黑龙江省哈尔滨市第九高级中学校2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 黑龙江省哈尔滨市第九高级中学校2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 659.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-22 17:36:50 | ||
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文档简介
哈尔滨市第九高级中学2021-2022学年高一下学期期末考试
数学学科试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
Ⅰ卷（选择题，12小题，共60分）
一、单项选择题（每题5分，共40分）
1．若复数z满足，则z的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，则（ ）
A．2 B． C． D．
3．从2022年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的30000人中随机抽取10人，测得他们的身高分别为（单位：cm）：162、153、148、154、165、168、172、171、170、150，根据样本频率分布估计总体分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在155.5cm－170.5cm之间的人数约为（ ）
A．18000 B．15000 C．12000 D．10000
4．如图一所示，某市5月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，则该组数据第64百分位数为（ ）
A．45 B．48 C．78 D．80
5．已知a、b是两条不相同的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若，，则a与相交 B．若，，，则
C．若，，，则a⊥b D．若，，，则a⊥b
6．在平面四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD上的点，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．梯形ABCD中，，∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝2，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB以l所在直线为轴旋转一周，则该旋转体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．将地球看作一个以O为球心的球体，地球上点P的纬度是指OP与赤道面所成角的度数．一个地球仪，在其北半球某纬线圈上有A，B，C三点，其中AB＝2，，∠ABC＝60°，且三棱锥的体积为，则这个纬线圈的纬度为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
二、多项选择题（全选对得5分，漏选得2分，有错误选项得0分）
9．在正方体中，下列说法正确的是（ ）
A．与垂直的面对角线有6条 B．直线与直线所成的角为45°
C．直线与平面所成的角为45°D．二面角的余弦值为
10．某校为了解学生对食堂的满意程度，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试分数按照，，，，，，分组，画出频率分布直方图，已知随机抽取的学生测试分数不低于80分的学生有27人，则以下结论中正确的是（ ）
A．此次测试众数的估计值为85
B．此次测试分数在的学生人数为6人
C．随机抽取的学生测试分数的第55百分位数约为80
D．平均数m在中位数n右侧
11．已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．△ABC的面积为6
12．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为．给出下列四个结论，其中，所有正确结论的有（ ）
A．正方体在每个顶点的曲率均为
B．任意四棱锥的总曲率均为；
C．若一个多面体满足顶点数V＝6，棱数E＝8，面数F＝12，则该类多面体的总曲率是；
D．若某类多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足，则该类多面体的总曲率是常数
Ⅱ卷（主观题，10小题，共90分）
三、填空题（单空题每题5分，双空题第一处答案正确得2分，第二处答案正确得3分）
13．如图所示，电路原件，，正常工作的概率分别为，，，则电路能正常工作的概率为______．
