2022-2023学年北师大版七年级数学上册 5.3应用一元一次方程——水箱变高了教学详案

第五章 一元一次方程
3　应用一元一次方程——水箱变高了
教学目标 1.让学生能够通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题. 2.使学生能利用一元一次方程解决简单的图形问题. 教学重难点 重点：分析图形问题中的数量关系，熟练地列方程解应用题. 难点：从实际问题中抽象出数学模型. 教学过程 复习巩固 （1）长方形的周长 2(a+b) ，面积 ab ； 长方体的体积 abc . （2）正方形的周长 4a ，面积 a2 ； 正方体的体积 a3 . （3）圆的周长 2 πr ，圆的面积 πr2 ； 圆柱的体积 πr2h . 导入新课 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m.那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4 m变为多少米？ 探究新知 （一）应用一元一次方程解决等积变形问题 对于引入问题的求解： 1.如果设水箱的高变为x m，填写下表： 旧水箱新水箱底面半径/m21.6高/m4x体积/m3π×22×4π×1.62× x
2.根据表格中的数据，找出等量关系. 旧水箱的容积新水箱的容积. 3.列出方程并求解. π×22×4π×1.62×x， 解得x6.25. 因此，水箱的高度变成了6.25 m. 总结：形积变化问题中的等量关系 形积变化问题分以下几种情况： 形状发生了变化，体积不变. 其相等关系是变化前物体的体积＝变化后物体的体积. 形状、面积发生了变化，周长不变. 其相等关系是变化前图形的周长＝变化后图形的周长. (3)形状、体积不同.根据题意找出体积之间的关系，即为相等关系. （二）应用一元一次方程解决图形的等长变化问题 例1 用一根长为10 m的铁丝围成一个长方形. (1)若该长方形的长比宽多1.4 m，则此时长方形的长、宽各是多少米？ (2)若该长方形的长比宽多0.8 m，则此时长方形的长和宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？ (3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，则正方形的边长是多少？它围成的正方形的面积与(2)中相比，又有什么变化？ 解：(1) 设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x1.4)m. 根据题意，得 (x1.4 x) ×2 10， 解得 x 1.8. 1.81.43.2. 此时长方形的长为3.2 m，宽为1.8 m. (2)设此时长方形的宽为x m，则它的长为（x0.8）m. 根据题意，得 (x0.8x)×2 10， 解得 x2.1. 2.10.82.9. 此时长方形的长为2.9 m，宽为2.1 m，面积为2.9×2.16.09(m2). (1)中长方形的面积为3.2×1.85.76(m2). 此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大6.09－5.760.33(m2). （3）设正方形的边长为x m. 根据题意，得(x x)×210， 解得 x2.5. 正方形的边长为2.5 m. 正方形的面积为2.5×2.56.25(m2). 比(2)中面积增大 6.256.090.16（m2）. 例 2 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2) m，求铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大. 解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为[r＋2(π－2)]m. 根据题意，得 2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4. 所以铁丝的长为2πr＝8π(m)， 圆的面积是π×42＝16π(m 2)， 正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m 2). 因为4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2， 所以圆的面积大. 答：铁丝的长度为8π m，圆的面积较大. 总结：等长变形，是指用物体(一般用铁丝)围成不同的图形，图形的形状、面积发生了变化，但周长不变. 解答此类问题，可以利用周长不变设未知数，寻找相等关系列出方程. 面积问题中常常会用到特殊图形的周长和面积公式，如三角形、平行四边形、长方形、正方形、梯形、圆等.记住常见的几何图形的面积公式，抓住周长不变的特征是解决等长变形问题的关键. （三）列一元一次方程解应用题的步骤 （1）审——通过审题找出等量关系. （2）设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称. （3）列——依据等量关系列出方程. （4）解——解方程. （5）检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题. （6）答——写出答案，注意单位名称. 课堂练习 1.墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示(单位：cm).小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这根彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示.小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？如果设长方形的长为x cm，根据题意，可列方程为(　　) A.2(x＋10)＝10×4＋6×2 B.2(x＋10)＝10×3＋6×2 C.2x＋10＝10×4＋6×2 D.2(x＋10)＝10×2＋6×2 2.如图，小明从一个正方形的纸片上剪下一个宽为6 cm的长条后，再从剩下的纸片上剪下一个宽为8 cm的长条.如果两次剪下的长条面积正好相等，那么原正方形的边长是(　　) A.20 cm B.24 cm C.48 cm D.144 cm 3.如图，一个装有半瓶多饮料的饮料瓶中，饮料的高度为20 cm；把饮料瓶倒过来放置，饮料瓶空余部分的高度为5 cm.已知饮料瓶的容积为30 cm3，则瓶内现有饮料________cm3. 4.车间70名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1 800条或者脖子上的丝巾1 200条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾.为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾 参考答案 1.A 2.B 3.24 4.解：设应分配x名工人生产脖子上的丝巾. 根据题意，得1 800(70x)2×1 200x， 解得x30， 70x703040. 答:应分配30名工人生产脖子上的丝巾，40名工人生产手上的丝巾. 课堂小结 布置作业 完成教材习题5.6. 板书设计 第五章 一元一次方程 3 应用一元一次方程——水箱变高了 （一）应用一元一次方程解决等积变形问题 （二）应用一元一次方程解决图形的等长变化问题 （三）列一元一次方程解应用题的步骤 （1）审——通过审题找出等量关系. （2）设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称. （3）列——依据等量关系列出方程. （4）解——解方程. （5）检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题. （6）答——写出答案，注意单位名称.