2022-2023学年人教版数学九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
课程：数学
《垂径定理》
人教版
九年级上册 第2课时
第 24 章 圆
教学目标
理解垂径定理和推论的内容，并会证明，掌握弦、弧、直径之间的特定关系，并会利用垂径定理解决与圆有关问题。
知识与技能
经历探索垂径定理和推论的证明过程，掌握从特殊到一般，由猜测到论证的证明思路，学会与人合作探索获得新知识的一些方法。
过程与方法
通过参与垂径定理的数学活动，体会垂径定理的重要性，品尝成
功的经验，体验数学活动充满着探索和创造。
情感态度和价值观
目
录
新课导入
New class introduction
探究新知
Explore new knowledge
课堂练习
class exercise
课堂小结
Class summary
01
02
03
04
新课导入
01
New class introduction
新课导入
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（精确到 0.1 m）。
探究新知
02
Explore new knowledge
探究新知
　　请拿出准备好的圆形纸片，沿着它的直径翻折，重复做几次，你发现了什么？由此你能猜想哪些线段相等？哪些弧相等？
探究新知
1.垂径定理的内容是什么 画出适合题意的图形,用符号语言表示出来.
垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
●O
A
B
C
D
E└
CD⊥AB,
∵ CD是直径,
∴AE=BE,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD=BD.
符号语言
图形语言
探究新知
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
题设
结论
（1）直径
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
探究新知
M
O
A
C
B
N
①直线MN过圆心②MN⊥AB
③ AC=BC
④ ⑤
垂径定理
⌒
AM=
⌒
MB
⌒
AN=
⌒
NB
探究新知
（1）如何证明？
探究：
·
O
A
B
C
D
E
已知：如图，CD是⊙O的直径，AB为弦，且AE=BE.
证明：连接OA，OB，则OA=OB
∵ AE=BE
∴ CD⊥AB
∴ AD=BD,
⌒
⌒
求证：CD⊥AB，且AD=BD,
⌒
⌒
⌒
⌒
AC =BC
⌒
⌒
AC =BC
探究新知
（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
·
O
A
B
C
D
探究新知
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
如果具备上面五个条件中的任何两个，那么一定可以得到其他三个结论吗？
一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦（不是直径）; (4)平分弦所对优弧;(5)平分弦所对的劣弧.
●O
A
B
C
D
└
M
推广：
探究新知
根据已知条件进行推导：
①过圆心
②垂直于弦
③平分弦
④平分弦所对优弧
⑤平分弦所对劣弧
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧。
①
⑤
③④②
①
④
③②⑤
①③
②④⑤
①
④
⑤
②
③
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分
弦所对的另一条弧。
①②
③④⑤
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.
课堂练习
03
class exercise
课堂练习
(4)若 ，CD是直径,
则 、 、 .
(1)若CD⊥AB, CD是直径,
则 、 、 .
(2)若AM=MB, CD是直径,
则 、 、 .
(3)若CD⊥AB, AM=MB,
则 、 、 .
1.如图所示:
●O
A
B
C
D
└
M
AM=BM
⌒
⌒
AC=BC
⌒
⌒
AD=BD
CD⊥AB
⌒
⌒
AC=BC
⌒
⌒
AD=BD
CD是直径
⌒
⌒
AC=BC
⌒
⌒
AD=BD
⌒
⌒
AC=BC
CD⊥AB
AM=BM
⌒
⌒
AD=BD
课堂练习
2.判断：
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
( )(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分
这条弦所对的另一条弧.
( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
( )(4)圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行.
( )(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
√



√
课堂练习
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
N,且OM=2,0N=3,则AB= ,
AC= ,OA=
B
A
M
C
O
N
6
4
课堂练习
4、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于F,EF= 。
4
课堂练习
船能过拱桥吗
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
课堂练习
船能过拱桥吗
解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.
由题设得
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈3.9（m）.
在Rt△ONH中，由勾股定理，得
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
课堂小结
04
Class summary
课堂小结
垂径定理
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD=BD.
推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.