14．为实现学生高中选科和大学专业选择的有效衔接，黑龙江省于2022年采用“”模式改革考试科目设置，即考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩，物理或历史中的1门成绩，和生物、政治、地理、化学中的2个科目成绩组成，则学生选课的情况有______种．
15．已知是关于x的实系数一元二次方程的一个根，则的值为______．
16．满足下述条件的两组基底与叫做一组“对偶基底”：，i，。当，均为单位向量，且时，______．
四、解答题（共70分）
17．在直三棱柱中，AB＝AC，D为BC中点．
（1）求证：AD⊥平面；
（2）若，BC＝2，，求三棱锥的体积．
18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足．
（1）判断△ABC的形状；
（2）如图，延长BA至点D，连接CD，过A作交CD于E，若，AB＝5，，，求BC的长度．
19．一位同学想调查某学校学生阅读古典四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《西游记》、《水浒传》的情况，他随机问了5名同学（√表示已读），得到了以下表格：
《红楼梦》 《三国演义》 《西游记》 《水浒传》
同学A √ √ √
同学B √ √
同学C √ √
同学D √ √ √
同学E √ √
（1）现在从这五位同学中选出两位，设事件A为“两位同学都读过《红楼梦》和《三国演义》”，请用集合的形式分别写出样本空间和事件A所包含的所有结果，并计算出事件A的概率；
（2）经过统计，该学校读过《红楼梦》、《三国演义》、《西游记》、《水浒传》四本名著的概率分别为，，，，求一位同学恰好读过其中三本书的概率．
20．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆周上异于A、B且在直径AB同侧的点，AB＝2，∠DAB＝∠ABC＝60°，P是平面ABC外一点，且．
（1）设平面平面，求证：；
（2）求PC与平面POD成角的正弦值．
21．某厂为估计其产品某项指标的平均数，从生产的产品中随机抽取10件作为样本，得到各件产品该项指标数据如下：9.8 10.3 10.0 10.2 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 9.9
将该项指标的样本平均数记为，样本标准差记为s，总体平均数记为；
（1）求与s（s精确到三位小数，参考数据：）
（2）记样本量为n，查阅资料可知：关于的不等式的解集是总体平均数的一个较好的估计范围；
（i）根据以上资料，求出该产品的总体平均数的估计范围；
（ii）在（i）的估计结果下，将指标不在总体平均数的估计范围内的产品称作“超标产品”。现从这10件样品中不放回随机抽取2件，将事件“抽到的2件产品都是超标产品”记为A，求．
22．如图（1），平面四边形ABDC中，∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，将△ABC沿BC边折起如图（2），使______，点M，N分别为AC，AD中点．在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题．
①．
②AC为四面体ABDC外接球的直径．
③平面ABC⊥平面BCD．
（1）判断直线MN与平面ABD是否垂直，并说明理由；
（2）求二面角的正弦值．
参考答案
单选BCCBABBB
多选9．AD 10．ABC 11．ABD 12．ABD
填空13． 14．12 15．0 16．
17．（1）因为三棱锥是直三棱锥，所以平面ABC（1分）
因为平面ABC，所以（1分）
因为AB＝AC，D为BC中点，所以AD⊥BC（1分）
又因为，（1分），平面，平面
所以AD⊥平面（1分）
（2）因为平面ABC（1分），（1分）
因为，D为BC中点，BC＝2
所以BD＝CD＝1，AD＝2，所以（2分）
所以（1分）
18．（1）因为，所以，（1分）
根据正弦定理（1分），得
所以B＝C，（1分），所以△ABC为等腰三角形（1分）
（2）因为B＝C，所以AB＝AC＝5，
因为，所以，（1分）
因为，所以
所以DB＝6DA且AB＝5，所以AD＝1（1分）
解得，所以（2分）
因为，所以∠BAC为锐角
所以（2分）
所以
所以BC＝6（2分）
19．（1）设五位同学分别为a，b，c，d，e
样本空间（2分）
事件（2分），则（2分）
（2）设一位同学读过《红楼梦》，《三国演义》，《西游记》，《水浒传》分别为事件A，B，C，D，
则一位同学恰好读过其中三本的概率为（1分）
（2分）
（2分）
（1分）
20．（1）连接OC、OD
因为∠DAB＝∠ABC＝60°，OA＝OD，OB＝OC，所以△AOD，△BOC为等边三角形，
所以，∠AOD＝∠BOC＝60°
所以∠COD＝60°，所以△COD为等边三角形
所以∠CDO＝∠AOD＝60°，所以（2分）
且平面PAB，平面PAB，（1分）
所以平面PAB（1分），且平面PCD，平面平面PCD＝1
