD1垂直的所有面对角线的条数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
10．(多选)已知正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长均相等，D，E分别是BC，CC1的中点，点P满足＝x＋y＋(1－x－y)，x∈[0，1]，y∈[0，1]，下列选项正确的是(　　)
A．当x＝y时，∠DEP为锐角
B．当x＋2y＝1时，AP⊥BE
C.当y＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D．当x－y＝时，A1P∥平面ADE
11．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1).若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为______________．
12．已知正方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
能力题
13．(多选)如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是直线AD与A1C1的交点．若点Q在直线B1P上，则下列结论不正确的是(　　)
A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B．当点Q为线段B1P的三等分点(靠近点P)时，DQ⊥平面A1BD
C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D．在直线B1P上不存在点Q，使得DQ⊥平面A1BD
答案
1．B
2．D
3．D
4．C
5．AD
6．－9
7．0或9
8.证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，
∴AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则P(0，0，1)，A(0，0，0)，B(1，0，0)，D
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC为正三角形．
∴C，E.
∴＝(1，0，0)，＝，
∴设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则，即，
令y＝2，则z＝－，∴n＝(0，2，－).
∵＝，显然＝n，
∴∥n，
∴⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.
9.C
10.BD
11．(－2，4，1)或(2，－4，－1)
12．以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a).
设E(0，a，e)(0≤e≤a).
(1)证明：＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)，
∵·＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，
∴⊥，即A1E⊥BD；
(2)设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2).
∵＝(a，a，0)，DA1＝(a，0，a)，＝(0，a，e)
∴n1·＝0，n1·DA1＝0，n2·＝0，n2·＝0.
∴
取x1＝x2＝1，得n1＝(1，－1，－1)，n2＝(1，－1，).
由平面A1BD⊥平面EBD得n1⊥n2.
∴2－＝0，即e＝.
∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.
13.ABC