所以（2分）
（2）过C作CH⊥OD于H，连接PH，
因为，O为AB中点，所以PO⊥AB，所以
且OA＝OC＝r，PA＝PC，所以，所以OP⊥OC（1分）
又因为平面ABCD，平面ABCD，
所以OP⊥平面ABCD（1分）
因为平面ABCD，所以OP⊥CH
又因为CH⊥OD，，平面POD，平面POD，
所以CH⊥平面POD（1分）
所以CP与平面POD所成角为∠CPH（1分），
因为CH⊥平面POD，平面POD，
所以CH⊥PH，所以（1分）
因为△COD为等边三角形，所以，所以（1分）
21．（1）（2分）
（2分）
（1分）
（2）（i）因为，所以（1分）
解得（3分）
（ii）共有6件超标产品，（1分），故概率为（2分）
22．若选①：，
（1）在中，BC＝2，CD＝1，∴，
又∵AB＝2，∴，∴AB⊥BD，（1分）
∵AB⊥BC，且，BC，平面CBD，∴AB⊥平面CBD，（1分）
又∵平面CBD，∴AB⊥CD，（1分）
又∵CD⊥BD，且AB，平面ABD，∴CD⊥平面ABD，（2分）
又∵M，N分别为AC，AD中点，∴，∴MN⊥平面ABD．（1分）
（2）∵MN⊥平面ABD，AN，平面ABD
∴MN⊥AN，MN⊥BN，且，，∴∠ANB为二面角（2分）
∵AB⊥BD，N为BD中点，，∴
∴（3分）
∴（1分）
若选②：AC为四面体ABDC外接球的直径．
（1）则∠ADC＝90°，CD⊥AD，（2分）
又∵CD⊥BD，且AB，平面ABD，∴CD⊥平面ABD，（3分）
又∵M，N分别为AC，AD中点，∴，∴MN⊥平面ABD．（1分）
（2）∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∴
又∵∠ADC＝90°，CD＝1，∴
在中，BC＝2，CD＝1，∴，
又∵AB＝2，∴，∴AB⊥BD，
∵MN⊥平面ABD，AN，平面ABD
∴MN⊥AN，MN⊥BN，且，
∴∠ANB为二面角（2分）
∵AB⊥BD，N为BD中点，，∴，
∴（3分）
∴（1分）
若选③：平面ABC⊥平面BCD，
（1）∵平面ABC⊥平面BCD，平面平面BCD＝BC，AB⊥BC，且平面ABC，
∴AB⊥平面CBD，（2分）
又∵平面CBD，∴AB⊥CD，（1分）
又∵CD⊥BD，且AB，平面ABD，∴CD⊥平面ABD，（2分）
又∵M，N分别为AC，AD中点，∴，∴MN⊥平面ABD．（1分）
（2）∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∴
∵CD⊥平面ABD，平面ABD，∴CD⊥AD，
又∵∠ADC＝90°，CD＝1，∴
∵MN⊥平面ABD，AN，平面ABD
∴MN⊥AN，MN⊥BN
且，，∴∠ANB为二面角（2分）
∵AB⊥BD，N为BD中点，，∴
∴（3分）
（1分）
数学学科试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
Ⅰ卷（选择题，12小题，共60分）
一、单项选择题（每题5分，共40分）
1．若复数z满足，则z的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，则（ ）
A．2 B． C． D．
3．从2022年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的30000人中随机抽取10人，测得他们的身高分别为（单位：cm）：162、153、148、154、165、168、172、171、170、150，根据样本频率分布估计总体分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在155.5cm－170.5cm之间的人数约为（ ）
A．18000 B．15000 C．12000 D．10000
4．如图一所示，某市5月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，则该组数据第64百分位数为（ ）
A．45 B．48 C．78 D．80
5．已知a、b是两条不相同的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若，，则a与相交 B．若，，，则
C．若，，，则a⊥b D．若，，，则a⊥b
6．在平面四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD上的点，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．梯形ABCD中，，∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝2，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB以l所在直线为轴旋转一周，则该旋转体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．将地球看作一个以O为球心的球体，地球上点P的纬度是指OP与赤道面所成角的度数．一个地球仪，在其北半球某纬线圈上有A，B，C三点，其中AB＝2，，∠ABC＝60°，且三棱锥的体积为，则这个纬线圈的纬度为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
二、多项选择题（全选对得5分，漏选得2分，有错误选项得0分）
9．在正方体中，下列说法正确的是（ ）
A．与垂直的面对角线有6条 B．直线与直线所成的角为45°
C．直线与平面所成的角为45°D．二面角的余弦值为
10．某校为了解学生对食堂的满意程度，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试分数按照，，，，，，分组，画出频率分布直方图，已知随机抽取的学生测试分数不低于80分的学生有27人，则以下结论中正确的是（ ）
A．此次测试众数的估计值为85
B．此次测试分数在的学生人数为6人
C．随机抽取的学生测试分数的第55百分位数约为80
D．平均数m在中位数n右侧
11．已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．△ABC的面积为6
12．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为．给出下列四个结论，其中，所有正确结论的有（ ）
A．正方体在每个顶点的曲率均为
B．任意四棱锥的总曲率均为；
C．若一个多面体满足顶点数V＝6，棱数E＝8，面数F＝12，则该类多面体的总曲率是；
D．若某类多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足，则该类多面体的总曲率是常数
Ⅱ卷（主观题，10小题，共90分）
三、填空题（单空题每题5分，双空题第一处答案正确得2分，第二处答案正确得3分）
13．如图所示，电路原件，，正常工作的概率分别为，，，则电路能正常工作的概率为______．
14．为实现学生高中选科和大学专业选择的有效衔接，黑龙江省于2022年采用“”模式改革考试科目设置，即考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩，物理或历史中的1门成绩，和生物、政治、地理、化学中的2个科目成绩组成，则学生选课的情况有______种．
15．已知是关于x的实系数一元二次方程的一个根，则的值为______．
16．满足下述条件的两组基底与叫做一组“对偶基底”：，i，。当，均为单位向量，且时，______．
四、解答题（共70分）
17．在直三棱柱中，AB＝AC，D为BC中点．
（1）求证：AD⊥平面；
（2）若，BC＝2，，求三棱锥的体积．
18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足．
（1）判断△ABC的形状；
（2）如图，延长BA至点D，连接CD，过A作交CD于E，若，AB＝5，，，求BC的长度．
19．一位同学想调查某学校学生阅读古典四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《西游记》、《水浒传》的情况，他随机问了5名同学（√表示已读），得到了以下表格：
《红楼梦》 《三国演义》 《西游记》 《水浒传》
同学A √ √ √
同学B √ √
同学C √ √
同学D √ √ √
同学E √ √
（1）现在从这五位同学中选出两位，设事件A为“两位同学都读过《红楼梦》和《三国演义》”，请用集合的形式分别写出样本空间和事件A所包含的所有结果，并计算出事件A的概率；
（2）经过统计，该学校读过《红楼梦》、《三国演义》、《西游记》、《水浒传》四本名著的概率分别为，，，，求一位同学恰好读过其中三本书的概率．
20．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆周上异于A、B且在直径AB同侧的点，AB＝2，∠DAB＝∠ABC＝60°，P是平面ABC外一点，且．
（1）设平面平面，求证：；
（2）求PC与平面POD成角的正弦值．
21．某厂为估计其产品某项指标的平均数，从生产的产品中随机抽取10件作为样本，得到各件产品该项指标数据如下：9.8 10.3 10.0 10.2 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 9.9
将该项指标的样本平均数记为，样本标准差记为s，总体平均数记为；
（1）求与s（s精确到三位小数，参考数据：）
（2）记样本量为n，查阅资料可知：关于的不等式的解集是总体平均数的一个较好的估计范围；
（i）根据以上资料，求出该产品的总体平均数的估计范围；
（ii）在（i）的估计结果下，将指标不在总体平均数的估计范围内的产品称作“超标产品”。现从这10件样品中不放回随机抽取2件，将事件“抽到的2件产品都是超标产品”记为A，求．
22．如图（1），平面四边形ABDC中，∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，将△ABC沿BC边折起如图（2），使______，点M，N分别为AC，AD中点．在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题．
①．
②AC为四面体ABDC外接球的直径．
③平面ABC⊥平面BCD．
（1）判断直线MN与平面ABD是否垂直，并说明理由；
（2）求二面角的正弦值．
参考答案
单选BCCBABBB
多选9．AD 10．ABC 11．ABD 12．ABD
填空13． 14．12 15．0 16．
17．（1）因为三棱锥是直三棱锥，所以平面ABC（1分）
因为平面ABC，所以（1分）
因为AB＝AC，D为BC中点，所以AD⊥BC（1分）
又因为，（1分），平面，平面
所以AD⊥平面（1分）
（2）因为平面ABC（1分），（1分）
因为，D为BC中点，BC＝2
所以BD＝CD＝1，AD＝2，所以（2分）
所以（1分）
18．（1）因为，所以，（1分）
根据正弦定理（1分），得
所以B＝C，（1分），所以△ABC为等腰三角形（1分）
（2）因为B＝C，所以AB＝AC＝5，
因为，所以，（1分）
因为，所以
所以DB＝6DA且AB＝5，所以AD＝1（1分）
解得，所以（2分）
因为，所以∠BAC为锐角
所以（2分）
所以
所以BC＝6（2分）
19．（1）设五位同学分别为a，b，c，d，e
样本空间（2分）
事件（2分），则（2分）
（2）设一位同学读过《红楼梦》，《三国演义》，《西游记》，《水浒传》分别为事件A，B，C，D，
则一位同学恰好读过其中三本的概率为（1分）
（2分）
（2分）
（1分）
20．（1）连接OC、OD
因为∠DAB＝∠ABC＝60°，OA＝OD，OB＝OC，所以△AOD，△BOC为等边三角形，
所以，∠AOD＝∠BOC＝60°
所以∠COD＝60°，所以△COD为等边三角形
所以∠CDO＝∠AOD＝60°，所以（2分）
且平面PAB，平面PAB，（1分）
所以平面PAB（1分），且平面PCD，平面平面PCD＝1
所以（2分）
（2）过C作CH⊥OD于H，连接PH，
因为，O为AB中点，所以PO⊥AB，所以
且OA＝OC＝r，PA＝PC，所以，所以OP⊥OC（1分）
又因为平面ABCD，平面ABCD，
所以OP⊥平面ABCD（1分）
因为平面ABCD，所以OP⊥CH
又因为CH⊥OD，，平面POD，平面POD，
所以CH⊥平面POD（1分）
所以CP与平面POD所成角为∠CPH（1分），
因为CH⊥平面POD，平面POD，
所以CH⊥PH，所以（1分）
因为△COD为等边三角形，所以，所以（1分）
21．（1）（2分）
（2分）
（1分）
（2）（i）因为，所以（1分）
解得（3分）
（ii）共有6件超标产品，（1分），故概率为（2分）
22．若选①：，
（1）在中，BC＝2，CD＝1，∴，
又∵AB＝2，∴，∴AB⊥BD，（1分）
∵AB⊥BC，且，BC，平面CBD，∴AB⊥平面CBD，（1分）
又∵平面CBD，∴AB⊥CD，（1分）
又∵CD⊥BD，且AB，平面ABD，∴CD⊥平面ABD，（2分）
又∵M，N分别为AC，AD中点，∴，∴MN⊥平面ABD．（1分）
（2）∵MN⊥平面ABD，AN，平面ABD
∴MN⊥AN，MN⊥BN，且，，∴∠ANB为二面角（2分）
∵AB⊥BD，N为BD中点，，∴
∴（3分）
∴（1分）
若选②：AC为四面体ABDC外接球的直径．
（1）则∠ADC＝90°，CD⊥AD，（2分）
又∵CD⊥BD，且AB，平面ABD，∴CD⊥平面ABD，（3分）
又∵M，N分别为AC，AD中点，∴，∴MN⊥平面ABD．（1分）
（2）∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∴
又∵∠ADC＝90°，CD＝1，∴
在中，BC＝2，CD＝1，∴，
又∵AB＝2，∴，∴AB⊥BD，
∵MN⊥平面ABD，AN，平面ABD
∴MN⊥AN，MN⊥BN，且，
∴∠ANB为二面角（2分）
∵AB⊥BD，N为BD中点，，∴，
∴（3分）
∴（1分）
若选③：平面ABC⊥平面BCD，
（1）∵平面ABC⊥平面BCD，平面平面BCD＝BC，AB⊥BC，且平面ABC，
∴AB⊥平面CBD，（2分）
又∵平面CBD，∴AB⊥CD，（1分）
又∵CD⊥BD，且AB，平面ABD，∴CD⊥平面ABD，（2分）
又∵M，N分别为AC，AD中点，∴，∴MN⊥平面ABD．（1分）
（2）∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∴
∵CD⊥平面ABD，平面ABD，∴CD⊥AD，
又∵∠ADC＝90°，CD＝1，∴
∵MN⊥平面ABD，AN，平面ABD
∴MN⊥AN，MN⊥BN
且，，∴∠ANB为二面角（2分）
∵AB⊥BD，N为BD中点，，∴
∴（3分）
（1分）
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